實(shí)數(shù)集中分形上函數(shù)的連續(xù)性

梁　莉，龍倫海，何　勇

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南 海口 570228)

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實(shí)數(shù)集中分形上函數(shù)的連續(xù)性

梁莉，龍倫海，何勇

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南 ?？?570228)

摘要：針對(duì)實(shí)數(shù)集R中一個(gè)緊的s-集E在歐氏拓?fù)湎碌耐耆贿B通性，給出了E上實(shí)函數(shù)的在歐氏拓?fù)湎碌腡-連續(xù)和Hausdorff測(cè)度下的Hspan-連續(xù)的定義、性質(zhì)、運(yùn)算及一些相關(guān)定理，對(duì)此建立了分形上一元函數(shù)的連續(xù)性理論.

關(guān)鍵詞：s-集； Hausdorff 測(cè)度；T-連續(xù)；Hspan-連續(xù)

關(guān)于函數(shù)的非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)和非整數(shù)階積分一直是分形幾何的一個(gè)重要研究方向[1-3]，首先其定義就有很多種，也具有各種不同的結(jié)論，但最終的結(jié)果不甚理想，沒(méi)有一個(gè)完善的理論體系.一元函數(shù)的微積分是數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)課程的主要研究?jī)?nèi)容，具有一套完善的理論體系[4]，其中最主要的連續(xù)、一階導(dǎo)數(shù)和一重積分(包括不定積分和定積分)是建立在一維空間即實(shí)數(shù)集R上，因此可以在實(shí)數(shù)集R中一個(gè)非整數(shù)維緊的s-集E上建立一元函數(shù)的微積分理論體系.本文主要討論實(shí)數(shù)集中一個(gè)緊的s-集E上函數(shù)的連續(xù)性理論，文中結(jié)果是研討s-階導(dǎo)數(shù)理論和s-階積分理論的基礎(chǔ).下面首先給出一個(gè)固定的緊的s-集E上的函數(shù)在歐氏拓?fù)湟饬x下的T-連續(xù)性的定義及性質(zhì).

1分形上函數(shù)的T-連續(xù)性

定義11) 稱E中的最小點(diǎn)為E的左端點(diǎn)，最大點(diǎn)為E的右端點(diǎn)；

2) 如果E中的一個(gè)點(diǎn)存在該點(diǎn)的一個(gè)去心鄰域與E的交為空集，則稱該點(diǎn)為E的一個(gè)孤立點(diǎn)；

3) 如果E中的一個(gè)點(diǎn)滿足該點(diǎn)的任何一個(gè)去心右鄰域都與E的交非空，且存在該點(diǎn)的一個(gè)去心左鄰域與E的交是空集，則稱該點(diǎn)為E的一個(gè)右內(nèi)端點(diǎn)；同樣可定義E的左內(nèi)端點(diǎn)；

4) 如果E中的一個(gè)點(diǎn)滿足既不是E的左內(nèi)端點(diǎn)，又不是E的右內(nèi)端點(diǎn)，也不是E的孤立點(diǎn)，則稱該點(diǎn)是E的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).

根據(jù)該種分類法，E的左端點(diǎn)可能是孤立點(diǎn)，也可能是右內(nèi)端點(diǎn)，同樣右端點(diǎn)可能是孤立點(diǎn)，也可能是左內(nèi)端點(diǎn)，除此之外的點(diǎn)只能是孤立點(diǎn)、左內(nèi)端點(diǎn)、右內(nèi)端點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)之一.設(shè)x0是E的一個(gè)左內(nèi)端點(diǎn)，根據(jù)定義E中的任何一個(gè)點(diǎn)x只能從x0的左邊無(wú)限逼近于x0，若x0是右內(nèi)端點(diǎn)，則x只能從x0的右邊無(wú)限逼近于x0，而當(dāng)x0是內(nèi)點(diǎn)時(shí),x就可以從x0的兩邊無(wú)限趨近于x0.

設(shè)f(E,x)是緊的s-集E上的一個(gè)以x為變量的一元實(shí)函數(shù)，當(dāng)x0是E的左內(nèi)端點(diǎn)，右內(nèi)端點(diǎn)，內(nèi)點(diǎn)之一，下面定義函數(shù)f(E,x) 在x0處的左T-極限、右T-極限和T-極限.

定義31) 設(shè) x0是E的左內(nèi)端點(diǎn)，在E中x0的右邊如果存在離x0最近的點(diǎn)x1>x0，則稱x1是x0的右鄰點(diǎn)；

2) 設(shè)x0是E的右內(nèi)端點(diǎn)，若存在E中x0的左邊離x0最近的點(diǎn)x2

3) 設(shè)x0是E的孤立點(diǎn)，在E中x0的右邊若存在離x0最近的點(diǎn)x1>x0，稱x1是x0右鄰點(diǎn)；同樣可以定義x0的左鄰點(diǎn).

從定義3中可以看出E的左端點(diǎn)x0是孤立點(diǎn)時(shí)，就一定存在x0的右鄰點(diǎn)，否則右鄰點(diǎn)不存在；當(dāng)右端點(diǎn)x0是孤立點(diǎn)時(shí)，就只存在x0的 左鄰點(diǎn)，除此之外的點(diǎn)若是左內(nèi)端點(diǎn)就只存在右鄰點(diǎn)，右內(nèi)端點(diǎn)就只存在左鄰點(diǎn)，孤立點(diǎn)的左、右鄰點(diǎn)都存在，內(nèi)點(diǎn)的左、右鄰點(diǎn)都不存在.為了表述當(dāng)便，在存在的情況下，用x0-δ和x0+δ分別表示x0的左鄰點(diǎn)和右鄰點(diǎn).

定義41) 設(shè)x0是E的左端點(diǎn).如果當(dāng)x0是孤立點(diǎn)時(shí)，有f(E,x0)=f(E,x0+δ) 成立，當(dāng)x0是右內(nèi)端點(diǎn)時(shí)，有f(E,x0)=f+(E,x0) 成立，則稱函數(shù)f(E,x)在x0處是T-連續(xù)的;

2) 設(shè)x0是E的右端點(diǎn).如果當(dāng)x0是孤立點(diǎn)時(shí)，有f(E,x0)=f(E,x0-δ) 成立，當(dāng)x0是左內(nèi)端點(diǎn)時(shí)，有f(E,x0)=f-(E,x0)成立，則稱函數(shù)f(E,x)在x0處T-連續(xù);

3) 設(shè)x0是E的除左、右端點(diǎn)之外的點(diǎn)，如果當(dāng)x0是孤立點(diǎn)時(shí)，有f(E,x0)=f(E,x0-δ)=f(E,x0+δ) 成立，當(dāng)x0是右內(nèi)端點(diǎn)時(shí)，有f(E,x0)=f+(E,x0)=f(E,x0-δ) 成立，當(dāng)x0是左內(nèi)端點(diǎn)時(shí)，有f(E,x0)=f-(E,x0)=f(E,x0+δ) 成立，當(dāng)x0是內(nèi)點(diǎn)時(shí)，有f(E,x0)=f-(E,x0)=f+(E,x0) 成立，則稱函數(shù)f(E,x)在x0處具有T-連續(xù)性.

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)分析中函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)要求在該點(diǎn)的左右極限與該點(diǎn)的函數(shù)值相等，但由于緊的s-集E往往是不連通的緊集，有無(wú)窮個(gè)點(diǎn)是左鄰點(diǎn)或右鄰點(diǎn)，當(dāng)然也可能有孤立點(diǎn)，在其左鄰點(diǎn)的右極限、右鄰點(diǎn)的左極限及孤立點(diǎn)的左右極限都沒(méi)有定義，從而無(wú)法在這些點(diǎn)處定義連續(xù).為了規(guī)避這種缺陷，在定義中通過(guò)限制函數(shù)f(E,x)在點(diǎn)x0的函數(shù)值與其左右鄰點(diǎn)(當(dāng)存在時(shí))的函數(shù)值都相等來(lái)加以彌補(bǔ)，從而得到這些點(diǎn)的連續(xù)性的定義.類似于分析的方法下面給出在E上整體的T-連續(xù)的定義.

定義5設(shè)f(E,x)是E上的實(shí)函數(shù)，若f(E,x)在E中的每一點(diǎn)處都是T-連續(xù)的，則稱f(E,x)是E上的 T-連續(xù)函數(shù).

由定義和緊的s-集E自身的特點(diǎn)，很容易得到E上的T-連續(xù)函數(shù)具有下列基本性質(zhì).

性質(zhì)1 1) E上的T-連續(xù)函數(shù)不是單射，因此其反函數(shù)一定不存在；

2) 如果E中僅有有限個(gè)內(nèi)點(diǎn)，則 E上的T-連續(xù)函數(shù)是常函數(shù)；

3) E上的常函數(shù)一定是 T-連續(xù)的，經(jīng)典分析中除了常函數(shù)之外的所有其他初等函數(shù)限制在E上都不是 T-連續(xù)的；

4) 函數(shù)的加法、數(shù)乘、乘法、除法及復(fù)合運(yùn)算在有意義的情況下都保持T-連續(xù)性不變.

傳統(tǒng)分析中閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有幾個(gè)重要的性質(zhì)，包括有界性、最值性、介值性和一致連續(xù)性，雖然E是緊集，但由于其在歐氏拓?fù)湎碌牟贿B通性， E上的T-連續(xù)函數(shù)是否也具有類似的性質(zhì)？回答是肯定的.下面就來(lái)討論此問(wèn)題.

定理1若f(E,x)是緊的s-集E上的T-連續(xù)實(shí)函數(shù)，則其值域一定是一個(gè)R中的有界閉區(qū)間.

由該構(gòu)造和定義4，易證 g(x)為閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，且g(x)和f(E,x)有相同的值域，事實(shí)上 g(x)是定義在[a,b]上且在E的每一個(gè)空格區(qū)間內(nèi)及該空格區(qū)間的端點(diǎn)上都為常值的無(wú)窮級(jí)階梯形連續(xù)函數(shù).證畢

由定理1可直接得出推論1.

推論11) E上的 T-連續(xù)函數(shù)是有界函數(shù)；

2) E上的T-連續(xù)函數(shù)可以達(dá)到其最大和最小取值；

3) E上的T-連續(xù)函數(shù)可以能夠取遍其最小取值和最大取值之間的所有數(shù)，即具有介值性，當(dāng)然也有零點(diǎn)定理；

4) E上的 T-連續(xù)函數(shù)是一致連續(xù)的.

此處涉及到E上函數(shù)一致連續(xù)的定義問(wèn)題，事實(shí)上只需在E上函數(shù)的所有連續(xù)內(nèi)點(diǎn)(包括連續(xù)左內(nèi)端點(diǎn)和右內(nèi)端點(diǎn))x0處的極限(包括左極限和右極限)的ε-δ 定義中，控制自變量x變化范圍的δ只由ε確定，而與x0的選取無(wú)關(guān)來(lái)加以描述。

2s-緊集上函數(shù)的Hs-連續(xù)性

設(shè)E是實(shí)數(shù)集R中一個(gè)緊的s-集，現(xiàn)利用s-維Hausdorff測(cè)度對(duì)E中的點(diǎn)作如下分類.

定義61) 如果E中的一個(gè)點(diǎn)滿足存在該點(diǎn)的一個(gè)去心鄰域與E的交集的s-維Hausdorff測(cè)度為零，則稱該點(diǎn)為E的一個(gè)Hs-孤立點(diǎn)；

2) 如果E中的一個(gè)點(diǎn)滿足該點(diǎn)的任何一個(gè)去心右鄰域都與E的交集s-維Hausdorff測(cè)度嚴(yán)格大于零，且存在該點(diǎn)的一個(gè)去心左鄰域與 E的交集的s-維Hausdorff測(cè)度為零，則稱該點(diǎn)為E的一個(gè) Hs-右內(nèi)端點(diǎn)；同樣可定義E的Hs-左內(nèi)端點(diǎn)；

3) 如果E中的一個(gè)點(diǎn)滿足既不是E的Hs-左內(nèi)端點(diǎn)，又不是E的Hs-右內(nèi)端點(diǎn)，也不是E的一個(gè) Hs-孤立點(diǎn)，則稱該點(diǎn)是E的一個(gè)Hs-內(nèi)點(diǎn).

從定義6中可以看出，E 的Hs-右內(nèi)端點(diǎn)僅在其右邊的任意局部范圍內(nèi)都有正的s-維Hausdorff測(cè)度分布，Hs-左內(nèi)端點(diǎn)僅在其左邊的任意局部范圍內(nèi)才有正的s-維Hausdorff測(cè)度分布，而Hs-內(nèi)點(diǎn)的左右兩邊任意局部范圍內(nèi)都有嚴(yán)格大于零的s-維Hausdorff夫測(cè)度分布，而對(duì)Hs-孤立點(diǎn)，則存在該點(diǎn)的一個(gè)局部鄰域的s-維Hausdorff測(cè)度為零.因此利用定義1可以看出，E的孤立點(diǎn)一定是Hs-孤立點(diǎn)；E的 Hs-內(nèi)點(diǎn)一定是E 的內(nèi)點(diǎn)；而右內(nèi)端點(diǎn)和左內(nèi)端點(diǎn)都有可能變成Hs-孤立點(diǎn).

下面給出E上函數(shù)f(E,x)的Hs-左極限、Hs-有極限和Hs-極限的定義.

3) 設(shè)x0是E的Hs- 內(nèi)點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)c滿足c=fHs-(E,x0)=fHs+(E,x0) ，則稱c是f(E,x)在x0處的Hs-極限，記為c=fHs(E,x0).

下面定義 E上函數(shù)f(E,x)的Hs-連續(xù)性和Hs-一致連續(xù)性等概念.

定義81) 設(shè)x0是E中的任意點(diǎn).當(dāng)x0是E的Hs-左內(nèi)端點(diǎn)時(shí)，有f(E,x0)=fHs-(E,x0)成立；當(dāng)x0是E的Hs-右內(nèi)端點(diǎn)時(shí)，有f(E,x0)=fHs+(E,x0)成立；當(dāng)x0是E的Hs-內(nèi)點(diǎn)時(shí)，有f(E,x0)=fHs-(E,x0)=fHs+(E,x0)；當(dāng)x0是E的Hs-孤立點(diǎn)時(shí)，對(duì)任意的δ1,δ2>0，只要Hs(E∩[x0-δ1,x0+δ2])=0，就一定有f(E,x)在E∩[x0-δ1,x0+δ2]上取常數(shù)值， 則稱函數(shù)f(E,x)在E上是Hs-連續(xù)函數(shù)；

2) 在Hs-連續(xù)的定義中，若還滿足函數(shù)f(E,x)在x0處Hs-極限(包括左極限和右極限)的ε-δ定義中的δ只與ε有關(guān)，而與x0在E中作為Hs-內(nèi)點(diǎn)或者Hs-內(nèi)端點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)，則稱函數(shù)f(E,x)在E上是Hs-一致連續(xù)的.

根據(jù)定義8同樣有E上的Hs-連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算保持Hs-連續(xù)性不變，并且Hs-連續(xù)函數(shù)一定是Hs-一致連續(xù)的，另外由于E的Hs-內(nèi)點(diǎn)和Hs-內(nèi)端點(diǎn)一定分別是定義1的內(nèi)點(diǎn)和內(nèi)端點(diǎn)，反之則不然，因此不需加以證明的下述結(jié)論.

定理2 E上的Hs-連續(xù)函數(shù)一定是T-連續(xù)函數(shù)，反之則不成立.

1) 并集E1∪E2上的Hs2-連續(xù)函數(shù)在E1上只能取常值，因此E1∪E2和E2上具有相同的Hs2-連續(xù)函數(shù)；

下面給出Cantor三分集E上今后將要用到的一些具體Hs-連續(xù)函數(shù)的例子.

例3設(shè)f(u)是閉區(qū)間上的[0,Hs(E)]=[0,1]上的初等連續(xù)函數(shù)，稱復(fù)合函數(shù)f(h(E,x)) 是分形集E上的初等函數(shù)，如(h(E,x))α,ch(E,x)(c>0), 分別稱為Cantor集E上的冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和余弦函數(shù)，同樣有E上的初等函數(shù)是Hs-連續(xù)的.

3緊的s-集上Hs- 連續(xù)函數(shù)的擴(kuò)張

命題1設(shè)E1,E2分別是緊的s1-集和s2-集，且E1?E2，則

1)E1上的T-連續(xù)函數(shù)在R上的擴(kuò)張函數(shù)限制在E2上構(gòu)成E2上的 T-連續(xù)函數(shù)；

2) 只有當(dāng)s1=s2=s時(shí)，E1上的Hs-連續(xù)函數(shù)在R上的擴(kuò)張函數(shù)限制在E2上構(gòu)成E2上的Hs-連續(xù)函數(shù).

該性質(zhì)的結(jié)論緣于在E1?E2的條件下，E1中的內(nèi)點(diǎn)一定是E2的內(nèi)點(diǎn)，E1中的內(nèi)端點(diǎn)一定是E2的內(nèi)端點(diǎn)或內(nèi)點(diǎn)；在E1?E2的條件下，只有當(dāng)s1=s2=s時(shí)，E1中的Hs-內(nèi)點(diǎn)才一定是E2的Hs-內(nèi)點(diǎn)，E1中的內(nèi)端點(diǎn)才一定是E2的Hs-內(nèi)端點(diǎn)或Hs-內(nèi)點(diǎn)，而當(dāng)s1

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Continuity of Function on Fractal in Real Set

Liang Li, Long Lunhai, He Yong

(School of Information Science and Technology, Hainan University, Haikou 570228，China)

Abstract：Aimed at the complete unconnectedness of compacts-setEin real set, the definition, propriety, algorithm and some related theorems ofT-continuous andHspan-continuous by means of Euclidean topology and Hausdorff measure were proposed, and the continuity theory for the real function of one variable on fractal in R was established.

Keywords：compacts-set; Hausdorff measure;T-Continuous;Hspan-Continuous

中圖分類號(hào)：O 174.12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2015.0019

文章編號(hào)：1004-1729(2015)02-0104-05

收稿日期：------------------------ 2014-10-10基金項(xiàng)目： 海南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(113003);海南大學(xué)2013年度校級(jí)教育教學(xué)研究項(xiàng)目(hdjy1331).

作者簡(jiǎn)介：梁莉( 1978 - ), 女, 四川內(nèi)江人, 講師.