高 成, 孫建國

1.吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130026 2.國土資源部應(yīng)用地球物理綜合解釋理論實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春 130026

?

不同域的局部平面波分解應(yīng)用與對(duì)比

高 成1,2, 孫建國1,2

1.吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130026 2.國土資源部應(yīng)用地球物理綜合解釋理論實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春 130026

局部平面波分解的計(jì)算精度和計(jì)算效率對(duì)高斯波數(shù)偏移存在較大的影響。筆者分析了目前常用的時(shí)間域、頻率域、頻率波數(shù)域3種不同域的局部平面波分解方法，給出了3種不同計(jì)算方式下局部平面波分解的具體計(jì)算公式；并結(jié)合局部平面波分解的特征，針對(duì)不同域下的局部平面波分解算法采取合理的程序設(shè)計(jì)思想, 對(duì)多組模擬數(shù)據(jù)應(yīng)用不同域的局部平面波分解算法進(jìn)行計(jì)算精度和計(jì)算效率的對(duì)比。通過對(duì)比分析可知, 應(yīng)用頻率波數(shù)域的局部平面波分解，不但提高了計(jì)算的準(zhǔn)確度, 而且相對(duì)于時(shí)間域和頻率域局部平面波分解能夠提高近60%的計(jì)算效率，為下一步進(jìn)行偏移成像更高效地提供了精確的數(shù)據(jù)。

局部平面波分解；時(shí)間域；頻率域；頻率波數(shù)域

0 引言

平面波分解是在共炮道集或者共炮檢距道集上，以最左端或者最右端為參考點(diǎn)所設(shè)置的絕對(duì)炮檢距上進(jìn)行的。沿著以一定射線參數(shù)和縱坐標(biāo)軸截距時(shí)間所構(gòu)成的疊加直線,將不同炮間距的振幅疊加，這樣就實(shí)現(xiàn)了波場(chǎng)的平面波分解[1-5]。局部平面波分解是將共炮點(diǎn)道集或者是共炮檢距道集上的一個(gè)接收點(diǎn)設(shè)為參考點(diǎn)(窗口中心道)，并選取在參考點(diǎn)附近一定范圍(窗口)內(nèi)的其他接收道來進(jìn)行平面波分解。在這個(gè)過程中以不同射線參數(shù)對(duì)原始的地震記錄進(jìn)行分選，一個(gè)射線參數(shù)對(duì)應(yīng)一道的地震信息及每一道對(duì)應(yīng)著一個(gè)入射角的平面波。新得到的道集，橫坐標(biāo)為射線參數(shù)，縱坐標(biāo)為疊加直線在原坐標(biāo)系縱軸上的截距時(shí)間[6-10]。因此，可以通過局部平面波分解將接收點(diǎn)處所接收到的波場(chǎng)分解為不同方向上的平面波波場(chǎng)，并且進(jìn)行地震波場(chǎng)的反向延拓。局部平面波分解在偏移中也往往具有重要的意義：可以通過局部平面波分解來進(jìn)行平面波偏移,同時(shí)它也是高斯波數(shù)偏移中的一個(gè)重要步驟，通過局部平面波分解可使高斯波數(shù)偏移具有方向選擇性，從而提高偏移的成像精度[11-14]。

局部平面波分解在提高成像效果的同時(shí)，也給計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)帶來了很多困難。其中最大的困難是如何在高效地進(jìn)行平面波分解的同時(shí)，精確地給出慢度方向和求取該慢度方向上每個(gè)時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的地震記錄值，以減少后續(xù)偏移工作中的偏移噪聲。局部平面波分解一般使用的是τ-p變換方法，在實(shí)現(xiàn)過程中包括3種實(shí)現(xiàn)方式：時(shí)間域下的實(shí)現(xiàn)方式、頻率域下的實(shí)現(xiàn)方式和頻率波數(shù)域下的實(shí)現(xiàn)方式。時(shí)間域下的局部平面波是直接將采集到的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行τ-p變換，從而獲得不同慢度對(duì)應(yīng)的地震記錄。頻率域下的局部平面波分解是先用傅里葉變換將地震記錄變換到頻率域下，然后將變換完的不同接收道的地震數(shù)據(jù)疊加為不同慢度所對(duì)應(yīng)的頻率數(shù)據(jù)，最后將這些頻率數(shù)據(jù)再傅里葉反變換回時(shí)間域。頻率波數(shù)域局部平面波分解是首先對(duì)地震記錄做兩次傅里葉變換，轉(zhuǎn)換到頻率波數(shù)域中，利用從頻率域變換到波數(shù)域時(shí)的傅里葉變換來代替不同地震道的疊加，然后進(jìn)行插值和重采樣，求取不同慢度所對(duì)應(yīng)的頻率數(shù)據(jù)，最后將數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉反變換回時(shí)間域，得到傾斜疊加后的數(shù)據(jù)。相較于頻率域和頻率波數(shù)域下的局部平面波分解，時(shí)間域局部平面波分解不需要進(jìn)行傅里葉變換和傅里葉反變換，但是卻需要計(jì)算相似函數(shù)以減小計(jì)算誤差。雖然頻率波數(shù)域局部平面波分解可以用第二次的傅里葉正變換來替代不同地震道的疊加以達(dá)到減少計(jì)算量的目的，但是在進(jìn)行插值重采樣的時(shí)候，也增加了程序?qū)崿F(xiàn)時(shí)的復(fù)雜性。

筆者根據(jù)這3種局部平面波分解算法的計(jì)算結(jié)果，對(duì)這些方法在實(shí)現(xiàn)過程中的計(jì)算精度和計(jì)算速度進(jìn)行了討論。簡(jiǎn)單介紹了局部平面波分解的理論基礎(chǔ);對(duì)于不同的地震記錄，給出了不同局部平面波分解所得到的計(jì)算結(jié)果和用時(shí);并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行計(jì)算效率的分析、討論和對(duì)比，以便在以后的實(shí)際應(yīng)用中能夠選擇一種有效的局部平面波分解方法。

1 不同局部平面波分解方法的理論與實(shí)現(xiàn)對(duì)比

根據(jù)波動(dòng)理論，球面波可以被分解為無窮多的平面波；反之，平面波可以合成出球面波。如果球面波波前面遠(yuǎn)離點(diǎn)源，它總可以局部地視為一個(gè)平面波前。因此，盡管理論上平面波在現(xiàn)實(shí)世界中不存在，但我們可以用平面波的概念解釋很多物理現(xiàn)象。近似地解決很多物理問題[1]。

1.1 時(shí)間域局部平面波分解原理

在x-t域中，共炮點(diǎn)記錄用φ(t,x)表示，x為每個(gè)接收道與中心道的距離，t為時(shí)間。一個(gè)共炮點(diǎn)記錄包括N道記錄，每道記錄有M個(gè)采樣點(diǎn)，可以看成一個(gè)二維數(shù)組，有N×M個(gè)數(shù)據(jù)。時(shí)間t對(duì)x的導(dǎo)數(shù)即為慢度p。通過p可以確定一條斜線，該斜線與t軸相交于一點(diǎn)，則有一個(gè)截距時(shí)間τ[1]。時(shí)間域局部平面波分解即為時(shí)間域τ-p變換，可表示為

(1)

式中：t=τ+px；x1、x2分別表示窗口左端和右端接收道的橫坐標(biāo)；xL為窗中心道的位置；xr為接收道的位置。式(1)的意義即沿t=τ+px的直線求和，將所得到的值放入τ-p坐標(biāo)系內(nèi)相應(yīng)的點(diǎn)上。x-t域中的一條線，在τ-p坐標(biāo)系內(nèi)就成了一個(gè)點(diǎn)[1]。

1.2 頻率域局部平面波分解原理

頻率域局部平面波分解是將地震記錄通過傅里葉變換變到頻率域內(nèi)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行傾斜疊加，然后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉反變換，將其變回到時(shí)間域下。對(duì)式(1)中等號(hào)左端的τ做傅里葉變換：

(2)

其中：[0,tmax]為整個(gè)時(shí)間序列的定義域；ω為頻率。將τ=t-px帶入到式(2)中有

再用式(1)代替ψ(τ,p)即可得到

改變積分次序可得到

在實(shí)際應(yīng)用中，時(shí)間序列是有限長(zhǎng)的，因此會(huì)假設(shè)時(shí)間序列本身呈周期性，周期長(zhǎng)度為序列長(zhǎng)度。當(dāng)原點(diǎn)的位置確定不變時(shí)，對(duì)序列[px,tmax+px]做傅里葉變換即等價(jià)于對(duì)[0,tmax]做傅里葉變換，故可以得到

(3)

1.3 頻率波數(shù)域局部平面波分解原理

由于頻率波數(shù)域局部平面波分解是利用從頻率域變換到波數(shù)域時(shí)的傅里葉變換來代替不同地震道的疊加，將波數(shù)k=ωp帶入到(3)式中的e指數(shù)位置，可得到如下形式：

(4)

1.4 不同方法的程序?qū)崿F(xiàn)對(duì)比

在時(shí)間域局部平面波分解的程序?qū)崿F(xiàn)中，不需要對(duì)原始的時(shí)間域數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，只需要在接中心接收道處先確定出一個(gè)慢度和一個(gè)截距時(shí)間，構(gòu)造一個(gè)斜截式方程t=τ+px，求出該方程在不同接收道位置處所對(duì)應(yīng)的時(shí)間；然后將(x,t)對(duì)應(yīng)的能量加到τ-p域中(p,τ)所對(duì)應(yīng)的位置即可。

在頻率域局部平面波分解的程序?qū)崿F(xiàn)中，首先要對(duì)原始的時(shí)間域數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，將x-t的數(shù)據(jù)變換為x-ω的數(shù)據(jù)。然后在中心接收道處確定一個(gè)慢度，根據(jù)每一個(gè)接收道與中心道之間的距離確定每一個(gè)接收道的相移項(xiàng)(相位校正項(xiàng))e-iωpx。此時(shí)，每一個(gè)固定的接收道中，不同的頻率相移項(xiàng)是相同的。再將所有做完相移的接收道疊加到p-ω域中當(dāng)前慢度所對(duì)應(yīng)道。最后，對(duì)做完所有慢度疊加后的p-ω域數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉反變換，就可得到頻率域局部平面波分解的結(jié)果。

在頻率波數(shù)域局部平面波分解中，首先要對(duì)原始的時(shí)間域數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，將x-t域的數(shù)據(jù)變換為x-ω域的數(shù)據(jù)。然后將x-ω域的數(shù)據(jù)以中心接收道為原點(diǎn)，對(duì)x進(jìn)行一次傅里葉反變換，得到k-ω域的數(shù)據(jù)。此時(shí)，數(shù)據(jù)中ω是從正到負(fù)，而k都為正值。根據(jù)k=ωp，每一個(gè)確定的頻率和確定的慢度都可以確定一個(gè)波數(shù)。然而波數(shù)是非連續(xù)性的，同時(shí)波數(shù)所對(duì)應(yīng)的k-ω域內(nèi)的數(shù)據(jù)也是震蕩性的(在較小的定義域內(nèi)存在有多個(gè)極值點(diǎn))，從而增加了插值的難度。一般需要進(jìn)行sinc函數(shù)插值，將插值后得到數(shù)值映射到p-ω域內(nèi)(p,ω)所對(duì)應(yīng)的位置。最后將p-ω域的數(shù)據(jù)做傅里葉反變換，就可得到頻率波數(shù)域局部平面波分解的結(jié)果。

對(duì)比3種方法可以發(fā)現(xiàn)，時(shí)間域局部平面波分解不需要進(jìn)行傅里葉變換，而頻率域和頻率波數(shù)域局部平面波分解則需要進(jìn)行傅里葉變換，將時(shí)間域下的地震記錄變?yōu)轭l率域或者是頻率波數(shù)域的地震記錄進(jìn)行計(jì)算。因此，時(shí)間域局部平面波分解是在時(shí)間域下進(jìn)行不同道的疊加；頻率域的局部平面波分解則在頻率域下對(duì)不同道的記錄進(jìn)行疊加；頻率波數(shù)域局部平面波分解也要比頻率域局部平面波分解多一次傅里葉變換，通過多的這一次傅里葉變換來替代對(duì)不同道的疊加，然后進(jìn)行插值重采樣得到最后的計(jì)算結(jié)果。

2 模型試算對(duì)比

為了研究上述3種算法的計(jì)算精度和效果，給出一個(gè)慢度為0.000 5 s/m的同相軸的地震記錄(圖1a)。地震記錄共201道，道間距為10 m，采樣時(shí)長(zhǎng)為2.048 s，時(shí)間采樣間隔為0.002 s。中心道取在1 000 m處，窗口長(zhǎng)600 m。圖1b為時(shí)間域局部平面波分解的計(jì)算結(jié)果?？梢钥闯觯捎跁r(shí)間域是在地震記錄上直接提取各慢度方向?qū)?yīng)的地震記錄，所以在接收時(shí)刻，每個(gè)慢度方向上都有能量顯示，在正確的慢度方向上能量最大。圖1c為頻率域局部平面波分解的計(jì)算結(jié)果，圖1d為頻率波數(shù)域局部平面波分解的計(jì)算結(jié)果。由圖1可以看出：3種計(jì)算方法都能夠很好地提取出波前到達(dá)接收點(diǎn)處的時(shí)間；但頻率域和頻率波數(shù)域的計(jì)算結(jié)果相對(duì)于時(shí)間域的計(jì)算結(jié)果具有明顯的優(yōu)勢(shì)，能量更向正確的慢度方向上集中，而在正確的慢度方向兩側(cè)能量衰減更快。頻率域和頻率波數(shù)域局部平面波分解中，頻率波數(shù)域局部平面波分解的效果更好。

圖2a為Marmousi理論模型第100炮的模擬數(shù)據(jù)。共96道，道間距為25 m，采樣時(shí)長(zhǎng)為2.900 s，時(shí)間采樣間隔為0.004 s。局部平面波分解的窗口寬度為600 m，窗口中心取在300 m處。通過圖2b、c和d可以看出，3種方法都能夠很好地計(jì)算出波前到達(dá)接收點(diǎn)處的時(shí)間以及入射的方向，相對(duì)來說時(shí)間域局部平面波分解的效果不如其他兩種方法，能量團(tuán)收斂相對(duì)不集中。由于沒有在時(shí)間域的局部平面波分解的計(jì)算過程中加衰減窗，而是直接使用式(1)中的計(jì)算公式，所以時(shí)間域局部平面波分解的結(jié)果較頻率域和頻率波數(shù)域局部平面波分解的結(jié)果能量強(qiáng)。頻率域和頻率波數(shù)域局部平面波分解的計(jì)算效果差別不大，相對(duì)來說頻率波數(shù)域局部平面波分解的計(jì)算結(jié)果中的能量團(tuán)比頻率域局部平面波分解中的結(jié)果更集中。

a. 同相軸地震記錄；b. 時(shí)間域傾斜疊加結(jié)果；c. 頻率域傾斜疊加結(jié)果；d. 頻率波數(shù)域傾斜疊加結(jié)果。圖1 p為0.000 5 s/m同相軸地震記錄的局部平面波分解結(jié)果對(duì)比Fig. 1 Local plane wave decomposition comparison with the seismic data when p is 0.000 5 s/m

a. 地震記錄；b. 時(shí)間域傾斜疊加結(jié)果；c. 頻率域傾斜疊加結(jié)果；d. 頻率波數(shù)域傾斜疊加結(jié)果。圖2 Marmousi模型第100炮地震記錄在1 300 m處的局部平面波分解結(jié)果對(duì)比Fig.2 Local plane wave decomposition comparison at 1 300 m with the 100th SP Marmousi data

圖3是BP理論模型的第700炮的模擬數(shù)據(jù)。共1 201道，道間距為12.5 m，采樣時(shí)長(zhǎng)為12 s，時(shí)間采樣間隔為0.006 s，其中局部平面波分解的窗口中心位于12 500 m處，窗口寬300 m。在圖3b、c和d中對(duì)應(yīng)圖3a中近似雙曲線的同相軸的位置上可以看到較為明顯的同相軸，頻率波數(shù)域局部平面波分解在能量聚焦效果上要優(yōu)于其他兩種方法。

圖4是Sigsbee理論模型的第300炮的模擬數(shù)據(jù)。共348道，道間距為12.5 m，采樣時(shí)長(zhǎng)為12 s，時(shí)間采樣間隔為0.008 s，其中局部平面波分解的窗口中心位于2 500 m處，窗口寬300 m。在圖4a中，中心道上既有斜率為正的同相軸，也有斜率為負(fù)的同相軸。在圖4b、c和d中，可以看出3種方法都能夠很好地區(qū)分出不同能量團(tuán)所對(duì)應(yīng)的慢度和時(shí)間，而在能量團(tuán)的收斂效果上同圖2和圖3類似，頻率波數(shù)域的效果要優(yōu)于另兩種方法。

為了檢驗(yàn)3種方法的抗噪性，以圖1a中的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)增加了高斯噪聲。高斯噪聲的頻率為5～60 Hz。圖5a為慢度為0.000 5 s/m的同相軸地震記錄。圖5b、c和d分別為時(shí)間域局部平面波分解、頻率域局部平面波分解和頻率波數(shù)域局部平面波分解的計(jì)算結(jié)果。由圖5可見：在計(jì)算效果上，圖5同圖1所得到的計(jì)算結(jié)果一致；而在抗噪性方面，3種方法都有著較好的抗噪能力，在能量聚焦的強(qiáng)弱方面和能量所對(duì)應(yīng)時(shí)間和慢度的準(zhǔn)確性上都沒有受到噪聲的干擾，依然能夠很好地區(qū)分出能量團(tuán)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間和慢度。

a. 地震記錄；b. 時(shí)間域傾斜疊加結(jié)果；c. 頻率域傾斜疊加結(jié)果；d. 頻率波數(shù)域傾斜疊加結(jié)果。圖3 BP模型第700炮地震記錄在12 500 m處的局部平面波分解結(jié)果對(duì)比Fig.3 Local plane wave decomposition comparison at 12 500 m with the 700th SP BP data

a. 地震記錄；b. 時(shí)間域傾斜疊加結(jié)果；c. 頻率域傾斜疊加結(jié)果；d. 頻率波數(shù)域傾斜疊加結(jié)果。圖4 Sigsbee模型第300炮地震記錄在2 500 m處的局部平面波分解結(jié)果對(duì)比Fig.4 Local plane wave Decomposition comparison at 2 500 m with the 300th SP Sigsbee data

a. 同相軸地震記錄；b. 時(shí)間域傾斜疊加結(jié)果；c. 頻率域傾斜疊加結(jié)果；d. 頻率波數(shù)域傾斜疊加結(jié)果。圖5 增加了高斯噪聲的p為0.000 5 s/m的同相軸地震記錄局部平面波分解結(jié)果對(duì)比Fig.5 Local plane wave decomposition comparison of the seismic data with p is 0.000 5 s/m and Gaussian noise

為了對(duì)比3種算法的計(jì)算效率，分別計(jì)算了慢度為0.000 5 s/m的同相軸地震記錄、Marmousi模型第100炮的地震記錄、BP模型第700炮的地震記錄和Sigsbee模型第300炮的地震記錄。表1顯示了3種算法在計(jì)算不同地震記錄時(shí)的CPU耗時(shí)。通過分析可以發(fā)現(xiàn)：頻率波數(shù)域局部平面波分解的計(jì)算效率最高，其次是頻率域局部平面波分解；計(jì)算效率最差的是時(shí)間域局部平面波分解。這是因?yàn)轭l率波數(shù)域局部平面波分解更多地使用了快速傅里葉變換來代替求和，從而減少了計(jì)算時(shí)間。頻率域局部平面波分解雖然也使用了快速傅里葉變換，但是在計(jì)算過程中依然存在大量的求和過程，故而比頻率波數(shù)域局部平面波分解的計(jì)算量大。

表1 3種算法的計(jì)算效率(CPU耗時(shí))對(duì)比

Table 1 Efficiency (CPU time) comparison of the three methods

s

3 結(jié)論

筆者介紹了時(shí)間域、頻率域和頻率波數(shù)域下3種局部平面波分解算法的特點(diǎn)，分析對(duì)比其在傾斜疊加方法中的實(shí)現(xiàn)方法，并對(duì)這些方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析?？梢缘玫饺缦陆Y(jié)論：

1)在時(shí)間域、頻率域和頻率波數(shù)域3種局部平面波分解算法中，頻率波數(shù)域局部平面波分解算法的精度是最高的。

2)不同域下的局部平面波分解算法，由于采用的實(shí)現(xiàn)方法不同，計(jì)算效率也不相同。采用時(shí)間域和頻率域局部平面波分解算法，在同一數(shù)據(jù)的計(jì)算用時(shí)相差不大，而頻率波數(shù)域局部平面波分解算法則具有明顯的計(jì)算速度優(yōu)勢(shì)。

綜上所述，在傾斜疊加的過程中，局部平面波分解算法的選擇直接影響著計(jì)算的精度和效率，選擇一種既能滿足計(jì)算精度又能滿足計(jì)算效率的算法是十分關(guān)鍵的。從總體上講：頻率波數(shù)域局部平面波分解在計(jì)算精度和效率上優(yōu)于時(shí)間域局部平面波分解，但是頻率波數(shù)域局部平面波分解需要進(jìn)行插值重采樣，這個(gè)過程增加了計(jì)算的復(fù)雜性；頻率域局部平面波分解的計(jì)算精度和計(jì)算效率均居中。

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Local Plane Wave Decomposition Methods in Different Domain

Gao Cheng1,2, Sun Jianguo1,2

1.GeoExplorationofScienceandTechnology,JilinUniversity,Changchun130026,China2.LaboratoryforIntegratedGeophysicalInterpretationTheory,MinistryofLandandResources,Changchun130026,China

To disclose the influence of the efficiency and the precision of the local plane wave decomposition method on Gaussian beam migration, we analyze three local plane wave decomposition methods in time domain, frequency domain, and frequency-wavenumber domain, and deduce the formulae of these three methods. The comparison of computational accuracy and efficiency are showed based on the characters of the local plane wave decomposition in different domains. The comparative analysis indicates that the local plane wave decomposition in frequency-wavenumber domain is not only more accurate but also more efficient, and can provide precise data for migration.

local plane wave decomposition; time domain; frequency domain; frequency-wavenumber domain

10.13278/j.cnki.jjuese.201505301.

2014-12-23

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41274120)

高成(1986--)，男，博士研究生，主要從事地震偏移成像研究，E-mail:gaocheng100@126.com

孫建國(1956--)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事地下波動(dòng)理論與成像技術(shù)、地震資料處理方法與解釋技術(shù)等方面的教學(xué)和研究工作，E-mail:sun_jg@jlu.edu.cn。

10.13278/j.cnki.jjuese.201505301

P631.4

A

高成，孫建國. 不同域的局部平面波分解應(yīng)用與對(duì)比.吉林大學(xué)學(xué)報(bào):地球科學(xué)版,2015,45(5):1523-1529.

Gao Cheng, Sun Jianguo. Local Plane Wave Decomposition Methods in Different Domain.Journal of Jilin University:Earth Science Edition,2015,45(5):1523-1529.doi:10.13278/j.cnki.jjuese.201505301.