Lamé曲線內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)

彭道意，劉　浩

(1.湖北師范學(xué)院文理學(xué)院， 湖北 黃石 435002； 2.湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖北 黃石 435002)

Lamé曲線內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)

彭道意1，劉浩2

(1.湖北師范學(xué)院文理學(xué)院， 湖北 黃石 435002； 2.湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖北 黃石 435002)

摘要：利用 Euler-Maclaurin 求和公式與 van der Corput 定理, 初步研究了 Lamé 曲線內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù), 給出了相應(yīng)的漸進(jìn)公式.

關(guān)鍵詞：Lamé曲線；整點(diǎn)；Euler-Maclaurin求和公式；van der Corput定理；指數(shù)和

Euclid 空間上指定區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)(格點(diǎn))問題, 是解析數(shù)論中重要的問題之一. Gauss 圓問題與 Dirichlet 除數(shù)問題是典型的未解決的整點(diǎn)問題，多位學(xué)者研究過此類問題, 發(fā)展了諸多方法, 如Weyl指數(shù)和估計(jì)、指數(shù)對(duì)理論、多變量 van der Corput方法、廣義Bessel函數(shù)理論等[1-8].

對(duì)Pk(t)的估計(jì)，已有大量研究[7]. 本文使用經(jīng)典的van der Corput方法, 不同于Kr?tzel等[8]引進(jìn)的廣義Bessel函數(shù)方法, 給出了Pk(t)的漸進(jìn)估計(jì).

1記號(hào)與引理

若x∈R，?x」表示不超過x的最大整數(shù)，{x}為x的小數(shù)部分. 函數(shù)ψ(x).記e(z)∶=e2πiz，z∈C.自然對(duì)數(shù)記作logx. Riemann zeta函數(shù)為C.

對(duì)于給定的實(shí)變量或復(fù)變量函數(shù)f,g，本文將不加區(qū)別地使用Landau記號(hào)f=O(g)或Vinogradov記號(hào)f?g來表示存在一個(gè)正常數(shù)C使得在f與g的公共定義域內(nèi)有|f|≤C|g|.該常數(shù)可以是絕對(duì)常數(shù)，也可以依賴于某些參數(shù)k,l,…，此時(shí)用f=Ok,l,…(g)或f?k,l,…g表示.

為計(jì)算Pk(t)，需要如下引理.

引理1(Euler-Maclaurin 求和公式)設(shè)f∈Ck([a,b])，對(duì)整數(shù)1≤m≤k有

其中Br(x)是Bernoulli多項(xiàng)式.

證明參見[9]中定理9.2.2，或[10]第一部分第0章定理4、[11]第4章定理4.2.有關(guān)Bernoulli多項(xiàng)式的概念在[9]中第9章做了詳細(xì)介紹，同樣見[10]第0章或[11]第4章第2節(jié).

引理2 (van der Corput)令a,b∈R，a

證明參見[6]定理2.2, [10]第一部分第6章定理5，或[11]第8章推論8.13.

引理3?J≥1，x∈R，b-a=I，有其中αj?min(j,J)/j2.

證明參見[8]中定理1.8，或參考[6]中引理4.3和定理A.6，這基于文獻(xiàn)[12].

引理4令α∈C{-1}，對(duì)任意的k>R(α)+1，使得k≥1，有,其中,且有t.

證明參見文獻(xiàn)[9]中命題9.2.13.這里對(duì)Riemann zeta函數(shù)作了解析延拓.

由引理 4，計(jì)算可得如下結(jié)果:

推論1

ζ(1/2)≈-1.460 4,ζ(3/2)≈2.612 4.

2主要結(jié)果

證明Lamé曲線|x|k+|y|k=tk(k≥2)是中心對(duì)稱圖形，在直角坐標(biāo)系內(nèi)關(guān)于直線y=±x對(duì)稱，易得

(1)

其中

(2)

下面將分別對(duì)∑1, ∑2作出估計(jì).

(3)

(4)

記

(5)

考慮函數(shù)g(x)=j(tk-xk)1/k, 求導(dǎo)得

g′(x)=-jxk-1(tk-xk)-1+1/k,

g″(x)=-j(k-1)tkxk-2(tk-xk)-2+1/k,

g?(x)=-j(k-1)tkxk-3(tk-xk)-3+1/k((k-2)tk+(k+1)xk),

因?yàn)閨g″(x)|為[0,2-1/kt]上的單調(diào)遞增函數(shù).由引理2, 對(duì)M

結(jié)合引理3，可得

上面對(duì)j的求和用到了推論1，以及ζ(1/2)=O(1)，ζ(3/2)=O(1).

令r0=?logN/log 2」-1，則有2r0+1≤N≤2-1/kt，由式(5)可得

從而由式(4)即得

(6)

將式(3)，(6)代入(2)，再結(jié)合式(1)，定理1得證.

參考文獻(xiàn):

[1] Huxley M N. Exponential sums and lattice points III[J]. Proceedings of the London Mathematical Society,2003,87(3):591-609.

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[5] Tsang K M. Recent progress on the Dirichlet divisor problem and the mean square of the Riemann zeta-function[J]. Science China Mathematics,2010,53(9):2561-2572.

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[8] Er?tzel E. Lattice points[M]. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers,1988.

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[11] Iwaniec H， Kowalski E. Analytic number theory[M]. Providence: American Mathematical Society,2004.

[12] Vaaler J D. Some extremal functions in Fourier analysis[J]. Bulletin of the American Mathematical Society,1985,12(2):183-216.

The Number of Lattice Points in Lamé Curve

PENG Daoyi1, LIU Hao2

(1.College of Art and Science，Hubei Normal University, Huangshi 435002, China； 2.School of Mathematics and Statistics,

Hubei Normal University, Huangshi 435002, China)

Abstract:Using Euler-Maclaurin summation formula and van der Corput Theorem, this paper preliminary studies the number of lattice points in Lamé curve, and provides the relevant asymptotic formula.

Key words:Lamé curve; lattice points; Euler-Maclaurin summation formula; van der Corput Theorem; exponential sums

文章編號(hào):1674-232X(2015)06-0659-04

中圖分類號(hào):O156.4MSC2010: 11P21

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.06.018

通信作者：劉浩 (1978—), 男, 講師, 博士, 主要從事非線性泛函分析研究.E-mail:liuhao.whu.nlsc@163.com

基金項(xiàng)目：湖北師范學(xué)院文理學(xué)院大學(xué)生科研項(xiàng)目(DK201416).

收稿日期：2015-04-15