部分頻帶干擾下偽碼跟蹤誤差分析*

瞿 智，楊 俊，楊建偉

(國(guó)防科技大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410073)

擴(kuò)頻測(cè)距系統(tǒng)中，精確的偽碼同步是高精度測(cè)控和精密測(cè)量定軌的核心。部分頻帶干擾作為一種常見(jiàn)的干擾，可能會(huì)嚴(yán)重惡化偽碼跟蹤精度［1-2］。干擾環(huán)境中的偽碼跟蹤性能分析，是擴(kuò)頻測(cè)距系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容［2-4］。

傳統(tǒng)方法分析部分頻帶干擾下的偽碼跟蹤性能時(shí)，假設(shè)干擾帶寬比較寬，忽略了偽碼的非理想隨機(jī)特性:文獻(xiàn)［5］結(jié)合跟蹤環(huán)路的穩(wěn)態(tài)特性分析了寬帶白噪聲條件下的偽碼跟蹤誤差;文獻(xiàn)［6-9］基于偽碼功率譜給出了帶限高斯白噪聲條件下偽碼跟蹤誤差的解析表達(dá)式。這些文獻(xiàn)并未給出干擾帶寬的定量要求，沒(méi)有明確這些分析方法的適用條件。同時(shí)，一部分文獻(xiàn)在分析單頻干擾下的偽碼跟蹤性能時(shí)，考慮了偽碼的非理想隨機(jī)特性:文獻(xiàn)［10］引入導(dǎo)航信號(hào)模型分析了單頻干擾導(dǎo)致的偽碼跟蹤誤差;文獻(xiàn)［11-12］基于周期偽碼的離散譜分析了單頻干擾對(duì)延遲鎖定環(huán)鑒相曲線的影響，并定義了干擾誤差包絡(luò)(Interference Error Envelope，IEE)和干擾平滑誤差(Interference Running Average，IRA)兩個(gè)參量來(lái)評(píng)估干擾對(duì)導(dǎo)航接收機(jī)測(cè)距性能的影響;文獻(xiàn)［13-14］基于偽碼的離散譜推導(dǎo)了單頻干擾下偽碼跟蹤的最大誤差和平均誤差。

可以看出，在部分頻帶干擾下缺乏有效的分析來(lái)衡量不同干擾帶寬情況下偽碼跟蹤性能的分析精度。忽略偽碼非理想隨機(jī)特性，基于偽碼簡(jiǎn)化譜分析，計(jì)算成本小，但可能存在較大的分析誤差?？紤]非理想隨機(jī)特性，基于偽碼精細(xì)譜分析，分析精度高，但計(jì)算成本高。

1 系統(tǒng)與信號(hào)模型

1.1 偽碼跟蹤系統(tǒng)模型

擴(kuò)頻測(cè)距接收機(jī)的測(cè)距精度主要由碼環(huán)的跟蹤性能決定，偽碼跟蹤的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。接收機(jī)模擬通道假定為理想的帶通濾波器，并考慮信號(hào)載頻已剝離，那么接收機(jī)前端濾波器等效為帶內(nèi)幅度增益為1和截止頻率為B/2的低通濾波器hr(t)。假定擴(kuò)頻信號(hào)的頻率和相位能夠精確跟蹤，主要研究碼環(huán)的跟蹤性能。

圖1 基帶信號(hào)的偽碼跟蹤處理流程Fig.1 Code tracking process of baseband signal

不考慮熱噪聲，基帶接收信號(hào)的模型為

式中，Cs表示接收的有用信號(hào)功率，s(t)表示經(jīng)過(guò)理想低通濾波器的基帶擴(kuò)頻信號(hào)，i(t)表示部分頻帶干擾，t0表示相對(duì)于起點(diǎn)的時(shí)間延遲，T表示積分時(shí)間。

1.2 部分頻帶干擾信號(hào)模型

假定干擾是高斯的，功率譜是帶限且?guī)?nèi)平坦的，即

式中，Ci表示接收的干擾信號(hào)功率，Gi(f)表示干擾歸一化功率譜，fi表示干擾中心頻率，Bi表示干擾帶寬。

1.3 擴(kuò)頻信號(hào)模型

目前，分析部分頻帶干擾下的偽碼跟蹤性能時(shí)，假定干擾帶寬足夠大，并忽略擴(kuò)頻碼的非理想隨機(jī)特性［7］。對(duì)于二進(jìn)制相移鍵控(Binary Phase Shift Keying，BPSK)調(diào)制，擴(kuò)頻信號(hào)的歸一化功率譜模型簡(jiǎn)化為

式中，Tc表示碼片周期。這里假定偽碼為理想隨機(jī)碼，僅關(guān)注了脈沖調(diào)制賦形，并沒(méi)有體現(xiàn)擴(kuò)頻信號(hào)的偽隨機(jī)特性。因此這個(gè)簡(jiǎn)化的平滑譜不能用來(lái)研究具體偽碼跟蹤性能的細(xì)節(jié)特征。

由于偽碼并非理想的隨機(jī)信號(hào)，并且短周期碼廣泛應(yīng)用到全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System，GNSS)和遙測(cè)、跟蹤和指揮(Telemetry，Track and Command，TT＆C)中的精密測(cè)距和定位，基于簡(jiǎn)化的平滑譜模型的分析不能滿足高精度測(cè)距應(yīng)用的需求。充分考慮短周期偽碼的非理想隨機(jī)特性和短周期特性，引入擴(kuò)頻信號(hào)模型

式中，*表示卷積，c(t)表示偽碼序列，p(t)表示脈沖編碼賦形，L表示偽碼序列長(zhǎng)度，T0表示偽碼周期，且T=KT0，K∈Z+。

利用傅里葉變換，由式(4)可以得到擴(kuò)頻信號(hào)頻譜為

由于擴(kuò)頻解擴(kuò)的積分時(shí)間一般較長(zhǎng)，擴(kuò)頻信號(hào)精確的功率譜為

其中:

可以看出周期偽碼信號(hào)的功率譜由三部分組成，第一部分P(f)說(shuō)明功率譜的基本形狀由脈沖編碼賦形決定，第二部分X(f)體現(xiàn)了偽碼的非理想隨機(jī)特性對(duì)功率譜的影響，第三部分A(f)反映了積分時(shí)間對(duì)功率譜細(xì)節(jié)特征的影響。

對(duì)于理想隨機(jī)碼，X(f)=1，并且取T=T0時(shí)，式(6)等價(jià)于式(3)。對(duì)于短周期碼，X(f)存在很大的幅度波動(dòng)，這里以GPS L1 C/A碼為例，由式(8)得到PRN1～PRN32的功率譜最大波動(dòng)量，見(jiàn)圖2。

圖2 GPS L1 C/A碼功率譜最大波動(dòng)量Fig.2 Maximum fluctuation of power spectrum of GPS L1 C/A codes

可以看出，偽碼非理想隨機(jī)特性導(dǎo)致的功率譜波動(dòng)量達(dá)到6.91～9.53dB，這可能導(dǎo)致較大的偽碼跟蹤誤差變化。尤其在部分頻帶干擾帶寬較窄的情況下，擴(kuò)頻信號(hào)功率譜局部頻段的幅度波動(dòng)可能嚴(yán)重惡化偽碼跟蹤性能。下面基于精細(xì)功率譜，定量分析偽碼非理想隨機(jī)特性導(dǎo)致的偽碼跟蹤精度變化。

2 偽碼跟蹤誤差特性分析

2.1 偽碼跟蹤誤差

當(dāng)接收機(jī)碼環(huán)采用相干鑒相時(shí)，部分頻帶干擾下偽碼跟蹤誤差的方差為［8］

式中，BL表示碼環(huán)等效噪聲帶寬，τ表示碼環(huán)超前滯后間隔。

將式(2)代入式(10)，可得

式(11)表明偽碼譜特性很大程度上影響著部分頻帶干擾下的偽碼跟蹤誤差，并且隨著干擾中心頻率和干擾帶寬的變化，跟蹤誤差的變化也與偽碼功率譜密切相關(guān)。偽碼非理想隨機(jī)特性導(dǎo)致的功率譜波動(dòng)，將引起偽碼跟蹤誤差的變化。尤其在干擾帶寬較窄時(shí)，從式(11)的分子部分可以看出，跟蹤性能對(duì)偽碼功率譜局部頻段的特征將更加敏感。

2.2 相對(duì)誤差系數(shù)

為定量分析偽碼非理想隨機(jī)特性對(duì)跟蹤精度的影響，這里引入相對(duì)誤差系數(shù)

式中，σ0表示基于簡(jiǎn)化的擴(kuò)頻信號(hào)功率譜Gs0(f)得到的跟蹤誤差，σ1表示基于精細(xì)的擴(kuò)頻信號(hào)功率譜Gs1(f)得到的跟蹤誤差。

相對(duì)誤差系數(shù)反映了偽碼非理想隨機(jī)特性導(dǎo)致的功率譜波動(dòng)對(duì)跟蹤誤差的影響，也可以看作部分頻帶干擾下準(zhǔn)確的跟蹤誤差相對(duì)于基于簡(jiǎn)化譜分析得到的跟蹤誤差的相對(duì)誤差，以此來(lái)衡量簡(jiǎn)化譜分析的適用性。

由于在寬帶范圍內(nèi)積分，偽碼功率譜波動(dòng)對(duì)積分結(jié)果的影響可忽略［2］，那么由式(11)和式(12)可以得到

從式(13)可以看出，相對(duì)誤差系數(shù)不再與干信比和環(huán)路等效噪聲帶寬等參量有關(guān)。同時(shí)，碼環(huán)超前滯后間隔τ較小(一般情況下僅0.001～1個(gè)Tc)，其對(duì)相對(duì)誤差系數(shù)的影響非常小?？傮w來(lái)看，相對(duì)誤差系數(shù)主要受偽碼譜特性和干擾特征參量的影響。

這里首先針對(duì)兩種典型情況予以說(shuō)明。

當(dāng)干擾帶寬極窄時(shí)，即Bi〈1/(5T)時(shí)，式(13)可以化簡(jiǎn)為

根據(jù)式(3)、式(6)和式(14)，可以得到

式中，μ表示偽碼功率譜最大波動(dòng)量。

由式(15)可以看出，在干擾帶寬較窄時(shí)，偽碼功率譜波動(dòng)越大或積分時(shí)間越長(zhǎng)，基于兩種譜的誤差分析差異越大，反映出基于簡(jiǎn)化譜的分析也越不準(zhǔn)確。以GPS L1 C/A PRN 5碼為例，即使在T=T0時(shí)，相對(duì)誤差系數(shù)也高達(dá)1.68。也就是說(shuō)，此時(shí)的偽碼跟蹤誤差是基于簡(jiǎn)化譜分析結(jié)果的2.68倍，這說(shuō)明基于簡(jiǎn)化的平滑譜分析已完全不可用。

另一種情況，是Bi〉5/T0，這在工程實(shí)踐中比較常見(jiàn)。隨著干擾帶寬的增加，相對(duì)誤差系數(shù)將越來(lái)越小直至接近于0，這說(shuō)明基于簡(jiǎn)化的平滑譜的跟蹤誤差分析將逐漸適用。這里需要給出明確的界限以便于實(shí)際應(yīng)用中能夠確定適用簡(jiǎn)化譜的條件。由于偽隨機(jī)碼的多樣性，下面將以GPS L1 C/A碼為例進(jìn)行數(shù)值分析，給出各自的簡(jiǎn)化譜適用條件，并通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析給出簡(jiǎn)化譜適用的經(jīng)驗(yàn)條件。

3 數(shù)值分析

干擾帶寬是影響基于兩種譜分析的性能差異的主要特征參量，這里基于不同的干擾帶寬對(duì)比兩種跟蹤精度分析。數(shù)值分析參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 數(shù)值分析參數(shù)表Tab.1 Parameters of numerical analysis

當(dāng)干擾帶寬為100Hz時(shí)，基于兩個(gè)譜分析的偽碼跟蹤誤差和相對(duì)誤差系數(shù)分別見(jiàn)圖3和圖4?？梢钥闯觯?dāng)干擾帶寬較小時(shí)，兩者的差異明顯，相對(duì)誤差系數(shù)可達(dá)1.681。這說(shuō)明偽碼的非理想隨機(jī)特性在較窄的部分頻帶干擾中對(duì)跟蹤精度的影響較大，不能忽略，此時(shí)基于簡(jiǎn)化譜的偽碼跟蹤精度分析已不可用。

當(dāng)干擾帶寬為300kHz時(shí)，基于兩個(gè)譜分析的偽碼跟蹤誤差和相對(duì)誤差系數(shù)分別見(jiàn)圖5和圖6。兩個(gè)跟蹤誤差趨于一致，相對(duì)誤差系數(shù)小于0.06。這說(shuō)明在干擾帶寬較寬時(shí)，偽碼的非理想隨機(jī)特性對(duì)碼跟蹤誤差的影響很小，跟蹤精度的分析可完全采用簡(jiǎn)化的平滑譜以減少計(jì)算量。

由前面的分析可知，分別基于簡(jiǎn)化的功率譜和精細(xì)的功率譜得到偽碼跟蹤誤差的差異隨著干擾帶寬的增加而減小。只有這個(gè)差異小于一定的條件時(shí)，基于簡(jiǎn)化譜的分析才是適用的。為此，設(shè)定當(dāng)相對(duì)誤差系數(shù)小于0.2時(shí)，即偽碼非理想隨機(jī)特性引起的跟蹤誤差波動(dòng)小于20%時(shí)，可以認(rèn)為基于簡(jiǎn)化譜的分析是適用的。

圖3 基于兩種譜的跟蹤誤差對(duì)比(Bi=100Hz)Fig.3 Comparison of tracking error based on two spectrums(Bi=100Hz)

圖4 相對(duì)誤差系數(shù)(Bi=100Hz)Fig.4 Relative error coefficient(Bi=100Hz)

圖5 基于兩種譜的跟蹤誤差對(duì)比(Bi=300kHz)Fig.5 Comparison of tracking error based on two spectrums(Bi=300kHz)

不同干擾帶寬條件下，GPS L1 C/A PRN 5最大的相對(duì)誤差系數(shù)見(jiàn)圖7。隨著干擾帶寬的增加，最大相對(duì)誤差系數(shù)逐漸減小，基于簡(jiǎn)化譜的分析也更加準(zhǔn)確?？梢钥闯?，當(dāng)干擾帶寬大于約200kHz時(shí)，基于簡(jiǎn)化譜的分析誤差小于20%。

圖6 相對(duì)誤差系數(shù)(Bi=300kHz)Fig.6 Relative error coefficient(Bi=300kHz)

圖7 最大相對(duì)誤差隨干擾帶寬的變化特性(GPS C/A PRN 5)Fig.7 Maximum relative error versus interference bandwidth(GPS C/A PRN 5)

基于簡(jiǎn)化譜的分析誤差主要是由偽碼的非理想隨機(jī)特性引起的，但不同偽碼的非理想隨機(jī)特性存在一定的差異。這里給出GPS L1的32個(gè)C/A碼在基于簡(jiǎn)化譜的分析誤差不超過(guò)20%時(shí)的最小干擾帶寬，見(jiàn)表2。

從表中可以看出，PRN 17的非理想隨機(jī)特性對(duì)誤差分析的影響最大，干擾帶寬大于285kHz時(shí)，才能基于簡(jiǎn)化譜進(jìn)行誤差分析，而PRN 32的非理想隨機(jī)特性對(duì)誤差分析的影響相對(duì)較小，只要干擾帶寬大于26kHz，基于簡(jiǎn)化譜的分析誤差就小于20%?？傮w來(lái)看，對(duì)于大多數(shù)碼，干擾帶寬大于100kHz(即偽碼周期的頻率的100倍)時(shí)，相對(duì)誤差系數(shù)小于20%?；诒Ｊ胤治?，對(duì)于所有偽碼，干擾帶寬大于300kHz(300/T0)時(shí)，基于簡(jiǎn)化譜的分析誤差可忽略，這可以作為適用基于簡(jiǎn)化譜分析的一般條件。同時(shí)，可以將此帶寬作為劃分窄帶干擾和寬帶干擾的分界線。當(dāng)基于簡(jiǎn)化譜的分析誤差小于20%時(shí)，偽碼非理想隨機(jī)特性可忽略，認(rèn)為干擾為寬帶干擾;當(dāng)基于簡(jiǎn)化的分析誤差大于20%時(shí)，偽碼非理想隨機(jī)特性對(duì)碼跟蹤精度的影響不可忽略，此時(shí)干擾為窄帶干擾。

表2 最小干擾帶寬(GPS C/A碼)Tab.2 Minimum interference bandwidth(GPS C/A codes)

4 結(jié)論

本文定量分析了偽碼非理想隨機(jī)特性對(duì)部分頻帶干擾下的偽碼跟蹤精度的影響。引入能夠描述偽碼非理想隨機(jī)特性的精確功率譜模型，分析了偽碼跟蹤誤差，并以傳統(tǒng)的基于簡(jiǎn)化的平滑譜模型得到的偽碼跟蹤誤差為基準(zhǔn)進(jìn)行了對(duì)比分析。當(dāng)干擾帶寬較寬時(shí)，偽碼非理想隨機(jī)特性對(duì)跟蹤誤差的影響較小，但當(dāng)干擾帶寬較小時(shí)，基于平滑譜模型得到的偽碼跟蹤性能的分析誤差較大。本文定義了相對(duì)誤差系數(shù)，能夠定量描述由偽碼非理想隨機(jī)特性導(dǎo)致理論分析的相對(duì)誤差。給出了GPS L1 C/A碼在相對(duì)誤差小于20%時(shí)的最小干擾帶寬，并將這個(gè)帶寬作為簡(jiǎn)化譜適用的條件門限。分析發(fā)現(xiàn)，最小干擾帶寬不超過(guò)偽碼周期的頻率的300倍。當(dāng)干擾帶寬大于這個(gè)帶寬時(shí)，偽碼非理想隨機(jī)特性在偽碼跟蹤精度分析中可忽略，反之，則需要考慮非理想隨機(jī)特性導(dǎo)致的擴(kuò)頻信號(hào)功率譜波動(dòng)，只有基于精細(xì)的偽碼譜模型才能得到精確的偽碼跟蹤誤差分析。

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