丁智堅(jiān)，蔡 洪，楊華波，連丁磊

(1.國防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙410073;2.北京航天控制儀器研究所，北京100039)

浮球式慣性導(dǎo)航平臺系統(tǒng)(簡稱浮球平臺)相對于傳統(tǒng)框架式慣性平臺具有精度高、可靠性強(qiáng)、穩(wěn)定性好和抗干擾能力突出等優(yōu)勢，常被裝備于戰(zhàn)略武器型號(如“民兵Ⅲ”和“侏儒”等戰(zhàn)略導(dǎo)彈)［1－2］。不同于傳統(tǒng)框架式慣性平臺，浮球平臺是一種無框架支撐的靜壓液浮穩(wěn)定平臺，慣性測量單元(Inertial Measurement Unit，IMU)安裝在一個(gè)球形穩(wěn)定部件(內(nèi)球)上，采用靜壓液浮支撐技術(shù)將內(nèi)球穩(wěn)定在一個(gè)大球(外球)殼內(nèi)，以此隔離外界運(yùn)動對內(nèi)球的干擾，消除了動態(tài)條件下軸承之間的摩擦，改善了IMU的工作環(huán)境，提高了系統(tǒng)的測量精度［3］。作為制導(dǎo)、導(dǎo)航與控制(Guidance，Navigation and Control，GNC)系統(tǒng)的核心器件，浮球平臺的初始對準(zhǔn)精度與測量水平關(guān)系到整個(gè)導(dǎo)彈的打擊精度。因此在導(dǎo)彈發(fā)射前，必須對浮球平臺進(jìn)行標(biāo)定與對準(zhǔn)。

目前，慣性平臺的標(biāo)定常采用多位置標(biāo)定方法［4－5］。這種方法不需要外界其他設(shè)備提供基準(zhǔn)信息，運(yùn)算量小，但易引入器件的安裝誤差以及對準(zhǔn)誤差等誤差因素，且該方法能夠標(biāo)定的誤差系數(shù)的個(gè)數(shù)有限。關(guān)于靜基座下平臺慣導(dǎo)系統(tǒng)初始對準(zhǔn)方法主要有基于經(jīng)典控制理論的頻域法和基于現(xiàn)代控制理論的狀態(tài)空間法兩大類［6－7］。無論采用哪類方法，其初始對準(zhǔn)的精度均受制于慣性器件的測量水平。由于這些方法將慣性平臺的標(biāo)定與對準(zhǔn)分開進(jìn)行，使得二者之間相互影響，相互制約，因而無法滿足戰(zhàn)略武器的高精度要求［8］。

連續(xù)翻滾自標(biāo)定自對準(zhǔn)技術(shù)［9－16］是一種適用于慣性平臺系統(tǒng)的自標(biāo)定自對準(zhǔn)方法。該方法以當(dāng)?shù)刂亓κ噶亢偷厍蜃赞D(zhuǎn)角速度信息為基準(zhǔn)，通過框架系統(tǒng)控制臺體在1g重力場內(nèi)連續(xù)翻滾，同時(shí)完成對平臺的標(biāo)定與對準(zhǔn)。文獻(xiàn)［9－16］針對慣性平臺連續(xù)翻滾自標(biāo)定技術(shù)展開了深入的研究。但是這些研究都是針對框架式平臺系統(tǒng)，關(guān)于浮球平臺的研究較少。除此以外，大多數(shù)文獻(xiàn)以平臺失準(zhǔn)角作為狀態(tài)量，建立失準(zhǔn)角濾波方案。這種方法沒有考慮到大失準(zhǔn)角的情況，且小角度的假設(shè)條件較為苛刻，當(dāng)模型不準(zhǔn)確或標(biāo)定時(shí)間較長時(shí)容易導(dǎo)致濾波器發(fā)散。文獻(xiàn)［16］表明當(dāng)失準(zhǔn)角誤差超過0.05°時(shí)，失準(zhǔn)角濾波方案將無法對平臺各項(xiàng)誤差系數(shù)進(jìn)行有效的估計(jì)。

針對上述問題，以浮球平臺為研究對象，開展了浮球平臺連續(xù)翻滾自標(biāo)定自對準(zhǔn)的研究。仿真結(jié)果表明，利用本文所提的方法，陀螺誤差系數(shù)的標(biāo)定精度可優(yōu)于(1E－3)(°)/h，加速度計(jì)誤差系數(shù)的標(biāo)定精度小于(1E－6)g，對準(zhǔn)精度優(yōu)于1″，滿足高精度戰(zhàn)略武器的精度要求。

1 浮球平臺姿態(tài)動力學(xué)模型

1.1 相應(yīng)坐標(biāo)系及相互關(guān)系

假設(shè)浮球平臺由三個(gè)三浮陀螺儀和三個(gè)石英加速度計(jì)組成，各儀表的安裝取向如圖1所示。

圖1 平臺幾何結(jié)構(gòu)Fig.1 Platform geometry

與框架式平臺系統(tǒng)不同，浮球平臺的內(nèi)球內(nèi)并沒有六面體基準(zhǔn)，本文以X石英加速度計(jì)的敏感軸為基準(zhǔn)，建立內(nèi)球坐標(biāo)系，描述IMU與內(nèi)球之間的安裝關(guān)系。

1)導(dǎo)航系(n系):以當(dāng)?shù)氐乩硐底鳛閷?dǎo)航坐標(biāo)系，即“北－天－東”坐標(biāo)系。

2)內(nèi)球坐標(biāo)系(p系):取內(nèi)球幾何中心O為原點(diǎn);OXP軸與X石英加速度計(jì)的敏感軸平行;OYP軸平行于X和Y石英加速度計(jì)的敏感軸所確定的平面，并與OXP軸垂直;OZP軸與OXP軸和OYP軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

3)i(i=X，Y，Z)加速度計(jì)坐標(biāo)系(ai系)，坐標(biāo)軸分別與i石英加速度計(jì)的I軸、P軸和O軸平行。根據(jù)定義可以看出X加速度計(jì)不存在安裝誤差，Y加速度計(jì)存在1個(gè)安裝誤差角，Z加速度計(jì)存在2個(gè)安裝誤差角。假設(shè)安裝誤差角均為小量，根據(jù)小角度假設(shè)理論，有

其中:I3為3階單位矩陣;M1，M2，M3分別為3個(gè)方向的姿態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

4)加速度計(jì)敏感軸坐標(biāo)系(as系)，是非正交坐標(biāo)系，其坐標(biāo)軸與三個(gè)石英加速度計(jì)的敏感軸平行，與p系的關(guān)系如圖2所示。根據(jù)小角度假設(shè)理論，從p系到as系的轉(zhuǎn)換矩陣可寫為

圖2 加速度計(jì)敏感軸坐標(biāo)系Fig.2 Accelerometer sensitivity axis axes frame

5)i陀螺儀坐標(biāo)系(gi系)，坐標(biāo)軸分別與i陀螺儀的I軸、O軸和S軸平行。由定義易知，每個(gè)陀螺儀存在兩個(gè)安裝誤差角(如圖3所示)。假設(shè)安裝誤差角為小量，根據(jù)小角度假設(shè)理論，有

圖3 陀螺儀坐標(biāo)系Fig.3 Gyroscope axes frame

6)陀螺儀敏感軸坐標(biāo)系(gs系)，是非正交坐標(biāo)系，坐標(biāo)軸與三個(gè)陀螺儀的敏感軸平行。根據(jù)小角度假設(shè)，從p系到gs系的轉(zhuǎn)換矩陣可寫為

此外，本文以常見的“321”轉(zhuǎn)序定義從p系到n系的歐拉角轉(zhuǎn)序，對應(yīng)的歐拉角分別為γ，β，α，即:

1.2 慣性器件誤差模型

1)陀螺儀誤差模型。以X陀螺儀為例，目前最常用的陀螺儀靜態(tài)誤差模型為［17］

式中:εx表示X陀螺儀的靜態(tài)漂移;kg0x為陀螺儀零偏為陀螺儀一次項(xiàng)和kg33x為交叉項(xiàng);nx表示零均值高斯白噪聲表示比力在X陀螺儀坐標(biāo)系中的投影，即:

2)加速度計(jì)誤差模型。以X加速度計(jì)為例，其測量模型為［17］

式中:Ax為加速度計(jì)的輸出;ka0x為加速度計(jì)零偏;ka1x為加速度計(jì)刻度因子誤差;ka2x為加速度計(jì)二次項(xiàng);νx為觀測噪聲;表示比力在X加速度計(jì)輸入軸的分量。

1.3 內(nèi)球姿態(tài)動力學(xué)方程

根據(jù)歐拉動力學(xué)方程，有

將式(13)改寫為

根據(jù)慣性平臺的工作原理［8］，內(nèi)球的絕對角運(yùn)動主要由陀螺儀輸出信號和相應(yīng)的穩(wěn)定回路決定［3］，主要包括指令角速度信息、陀螺儀漂移、穩(wěn)定回路誤差等，即:

式中:εp表示陀螺儀的靜態(tài)漂移在p系下的投影;δωservo為由平臺穩(wěn)定回路造成的不確定偏差;為指令角速度在p系下的投影。

考慮到平臺工作原理和陀螺儀的安裝誤差以及陀螺儀力矩器線性偏差，式(15)可寫為

式中:ε=［εxεyεz］T，εi由式(10)決定;K G為陀螺儀力矩器刻度因子。假設(shè)陀螺儀刻度因子只有線性偏差，即K G=I3+ΔK G，ΔK G為陀螺儀刻度因子誤差。

將式(16)代入式(14)，有

式(17)描述了內(nèi)球相對于導(dǎo)航系的姿態(tài)角變化過程，其中陀螺儀漂移和指令角速度是引起內(nèi)球絕對角運(yùn)動的主要因素。

2 浮球平臺自標(biāo)定自對準(zhǔn)方案

從上一節(jié)姿態(tài)動力學(xué)的推導(dǎo)過程中可以看出，加速度計(jì)輸出中包含內(nèi)球的姿態(tài)信息，而內(nèi)球的姿態(tài)又與陀螺儀漂移相關(guān)。因此，可以將加速度計(jì)的輸出作為觀測量，通過Kalman濾波器估計(jì)出加速度計(jì)和陀螺儀的各項(xiàng)誤差系數(shù)及內(nèi)球的姿態(tài)角信息。

2.1 濾波模型

選取陀螺儀各項(xiàng)誤差系數(shù)(包括陀螺儀零偏、一次項(xiàng)、交叉項(xiàng)和安裝誤差)、加速度計(jì)各項(xiàng)誤差系數(shù)(包含加速度計(jì)零次項(xiàng)、刻度因子偏差、二次項(xiàng)和安裝誤差)、陀螺儀力矩系數(shù)偏差以及浮球平臺姿態(tài)角作為系統(tǒng)狀態(tài)變量，即:

為了簡化濾波方程，忽略部分高階小量乘積，將式(17)改寫為

根據(jù)簡化后的浮球平臺姿態(tài)動力學(xué)方程式(19)和加速度計(jì)的輸出方程式(12)，建立系統(tǒng)方程和觀測方程

與傳統(tǒng)失準(zhǔn)角模型不一樣，所建的系統(tǒng)模型和觀測模型均為時(shí)變非線性模型。由于用姿態(tài)角代替了失準(zhǔn)角，這種模型可以有效地避免由失準(zhǔn)角過大導(dǎo)致模型失效的問題，增強(qiáng)了模型的真實(shí)性和魯棒性，減小了模型的偏差，但同時(shí)也增加了運(yùn)算量。為了計(jì)算方便，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter，EKF)非線性濾波算法辨識誤差系數(shù)。

2.2 施矩方案

1.2節(jié)中的IMU誤差模型反映了部分誤差系數(shù)的激勵大小與其所受的比力相關(guān)。為了保證所有誤差系數(shù)都可觀，必須設(shè)計(jì)合理的施矩方案，以確保p系的三個(gè)軸均有在1g重力場內(nèi)翻滾的時(shí)間段，從而確保施矩方案能夠激勵出所有誤差系數(shù)。此外，合理的施矩方案不僅可以提高系統(tǒng)的可觀測性，而且可以加快誤差系數(shù)的收斂速度。

為了減小桿臂效應(yīng)對加速度計(jì)輸出的影響，要求指令角速度不得太大。但過慢的轉(zhuǎn)速會降低陀螺力矩系數(shù)和陀螺儀安裝誤差角的可觀性，且會延長標(biāo)定所需的時(shí)間。與此同時(shí)，為了簡化對平臺的操作，避免因多軸同時(shí)旋轉(zhuǎn)帶來的平臺“飛轉(zhuǎn)”，采取單軸依次旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)方案。此外，文獻(xiàn)［10］指出繞垂直于重力矢量方向的旋轉(zhuǎn)能夠最大限度地激勵慣導(dǎo)平臺各項(xiàng)誤差系數(shù)?？紤]了上述的約束條件，本文采用的施矩方案如下:

Step1平臺歸零，與導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行粗對準(zhǔn);

Step2以0.1(°)/s的速率繞地理南旋轉(zhuǎn)1800s;

Step3以0.1(°)/s的速率繞地理東旋轉(zhuǎn)900s;

Step4以0.1(°)/s的速率繞地理南旋轉(zhuǎn)1800s;

Step5以0.1(°)/s的速率繞地理東旋轉(zhuǎn)900s。

上述施矩方案能夠確保內(nèi)球繞每個(gè)軸均轉(zhuǎn)動了180°左右，且所有的轉(zhuǎn)動均是在重力矢量平面內(nèi)進(jìn)行的。根據(jù)文獻(xiàn)［10］的結(jié)論，這種施矩方案具有較好的可觀性，且方便實(shí)驗(yàn)員對內(nèi)球的轉(zhuǎn)動直接地進(jìn)行觀察，以便判斷內(nèi)球是否按照設(shè)計(jì)軌跡旋轉(zhuǎn)。

2.3 系統(tǒng)可觀測性分析

對于非線性系統(tǒng)的可觀測性分析目前尚無成熟的理論可供參考。文獻(xiàn)［16］采用Lie導(dǎo)數(shù)和奇異值理論分析了系統(tǒng)的可觀測性。文獻(xiàn)［15－16］采用靈敏度方法分析了狀態(tài)參數(shù)的激勵特性。從理論角度來看，參數(shù)的激勵程度與參數(shù)的可觀測性不能一一對應(yīng)，但能在一定程度上反應(yīng)出參數(shù)的可觀測性。

由于所建立的濾波模型維數(shù)較高(45維)，很難利用Lie導(dǎo)數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的信息矩陣M?？紤]到指令角速度較小，采樣周期較短(2ms)，內(nèi)球在采樣周期內(nèi)姿態(tài)變化不大，故可認(rèn)為系統(tǒng)在采樣周期內(nèi)為線性定常系統(tǒng)?；谏鲜黾僭O(shè)，利用分段線性定常系統(tǒng)(Piece Wise Constant System，PWCS)理論分析系統(tǒng)的可觀測性。結(jié)果表明，系統(tǒng)信息矩陣M的秩為45，與系統(tǒng)的維數(shù)相同，因此所設(shè)計(jì)的施矩方案是可觀的。

利用輸出靈敏度理論對誤差系數(shù)的激勵特性進(jìn)行了分析，結(jié)果如圖4～7所示(限于篇幅，這里給出部分誤差系數(shù)的輸出靈敏度曲線)。

圖4 陀螺儀零偏的靈敏度曲線Fig.4 The sensitivity curves of gyroscope biases

圖5 X陀螺儀一次項(xiàng)的靈敏度曲線Fig.5 The sensitivity curves for first items of X gyroscope

圖6 X陀螺儀安裝誤差項(xiàng)的靈敏度曲線Fig.6 The sensitivity curves for X gyroscope misalignments

從圖5～7中可以看出，不同誤差系數(shù)由于激勵大小存在差異，系數(shù)的輸出靈敏度不同，但是均有相對較高輸出靈敏度的時(shí)間段。這說明了所設(shè)計(jì)的施矩方案能夠確保所有誤差系數(shù)得到充分有效的激勵。

圖7 Y加速度計(jì)誤差項(xiàng)的靈敏度曲線Fig.7 The sensitivity curves for Y accelerometer error coefficients

此外，從式(20)中可以看出，指令角速度是激勵陀螺安裝誤差和陀螺力矩系數(shù)的主要因素。由于設(shè)計(jì)的指令角速度較小，因此，相對于其他參數(shù)，陀螺儀安裝誤差與陀螺力矩系數(shù)的可觀性較差。

3 仿真分析

3.1 仿真條件

誤差系數(shù)的仿真真值按照正態(tài)分布隨機(jī)生成，其均值與標(biāo)準(zhǔn)差如表1所示。其中姿態(tài)角單位為(°)，陀螺儀零偏單位為(°)/h，一次項(xiàng)單位為(°)/(h·g)，交叉項(xiàng)單位為(°)/(h·g2)，所有安裝誤差單位為角秒，加速度計(jì)刻度因子誤差和陀螺力矩系數(shù)誤差單位為ppm，加速度計(jì)零偏單位為μg，加速度計(jì)二次項(xiàng)單位為μg2。如果不作特殊說明，后文采用相同的單位。

假設(shè)陀螺儀隨機(jī)漂移和加速度計(jì)測量噪聲均為零均值高斯白噪聲，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.05(°)/h和1μg;系統(tǒng)采樣周期2ms，加矩指令周期1s，濾波周期0.2s;濾波變量初值為0。

加速度計(jì)桿臂矢量為

加速度計(jì)桿臂效應(yīng)可以描述為

在仿真中，觀測值由式(9)、式(12)、式(17)與式(23)生成，濾波模型采用式(20)與式(21)，所有積分過程采用4階龍格庫塔積分算法。

3.2 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證自標(biāo)定與自對準(zhǔn)方法的魯棒性，采用蒙特卡洛仿真。濾波初值均為0，其他參數(shù)根據(jù)慣性器件性能相應(yīng)地設(shè)計(jì)。濾波結(jié)束后，取最后100s(此時(shí)濾波已經(jīng)穩(wěn)定)數(shù)據(jù)的平均值作為當(dāng)次誤差系數(shù)標(biāo)定的結(jié)果，對500次仿真的標(biāo)定誤差與對準(zhǔn)偏差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如表1所示。其中姿態(tài)角的估計(jì)偏差的單位為角秒。

從表1中可以看出，姿態(tài)角的估計(jì)偏差小于1″;陀螺儀零偏的估計(jì)偏差小于(1E－3)(°)/h;陀螺儀一次項(xiàng)估計(jì)偏差小于0.01(°)/(h·g);交叉項(xiàng)估計(jì)偏差小于0.005(°)/(h·g2);加速度計(jì)零偏估計(jì)偏差小于1μg;刻度因子估計(jì)偏差小于1ppm;二次項(xiàng)小于(1E－6)g;陀螺儀安裝誤差角估計(jì)偏差小于5″;加速度計(jì)安裝誤差角估計(jì)偏差小于0.1″;陀螺儀力矩系數(shù)估計(jì)偏差小于5ppm。各項(xiàng)誤差系數(shù)估計(jì)偏差的標(biāo)準(zhǔn)差與估計(jì)偏差均值大小量級一致。此外，從仿真結(jié)果還可以看出，加速度計(jì)的誤差系數(shù)估計(jì)效果是最好的，這是由于加速度計(jì)輸出作為觀測值，使得加速度計(jì)的誤差系數(shù)可觀性較強(qiáng)引起的。對比陀螺儀安裝誤差和陀螺力矩系數(shù)與其他參數(shù)的估計(jì)效果可以看出，陀螺儀安裝誤差和陀螺力矩系數(shù)估計(jì)效果相對較差，這與之前的可觀性分析結(jié)果一致。另外，從姿態(tài)角的跟蹤結(jié)果中可以看出，姿態(tài)角濾波方案能在初始姿態(tài)最大誤差角為5°條件下實(shí)現(xiàn)對慣性平臺的有效標(biāo)定，減輕了標(biāo)定對初始條件的依賴。上述仿真結(jié)果充分地驗(yàn)證了本文所提的自標(biāo)定自對準(zhǔn)方法的穩(wěn)定性和有效性。

表1 狀態(tài)初值與仿真結(jié)果Tab.1 Initial state values and simulation results

4 結(jié)論

針對浮球平臺的自標(biāo)定與自對準(zhǔn)問題，提出了一種基于內(nèi)球姿態(tài)角的自標(biāo)定自對準(zhǔn)方法。該方法能同時(shí)標(biāo)定出42項(xiàng)平臺誤差系數(shù)并實(shí)現(xiàn)平臺初始對準(zhǔn)。仿真結(jié)果表明，利用該方法陀螺儀的標(biāo)定精度小于5E－3，加速度計(jì)標(biāo)定精度優(yōu)于1E－6，姿態(tài)角對準(zhǔn)精度高于1″。相對于傳統(tǒng)的平臺標(biāo)定與初始對準(zhǔn)方法，該方法適用于浮球平臺的高精度標(biāo)定和初始對準(zhǔn)，整個(gè)過程無須外界設(shè)備提供輔助信息，標(biāo)定與對準(zhǔn)的精度較高，是一種具有良好工程應(yīng)用前景的自標(biāo)定與自對準(zhǔn)方法。

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