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山西大學(xué)理論物理研究所，太原 030006

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【物理 / Physics】

兩全同粒子在一維光晶格中的量子行走

張?jiān)撇?，王麗敏，?利

山西大學(xué)理論物理研究所，太原 030006

基于滿足周期性邊界條件的一維光晶格模型，分別研究遵從玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)的玻色系統(tǒng)、遵從費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)的費(fèi)米系統(tǒng)以及硬核玻色系統(tǒng)下的兩粒子關(guān)聯(lián)、關(guān)聯(lián)漲落、平均粒子數(shù)分布以及動(dòng)力學(xué)演化等問題，計(jì)算量子統(tǒng)計(jì)性質(zhì)和相互作用強(qiáng)度(排斥)對兩粒子量子行走(獨(dú)立行走和綁定行走)的影響．結(jié)果表明，在坐標(biāo)空間中，隨著時(shí)間的增大，粒子向晶格邊緣移動(dòng)，尤其當(dāng)相互作用為零時(shí)，玻色系統(tǒng)的兩粒子關(guān)聯(lián)雖呈現(xiàn)聚束現(xiàn)象，卻展示出一種與眾不同的對稱——輸入輸出對稱，而費(fèi)米(硬核玻色)系統(tǒng)的兩粒子關(guān)聯(lián)呈現(xiàn)類似環(huán)類的空間分布. 隨著排斥相互作用的增大，3系統(tǒng)都會(huì)出現(xiàn)兩粒子綁定行走行為，在強(qiáng)相互作用下，研究的物理量(粒子關(guān)聯(lián)、關(guān)聯(lián)漲落和平均粒子數(shù)分布)在3系統(tǒng)中幾乎相同；在動(dòng)量空間中，玻色系統(tǒng)呈典型的聚束現(xiàn)象，費(fèi)米系統(tǒng)呈反聚束現(xiàn)象，硬核玻色系統(tǒng)呈聚束現(xiàn)象. 計(jì)算結(jié)果為實(shí)驗(yàn)上研究不同系統(tǒng)(玻色、費(fèi)米和硬核玻色)的物理性質(zhì)提供了依據(jù)，并佐證了實(shí)驗(yàn)上排斥相互作用下束縛態(tài)產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果．

凝聚態(tài)物理；光晶格模型；量子行走；量子統(tǒng)計(jì)；動(dòng)力學(xué)演化；兩粒子關(guān)聯(lián)；關(guān)聯(lián)漲落

量子行走是經(jīng)典隨機(jī)行走的量子力學(xué)推廣[1]，它不僅是量子傳輸中的一種基本現(xiàn)象，同時(shí)也是發(fā)展量子算法和實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的實(shí)用性工具．與經(jīng)典隨機(jī)行走相比，由于量子態(tài)的相干疊加特性，量子行走具有更快的擴(kuò)展速度．近些年，隨著研究的深入，研究者可以模擬許多實(shí)際生物和物理過程，如光合作用、蛋白質(zhì)折疊[2]等．

迄今，單粒子的量子行走已在一些實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)[3-8]．相比之下，多粒子的量子行走會(huì)有一些新奇的非經(jīng)典關(guān)聯(lián)特性，這將促進(jìn)實(shí)用量子技術(shù)的發(fā)展．基于目前多粒子量子行走的研究，文獻(xiàn)[9-10]發(fā)現(xiàn)兩粒子的離散量子行走敏感地依賴于關(guān)聯(lián)或糾纏，文獻(xiàn)[10-12]研究了對于遵循不同量子統(tǒng)計(jì)的玻色(費(fèi)米)系統(tǒng)在兩粒子量子行走中所呈現(xiàn)的聚束(反聚束)現(xiàn)象，而文獻(xiàn)[13-15]則在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了兩粒子的量子行走．文獻(xiàn)[16]研究了兩粒子關(guān)聯(lián)對統(tǒng)計(jì)性質(zhì)和近鄰相互作用(吸引)的依賴效應(yīng).本研究將這一模型擴(kuò)展，考慮兩粒子關(guān)聯(lián)對次近鄰相互作用(排斥)的依賴效應(yīng)，期望通過改變相互作用模式和初態(tài)波函數(shù)，研究統(tǒng)計(jì)性質(zhì)和次近鄰相互作用對新系統(tǒng)下的量子行走的影響，同時(shí)為實(shí)驗(yàn)上觀察到排斥相互作用背景下束縛態(tài)的產(chǎn)生[17]提供佐證.

1 理論模型和計(jì)算方法

本文研究周期性邊界條件下一維光晶格中，考慮受非同一格點(diǎn)相互作用的兩全同粒子(玻色子、費(fèi)米子和硬核玻色子)的量子行走行為．系統(tǒng)哈密頓量可表示為

(1)

相應(yīng)的周期邊界條件為

a-L=aL+1

(2)

研究系統(tǒng)的希爾伯特空間可通過一系列的Fock態(tài)來構(gòu)造，可表示為

(3)

則任意時(shí)刻的波函數(shù)為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2 量子行走關(guān)聯(lián)效應(yīng)結(jié)果分析

圖1—圖3依次給出玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)和硬核玻色系統(tǒng)的兩粒子量子行走關(guān)聯(lián)效應(yīng)，3列分別對應(yīng)相互作用強(qiáng)度參數(shù)V取0、1 、4(以J為單位)的動(dòng)力學(xué)演化過程．其中，第1行是時(shí)間t=0(以1/J為單位)時(shí)刻的關(guān)聯(lián)圖像，最后一行分別對應(yīng)時(shí)間為Jt=4、4.5、7.5時(shí)的關(guān)聯(lián)圖像，這樣的參數(shù)取值可使關(guān)聯(lián)矩陣呈現(xiàn)出比較直觀清晰的物理圖像. 此外，為展示動(dòng)力學(xué)演化過程，本研究給出中間時(shí)間參數(shù)的關(guān)聯(lián)圖像.

圖1 坐標(biāo)空間下玻色系統(tǒng)的兩粒子量子行走的 關(guān)聯(lián)效應(yīng)隨時(shí)間的變化(2L+1=21)Fig.1 Time evolution of two-particle correlations of quantum walkers in position space for bosonic system(2L+1=21)

圖2 坐標(biāo)空間下費(fèi)米系統(tǒng)的兩粒子量子行走的 關(guān)聯(lián)效應(yīng)隨時(shí)間的變化(2L+1=21)Fig.2 Time evolution of two-particle correlations of quantum walkers in position space for fermionic system(2L+1=21)

圖3 坐標(biāo)空間下硬核玻色系統(tǒng)的兩粒子量子行走的 關(guān)聯(lián)效應(yīng)隨時(shí)間的變化(2L+1=21)Fig.3 Time evolution of two-particle correlations of quantum walkers in position space for hard-core bosonic system(2L+1=21)

圖4和圖5分別給出在玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)下粒子數(shù)密度隨時(shí)間的變化情況．同樣，在兩系統(tǒng)中可發(fā)現(xiàn)隨著時(shí)間的增長粒子向晶格邊緣方向移動(dòng)．尤其通過對圖4(b)和(c)，圖5(b)和(c)的中間區(qū)域作比較，發(fā)現(xiàn)當(dāng)V/J=4，Jt=3.75(格點(diǎn)(-1，1)密度分布值小于V/J=4，Jt=2.25的情況， 因?yàn)殡S著時(shí)間的增長粒子移向晶格的邊緣)時(shí)，在格點(diǎn)(-1，1)處粒子的密度分布值明顯大于V/J=1，Jt=2.25的情況．該現(xiàn)象違背人的直覺：排斥力促使粒子分離，吸引力有助于束縛粒子．這可理解為一種動(dòng)力學(xué)穩(wěn)態(tài)[18], 在強(qiáng)相互作用下，粒子的分離行為受到限制，似重新組合為一個(gè)復(fù)合粒子．

圖4 玻色系統(tǒng)中粒子數(shù)密度隨時(shí)間的變化Fig.4 Time evolution of particle density plotted against position for bosonic system

圖5 費(fèi)米系統(tǒng)中粒子數(shù)密度隨時(shí)間的變化Fig.5 Time evolution of particle density plotted against position for fermionic system

圖6—圖8給出的是圖1—圖3相應(yīng)參數(shù)下的3系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)漲落變化情況. 對于漲落，其描述的是物理量圍繞自身統(tǒng)計(jì)平均值的微小的無規(guī)則偏離的現(xiàn)象．由圖6—圖8可見，考慮Jt≠0時(shí)刻，當(dāng)相互作用為0時(shí)，關(guān)聯(lián)矩陣呈現(xiàn)0值背景下的漲落正負(fù)對稱現(xiàn)象；當(dāng)相互作用取非零值時(shí)，漲落正負(fù)對稱現(xiàn)象將會(huì)被打破，且隨著相互作用的增大，這種漲落正負(fù)對稱破壞的程度會(huì)越來越明顯. 此外，費(fèi)米系統(tǒng)和硬核玻色系統(tǒng)在關(guān)聯(lián)漲落圖像中存在明顯的差異．

圖6 坐標(biāo)空間下玻色系統(tǒng)的兩粒子量子行走的 關(guān)聯(lián)漲落隨時(shí)間的變化(2L+1=21)Fig.6 Time evolution of two-particle correlation fluctuations of quantum walkers in position space for bosonic system(2L+1=21)

圖7 坐標(biāo)空間下費(fèi)米系統(tǒng)的兩粒子量子行走的 關(guān)聯(lián)漲落隨時(shí)間的變化(2L+1=21)Fig.7 Time evolution of two-particle correlation fluctuations of quantum walkers in position space for fermionic system(2L+1=21)

圖8 坐標(biāo)空間下硬核玻色系統(tǒng)的兩粒子量子行走的 關(guān)聯(lián)漲落隨時(shí)間的變化(2L+1=21)Fig.8 Time evolution of two-particle correlation fluctuations of quantum walkers in position space for hard-core bosonic system(2L+1=21)

圖9為玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)在強(qiáng)相互作用下兩粒子的關(guān)聯(lián)、關(guān)聯(lián)漲落以及粒子數(shù)密度的分布情況．對于玻色、費(fèi)米和硬核玻色3個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)次近鄰相互作用增大到一定值時(shí)，哈密頓量中的動(dòng)能項(xiàng)與相互作用項(xiàng)相比，前者可作為微擾來處理，且利用簡并系統(tǒng)的二階微擾理論，可解析獲得有效單粒子哈密頓量為

(11)

圖9 坐標(biāo)空間下兩強(qiáng)相互作用粒子的量子行走 (V/J=60，Jt=55)Fig.9 Two strongly interacting walkers in position space(V/J=60，Jt=55)

圖10 動(dòng)量空間下玻色系統(tǒng)的兩粒子量子行走的 關(guān)聯(lián)效應(yīng)隨時(shí)間的變化(2L+1=21)Fig.10 Time evolution of two-particle correlations of quantum walkers in momentum space for bosonic system(2L+1=21)

圖10—圖12描述了動(dòng)量空間的兩粒子關(guān)聯(lián)函數(shù)隨時(shí)間的變化情況. 由圖10和圖11可見，在相互作用為0時(shí)，玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化過程并未被清楚地呈現(xiàn)，且玻色關(guān)聯(lián)圖像到費(fèi)米關(guān)聯(lián)圖像是平移效果(具體操作可通過構(gòu)建任意子模型[19]將兩者聯(lián)系起來). 當(dāng)相互作用取非零值時(shí)，動(dòng)力學(xué)演化過程呈現(xiàn)，且基于不同的量子統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，玻色系統(tǒng)呈現(xiàn)聚束行為，費(fèi)米系統(tǒng)呈現(xiàn)反聚束行為，硬核玻色系統(tǒng)呈現(xiàn)聚束行為．

圖11 動(dòng)量空間下費(fèi)米系統(tǒng)的兩粒子量子行走的 關(guān)聯(lián)效應(yīng)隨時(shí)間的變化(2L+1=21)Fig.11 Time evolution of two-particle correlations of quantum walkers in momentum space for fermionic system(2L+1=21)

圖12 動(dòng)量空間下硬核玻色系統(tǒng)的兩粒子量子行走的 關(guān)聯(lián)效應(yīng)隨時(shí)間的變化(2L+1=21)Fig.12 Time evolution of two-particle correlations of quantum walkers in momentum space for hard-core bosonic system(2L+1=21)

結(jié) 語

研究了周期性邊界條件下一維光晶格中兩粒子量子行走對量子統(tǒng)計(jì)性質(zhì)、相互作用強(qiáng)度和相互作用模式的依賴情況．結(jié)果顯示，對于遵循不同量子統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的系統(tǒng)，其量子行走行為不同．但是，隨著相互作用強(qiáng)度的增大，即使是排斥相互作用，系統(tǒng)中的兩粒子也有較強(qiáng)的意愿待在粒子初始時(shí)刻置入晶格的位置，并隨著時(shí)間的變化以某一共同速度等幾率向晶格邊緣反向移動(dòng)．然而，兩粒子綁定行走的形式則是初態(tài)波函數(shù)和相互作用模式聯(lián)合作用的效果，這為研究玻色、費(fèi)米和硬核玻色3系統(tǒng)提供了理論參考．同時(shí)，本研究具體選定排斥相互作用模式，也間接為排斥相互作用背景下束縛態(tài)的產(chǎn)生提供了依據(jù)．

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【中文責(zé)編：英 子；英文責(zé)編：木 南】

Quantum walks of two identical particles in one-dimensional lattices

Zhang Yunbo?, Wang Limin, and Wang Li

Institute of Theoretical Physics, Shanxi University, Taiyuan 030006, P.R.China

Based on one-dimensional lattices with periodic boundary conditions, we investigate the two-particle correlations, the correlation fluctuations, and the density distributions as well as the dynamic evolutions of the bosonic system governed by Bose-Einstein statistics, the fermionic system governed by Fermi-Dirac statistics, and the hard-core bosonic system, respectively. The dependences of independent walking and co-walking for two interacting particles on both quantum statistics and interaction strength are calculated. The results show that the particles move to the edge of the lattice with the increase of time in position space. Specifically, for zero interaction, bosonic correlations exhibit bunching but with a specific “in-out” correlation symmetry, while the fermionic correlations(hard-core bosonic correlations)are transformed into a ring-like pattern. However, two particles in the bosonic system and fermionic system (hard-core bosonic system) start to occupy adjacent lattice sites separated by one site and stick together when they are co-walking with increasing interaction. The correlations in the three systems are nearly the same under strong interactions and are the same with correlation fluctuations and density distributions. In momentum space, the quantum statistical natures for two bosonic (hard-core bosonic) walkers and two fermionic walkers result in the emergence of bunching and anti-bunching in two-particle quantum walks (QWs), respectively. In short, the results pave the way for exploring quantum statistics and can be used as evidences for the repulsively bound state observed experimentally.

condensed matter physics; lattice model; quantum walk; quantum statistics; dynamic evolution; two particle correlation; correlation fluctuation

：Zhang Yunbo，Wang Limin，Wang Li．Quantum walks of two identical particles in one-dimensional lattices[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2015, 32(1): 1-7.(in Chinese)

O 469

A

10.3724/SP.J.1249.2015.01001

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11474189)

張?jiān)撇?1969—)，男(漢族)，山西省黎城縣人，山西大學(xué)教授．E-mail：ybzhang@sxu.edu.cn

Received：2014-10-29；Accepted：2014-12-13

Foundation：National Natural Science Foundation of China (11474189)

? Corresponding author：Professor Zhang Yunbo．E-mail：ybzhang@sxu.edu.cn

引 文：張?jiān)撇?，王麗敏，?利. 兩全同粒子在一維光晶格中的量子行走[J]. 深圳大學(xué)學(xué)報(bào)理工版，2015，32(1)：1-7.