薛 紅，金宇寰

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安710048)

具有違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)模型

薛 紅，金宇寰

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安710048)

假定股票價(jià)格和企業(yè)資產(chǎn)價(jià)值均服從雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，建立雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下金融市場(chǎng)數(shù)學(xué)模型，利用保險(xiǎn)精算方法，得到雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)公式.

雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)；可轉(zhuǎn)換債券；違約風(fēng)險(xiǎn)；保險(xiǎn)精算

可轉(zhuǎn)換債券是指發(fā)行人依照法定程序發(fā)行、在一定時(shí)間內(nèi)依據(jù)約定的條件可以轉(zhuǎn)換成股份的公司債券.可轉(zhuǎn)換債券是普通公司債券和認(rèn)股權(quán)證的組合，兼具債權(quán)和股權(quán)的雙重屬性.文獻(xiàn)[1]在股票價(jià)格、公司資產(chǎn)價(jià)值均服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)條件下，利用風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖方法建立帶違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)模型，通過(guò)解偏微分方程得到其定價(jià)公式；文獻(xiàn)[2]采用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的擴(kuò)散過(guò)程刻畫(huà)股票價(jià)格和公司資產(chǎn)價(jià)值，利用擬-鞅方法建立具有公司違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型，得出可轉(zhuǎn)換債券價(jià)格.文獻(xiàn)[3]提出雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)更為廣泛的自相似高斯過(guò)程，關(guān)于雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的概念、性質(zhì)、隨機(jī)分析基本理論和應(yīng)用見(jiàn)文獻(xiàn)[3-5]. 本文在股票價(jià)格和企業(yè)資產(chǎn)價(jià)值均遵循雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，建立了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下金融市場(chǎng)數(shù)學(xué)模型，利用保險(xiǎn)精算方法，得到了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券保險(xiǎn)精算價(jià)格.

1 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下金融市場(chǎng)模型

|t-s|2HK),s,t≥0

其中H∈(0,1),K∈(0,2).

當(dāng)K=1時(shí)，雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)就退化為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，當(dāng)K=1,H=1/2時(shí)，雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)就退化為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

假定公司資產(chǎn)價(jià)值A(chǔ)(t)和股票價(jià)格S(t)分別滿足如下隨機(jī)微分方程

假定公司存在違約風(fēng)險(xiǎn)，當(dāng)公司資產(chǎn)價(jià)值A(chǔ)(t)低于某一固定水平D時(shí)，公司將發(fā)生違約行為，其中D是常數(shù).

(1)

(2)

引理1 隨機(jī)微分方程(1)(2)的解分別為

定義2[6]股票價(jià)格{S(t),t≥0}在[0,t]上的期望回報(bào)率β(u),u∈[0,t]定義為

引理2 股票價(jià)格{S(t),t≥0}在[0,t]上的期望回報(bào)率βS(u),u∈[0,t]為

βs(u)=μs,u∈[0,t]

同理，公司資產(chǎn)價(jià)值{A(t),t≥0}在[0,t]上的期望回報(bào)率βA(u),u∈[0,t]為

βA(u)=μA,u∈[0,t]

證明 由引理1可知

又因?yàn)?/p>

所以

同理有

2 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下帶違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)

定義3[1]假設(shè)可轉(zhuǎn)換債券只在債券到期時(shí)刻發(fā)生轉(zhuǎn)股及違約情形，可轉(zhuǎn)換債券到期時(shí)的現(xiàn)金流量VT為

其中:VT表示可轉(zhuǎn)換債券到期時(shí)刻T的價(jià)值，Pb表示純債券價(jià)值，C表示事前約定的轉(zhuǎn)換價(jià)格，M表示債券面值，S(T)表示T時(shí)刻股票價(jià)格[7].

定義4 具有違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券在0時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為

V0=E{Pbexp{-rT}·

其中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r折現(xiàn)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按其期望收益率β折現(xiàn).

定理1 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券保險(xiǎn)精算價(jià)格

其中

證明 由引理1及2可得

令

則

ξ～N(0,1),η～N(0,1,ρξ,η)=δ.

由于

則

V0=E{Pbexp{-rT}I{ζ<-d1,η>-d2}+

V1+V2+V3,

其中

V1=E{Pbexp{-rT}I{ζ<-d1,η≥-d2}}=

Pbexp{-rT}P{ζ<-d1,-η≤d2}=

Pbexp{-rT}Φ(-d1,d2,-δ),

令

x1=x+σTHK,y1=y+δσTHK,

則

A(0)Φ(-d2-σATHK).

注： 當(dāng)K=1時(shí)，可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券保險(xiǎn)精算價(jià)格(見(jiàn)文獻(xiàn)[1-2])

其中

其中

[1] 潘 堅(jiān), 周香英. 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下帶違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)模型[J]. 數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用, 2013, 33(1): 63-68.

[2] 劉善存, 宋殿宇，金 華. 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下帶違約風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)[J], 中國(guó)管理科學(xué), 2011, 19(6): 25-30.

[3]ES-SEBAIYK,TUDORCA.MultidimensionalbifractionalBrownianmotion:ItoandTanakaformulas[J].StochasticsandDynamics, 2007, 7(3): 365-388.

[4]RUSSOF,TUDORC.OnthebifractionalBrownianmotion[J].StochasticProcessesandApplications, 2006, 116(5): 830-856.

[5] 肖瑋麟, 張衛(wèi)國(guó), 徐維東. 雙分式布朗運(yùn)動(dòng)下股本權(quán)證的定價(jià)[J]. 系統(tǒng)工程學(xué)報(bào), 2013, 28(3): 348-354.

[6] 何永紅, 薛 紅, 王曉東. 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下再裝期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)[J]. 紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 25(3): 384-387.

[7] 楊淑彩，薛 紅，王曉東.具有隨機(jī)利率的分?jǐn)?shù)型復(fù)合期權(quán)定價(jià)模型[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，30(1)：97-102.

Convertible bond pricing model with default risk

XUE Hong, JIN Yu-huan

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

It was assumed that the asset price and enterprise value satisfy stochastic differential equation driven by the bifractional Brownian motion. The mathematical model of financial markets in the bifractional Brownian motion environment was established. Using actuarial method, the pricing formula of the convertible bond with default risk in bifractional Brownian motion environment was obtained.

bifractional Brownian motion; convertible bond; default risk; actuarial method

2014-12-08.

陜西省教育廳自然科學(xué)專項(xiàng)基金(12JK0862)

薛 紅(1964-)，男，博士，教授，研究方向：隨機(jī)分析與金融.

O211

A

1672-0946(2015)06-0748-03