李建華，于懷勇，雷 明，吳衍記

(北京自動(dòng)化控制設(shè)備研究所，北京100074)

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諧振式光子晶體光纖陀螺環(huán)路建模與仿真

李建華，于懷勇，雷 明，吳衍記

(北京自動(dòng)化控制設(shè)備研究所，北京100074)

諧振式光子晶體光纖陀螺；PI控制器；相對(duì)頻率噪聲；隨機(jī)游走系數(shù)

0 引言

隨著武器裝備系統(tǒng)的發(fā)展，特別是在小型化飛航導(dǎo)航、高精度常規(guī)武器等領(lǐng)域，對(duì)小型化下高精度光纖陀螺提出了新的需求，迫切需要一種新型的小體積、高精度光纖陀螺產(chǎn)品。諧振式光纖陀螺原理上利用長(zhǎng)度僅為幾米至十幾米的光纖諧振腔就可以實(shí)現(xiàn)很高的精度[1]，成為光纖陀螺小型化、高精度方向發(fā)展的潛力方案之一，也引起了研究者的廣泛關(guān)注。但國(guó)內(nèi)外研究單位三十幾年的研究表明：非線性克爾噪聲、熱致偏振耦合噪聲及光源相對(duì)頻率噪聲等因素嚴(yán)重制約了諧振式光纖陀螺的技術(shù)發(fā)展，其性能還不能滿足應(yīng)用需求[2-3]。

隨著光子晶體光纖技術(shù)的發(fā)展，諧振式光子晶體光纖陀螺越來越受到人們的重視，為抑制非線性克爾噪聲與熱致偏振耦合噪聲提供了一條嶄新的技術(shù)途徑。目前，國(guó)外光子晶體光纖陀螺研究的代表單位是美國(guó)Honeywell公司、Northrop Grumman公司、Standford大學(xué)等，其中Honeywell公司和Northrop Grumman公司將諧振式光子晶體光纖陀螺列到光纖陀螺中長(zhǎng)期發(fā)展規(guī)劃中，作為小型化下實(shí)現(xiàn)高精度光纖陀螺的主要技術(shù)方案[4]。

在非線性克爾噪聲與熱致偏振耦合噪聲受到抑制的情況下，光源相對(duì)頻率噪聲成為制約諧振式光子晶體光纖陀螺精度的主要因素，對(duì)隨機(jī)游走系數(shù)造成嚴(yán)重影響。為有效地改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和精度指標(biāo)，引入PI控制器設(shè)計(jì)回路控制系統(tǒng)，PI控制器在控制領(lǐng)域有著最廣泛的應(yīng)用[5]。本文通過設(shè)計(jì)PI控制器的控制參數(shù)，對(duì)環(huán)路模型進(jìn)行仿真與優(yōu)化。在此基礎(chǔ)上，通過對(duì)檢測(cè)帶寬的設(shè)計(jì)，對(duì)相對(duì)頻率噪聲進(jìn)行抑制，以減小隨機(jī)游走系數(shù)，提高諧振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)的檢測(cè)精度，最終對(duì)不同精度諧振式光子晶體光纖陀螺設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

1 基本原理

諧振式光子晶體光纖陀螺的檢測(cè)原理為光學(xué)Sagnac效應(yīng)，主要是通過敏感順、逆時(shí)針兩方向的頻率差Δf來實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)角速度Ω檢測(cè)[6]。諧振頻率差Δf正比于旋轉(zhuǎn)角速度，表示為

(1)

其中，D為環(huán)形諧振腔的直徑，n為光纖折射率，λ為輸入光的工作波長(zhǎng)。

圖1給出了諧振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)框圖。諧振式光子晶體光纖陀螺必須鎖定順、逆時(shí)針至少一個(gè)方向傳播的光波，使其始終處于諧振狀態(tài)。在逆時(shí)針方向上，光束通過分束器C1進(jìn)入光子晶體光纖環(huán)形諧振腔，再通過耦合器C4由光電探測(cè)器PD1進(jìn)行檢測(cè)，進(jìn)而由伺服回路驅(qū)動(dòng)光源中心頻率的改變，使其鎖定在諧振腔逆時(shí)針諧振頻率上；同理，在順時(shí)針方向上，光束從諧振腔輸出之后通過耦合器C3，由光電探測(cè)器PD2轉(zhuǎn)化為電信號(hào)，并在第二個(gè)相敏解調(diào)器中進(jìn)行解調(diào)。解調(diào)器輸出的信號(hào)通過與光源的光波頻率進(jìn)行比較，給出了諧振腔相對(duì)于慣性空間旋轉(zhuǎn)的幅值和方向。

圖1 諧振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)框圖Fig.1 The structure of resonatorphotonic crystal fiber optical gyro

2 陀螺環(huán)路模型建立

2.1 陀螺環(huán)路理想狀態(tài)模型

為便于系統(tǒng)分析，需建立諧振式光子晶體光纖陀螺環(huán)路模型，順時(shí)針和逆時(shí)針方向環(huán)路結(jié)構(gòu)相似，可以進(jìn)行同等等效。理想情況下，在順時(shí)針(CW)環(huán)路模型中，可以將光束頻率調(diào)制及經(jīng)過諧振腔到光電探測(cè)器輸出的過程等效為增益KCW，將解調(diào)(DM)電路的增益等效為K1，將低通濾波器(Filter)等效為一階慣性環(huán)節(jié)。根據(jù)以上分析，建立諧振式光子晶體光纖陀螺環(huán)路簡(jiǎn)化模型，如圖2所示。

圖2 諧振式光子晶體光纖陀螺順時(shí)針理想環(huán)路模型Fig.2 The ideal clockwise loop model ofresonator photonic crystal fiber optical gyro

在諧振式光子晶體光纖陀螺工作的過程中，光源發(fā)出的激光(中心頻率為f0)經(jīng)過相位調(diào)制器之后，耦合進(jìn)入環(huán)形諧振腔，形成順時(shí)針方向上的諧振光束。順時(shí)針方向的光波在環(huán)形諧振腔中環(huán)繞多次傳輸之后，由光電探測(cè)器轉(zhuǎn)化成電信號(hào)輸出。鎖相放大器對(duì)光電探測(cè)器輸出的電信號(hào)進(jìn)行解調(diào)，解調(diào)輸出信號(hào)作為反饋回路的誤差信號(hào)，將光源的中心頻率調(diào)節(jié)為f0+KMIF(KM為激光器頻率調(diào)制系數(shù)，IF為控制激光器頻率的反饋電流信號(hào))。只要存在解調(diào)輸出信號(hào)，反饋伺服將一直運(yùn)行，直到光源的中心頻率鎖定在諧振腔順時(shí)針方向的諧振頻率上達(dá)到環(huán)路的平衡狀態(tài)。根據(jù)上述順時(shí)針工作機(jī)理的分析，順時(shí)針環(huán)路開環(huán)傳遞函數(shù)表示為

(2)

式中，KL=KMKCWK1稱為環(huán)路增益，τ為濾波器時(shí)間常數(shù)?？梢钥闯鲋C振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)為一典型的慣性系統(tǒng)。對(duì)于諧振式光子晶體光纖陀螺，雖然能夠有效抑制非線性克爾噪聲與熱致偏振耦合噪聲，但光源的相對(duì)頻率噪聲會(huì)嚴(yán)重影響隨機(jī)游走系數(shù)，從而降低陀螺對(duì)旋轉(zhuǎn)角速率的測(cè)量精度[4]。

2.2 陀螺相對(duì)頻率噪聲環(huán)路抑制模型

(3)

其中，G為環(huán)路系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅值，Sf為激光光源的初始頻率噪聲功率譜密度。Sf由洛倫茲激光線性光譜的半高全寬(FWHM)Δν決定

(4)

由式(3)與式(4)可得

(5)

系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅值是頻率的函數(shù)。對(duì)于一階環(huán)路來說，頻率每降低十倍頻程，環(huán)路增益會(huì)增加20dB，相應(yīng)的頻率噪聲會(huì)隨著頻率的降低而減小。單純的慣性環(huán)節(jié)無法消除階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差[7]，也就無法較好地抑制相對(duì)頻率噪聲。因此，需要通過設(shè)計(jì)PI控制器提高系統(tǒng)的型別，來抑制可控頻率噪聲功率譜密度，此時(shí)順時(shí)針環(huán)路新的模型如圖3所示。

圖3 諧振式光子晶體光纖陀螺順時(shí)針環(huán)路相對(duì)頻率噪聲抑制模型Fig.3 The relative frequency noise control model of resonator photonic crystal fiber optical gyro clockwise loop

圖3中PI控制器的數(shù)學(xué)描述為

(6)

式中，u(t)為控制器輸出信號(hào)；e(t)=x(t)-o(t)為系統(tǒng)誤差信號(hào)，x(t)為系統(tǒng)輸入信號(hào)，o(t)為系統(tǒng)輸出信號(hào)；Kp為比例系數(shù)；Ti為積分時(shí)間常數(shù)。通過調(diào)節(jié)比例系數(shù)Kp可以降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，而Ti決定積分作用強(qiáng)弱，積分環(huán)節(jié)能起到提高系統(tǒng)無差度的作用。因此，可以通過調(diào)節(jié)PI控制器的系數(shù)Kp和Ti來控制頻率響應(yīng)的幅值，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)可控頻率噪聲功率譜密度的控制。

PI控制器的傳遞函數(shù)可以表示為

(7)

此時(shí)，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)表示為

(8)

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)及開環(huán)幅頻響應(yīng)的值為：

(9)

(10)

式中，定義K=KPKL為新的環(huán)路增益。加入PI控制器之后，系統(tǒng)由慣性系統(tǒng)變?yōu)槎A系統(tǒng)，提高了系統(tǒng)的型別[7]。

3 環(huán)路模型仿真與優(yōu)化

在模型仿真的過程中關(guān)鍵是PI控制器參數(shù)的選取，包括比例和積分兩個(gè)環(huán)節(jié)的參數(shù)Kp和Ti。從PI控制器對(duì)環(huán)路的影響考慮，PI參數(shù)選擇應(yīng)該滿足超調(diào)量較小、帶寬較大的原則，超調(diào)量也不能太小，否則會(huì)增大系統(tǒng)阻尼影響響應(yīng)時(shí)間，故超調(diào)量一般選取為5%～15%[7]。

對(duì)于二階系統(tǒng)，跟據(jù)式(9)可求得無阻尼振蕩頻率ωn和阻尼比ξ：

(11)

(12)

阻尼比ξ與超調(diào)量σP之間的表達(dá)式為

(13)

控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性可以由閉環(huán)傳遞函數(shù)得出，并且可以寫成

(14)

其中，A(ω)為閉環(huán)幅頻特性。由式(8)可知開環(huán)傳遞函數(shù)中含有串聯(lián)積分環(huán)節(jié)，則閉環(huán)幅頻特性在ω=0處的值為A(0)=1。當(dāng)閉環(huán)幅頻特性降至0.707A(0)時(shí)，對(duì)應(yīng)的角頻率ωb為閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬[7]。此時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性的值為

(15)

系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)如圖4所示，通過對(duì)頻率響應(yīng)的分析可知，系統(tǒng)帶寬分別為39.1kHz、38.3kHz、37.4kHz、36.7kHz、36.1kHz、35.6kHz，可知隨著超調(diào)量的增加，系統(tǒng)帶寬越來越小，諧振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)能夠獲得大帶寬，帶寬越大，響應(yīng)時(shí)間越小，預(yù)示著系統(tǒng)有較小的響應(yīng)時(shí)間；系統(tǒng)的相角裕度分別為69°、67°、63°、59°、57°、55°，可見隨著超調(diào)量的增加，系統(tǒng)的相角裕度越來越小，相角裕度是控制系統(tǒng)的重要指標(biāo)，反映閉環(huán)系統(tǒng)遠(yuǎn)離臨界穩(wěn)定狀態(tài)的程度，通常要求大于30°，故該諧振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)能夠得到較大的相角裕度。

圖4 系統(tǒng)幅頻響應(yīng)示意圖Fig.4 Magnitude response of the system

設(shè)計(jì)的諧振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)帶寬和相角裕度均能滿足要求，可以用閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，進(jìn)一步檢驗(yàn)系統(tǒng)的性能。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖5所示，在不同的參數(shù)下諧振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)都能很好地跟蹤上階躍響應(yīng)，響應(yīng)時(shí)間為1.3×10-4s(±3%)；系統(tǒng)的超調(diào)量越來越大，從8%增加到17%，超調(diào)量過大會(huì)造成陀螺的偽轉(zhuǎn)動(dòng)，使檢測(cè)精度降低。綜上可知，當(dāng)將超調(diào)量設(shè)定為5%進(jìn)行仿真時(shí)系統(tǒng)的性能最優(yōu)，此時(shí)K=1.68，Ti=2.5×10-5s，得到的帶寬為39.1kHz，且響應(yīng)時(shí)間為1.24×10-4s，超調(diào)量為最小的8%，環(huán)路無震蕩，滿足諧振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)設(shè)計(jì)的性能指標(biāo)要求。

圖5 系統(tǒng)階躍響應(yīng)示意圖Fig.5 Step response of the system

獲得理想閉環(huán)系統(tǒng)參數(shù)之后，進(jìn)行檢測(cè)帶寬的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)隨機(jī)游走系數(shù)的控制，通過推導(dǎo)得到隨機(jī)游走系數(shù)與檢測(cè)帶寬及可控頻率噪聲功率譜密度之間的關(guān)系為

(16)

其中，ωf為檢測(cè)帶寬。因此，利用式(5)、式(10)、式(16)計(jì)算可得系統(tǒng)檢測(cè)帶寬與隨機(jī)游走系數(shù)之間的關(guān)系如圖6所示。

圖6 檢測(cè)帶寬與隨機(jī)游走系數(shù)關(guān)系圖Fig.6 The relationship bwtweendetecting bandwidth and RWC

4 結(jié)論

本文對(duì)諧振式光子晶體光纖陀螺環(huán)路模型進(jìn)行了仿真與優(yōu)化，并進(jìn)行檢測(cè)帶寬的設(shè)計(jì)，得到如下結(jié)論：

1)通過對(duì)相對(duì)頻率噪聲的分析，將經(jīng)典控制理論運(yùn)用于諧振式光子晶體光纖陀螺模型中，引入PI控制器，與理想情況下的一階慣性環(huán)節(jié)構(gòu)成反饋控制回路；

2)經(jīng)過優(yōu)化PI參數(shù)，得到諧振式光子晶體光纖陀螺模型的系統(tǒng)帶寬為39.1kHz，響應(yīng)時(shí)間為1.24×10-4s，超調(diào)量為8%，滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的要求；

3)將仿真得到的結(jié)果應(yīng)用于諧振式光子晶體光纖陀螺模型中，根據(jù)諧振式光子晶體光纖陀螺性能指標(biāo)的要求，通過檢測(cè)帶寬的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)不同精度諧振式光子晶體光纖陀螺，當(dāng)檢測(cè)帶寬小于15Hz，諧振式光子晶體光纖陀螺精度滿足戰(zhàn)術(shù)級(jí)陀螺的要求，當(dāng)檢測(cè)帶寬小于3Hz，諧振式光子晶體光纖陀螺精度滿足導(dǎo)航級(jí)陀螺的要求。

[1] 張維敘.光纖陀螺及其應(yīng)用[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2008：1-20.

[2] Glen A Sanders，Lee K Strandjordand，Tiequn Qiu.Hollow Core fiber optic ring resonator for rotation rensing[J]. OSA，2006：1-2.

[3] 于懷勇，吳衍記，雷明，李宗利.硅基波導(dǎo)諧振腔特性分析與實(shí)驗(yàn)研究[J].導(dǎo)航定位與授時(shí)，2015，2(2)：46-53.

[4] Glen A Sanders，Scottsdale，AZ(US)；Lee K Str-andjord，Tonka Bay，MN(US).System and met-hod forstabilizing light sources in resonator gyro[P].U.S.Patant NO.7372574，2008.

[5] 顏文俊，陳素琴，林峰.控制理論CAI教程[M].北京：科學(xué)出版社，2003：212-217.

[6] 孫眾.諧振式激光學(xué)陀螺雙路閉環(huán)信號(hào)檢測(cè)技術(shù)研究[D]. 碩士學(xué)位論文.杭州，浙江大學(xué)，2012.

[7] 裴潤(rùn)，宋申民.自動(dòng)控制原理[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2006：74-271.

Modeling and Simulation of Resonator Photonic Crystal Fiber Optical Gyro Structure Based on Multi-source

LI Jian-hua，YU Huai-yong，LEI Ming，WU Yan-ji

(Beijing Institute of Automatic Control Equipment，Beijing 100074，China)

Resonator photonic crystal fiber optical gyro； PI controller； The relative frequency noise； The random walk coefficient

2015 - 04 - 09；

2015 - 04 - 28。

李建華(1990 - )，男，碩士，主要從事光纖陀螺的研究。

TP273

A

2095-8110(2015)05-0058-05