姬聰云 南 英 安 彬 陳昊翔

南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京210016

進(jìn)入21世紀(jì)，以火星，小行星為牽引的探測計(jì)劃即將拉開序幕?；鹦鞘堑厍虻慕彛奶卣髟诤芏喾矫娑寂c地球極為相似，是太陽系八大行星之一，按離太陽由近及遠(yuǎn)的次序排列為第4?；鹦菍τ谌祟愑幸环N特殊的吸引力，因?yàn)樗翘栂抵凶罱频厍虻奶祗w，它的赤道平面與公轉(zhuǎn)軌道平面交角非常接近于地球，這使它也有類似地球的四季交替，同時(shí)，火星的自轉(zhuǎn)周期為24小時(shí)37分，火星上的一天幾乎和地球上一樣長。

有人認(rèn)為，火星的現(xiàn)在就是地球的未來。因而開展火星探測和研究，對于認(rèn)識人類居住的地球環(huán)境，特別是認(rèn)識地球的長期演化過程，具有十分重要的意義［1］。從1965年的“水手4號”探測器到2012年的“好奇號”火星探測器登陸火星，美國在火星探測方面已具有很強(qiáng)的優(yōu)勢。而軌跡優(yōu)化是星際往返問題(火星探測)中至關(guān)重要的一步，牽涉到飛行器各種功能的實(shí)現(xiàn)和指標(biāo)任務(wù)的達(dá)成，NASA已經(jīng)確定了把軌跡優(yōu)化技術(shù)作為下一代多級重復(fù)使用航天器能否成功的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)［2］。

關(guān)于地球-火星往返軌跡優(yōu)化的論文并不多見，由文獻(xiàn)［3-4］可以看出，這些論文都只對由地球到火星的單程飛行軌跡進(jìn)行優(yōu)化，而且性能指標(biāo)也比較單一(飛行時(shí)間或者燃料消耗量)，但是在真實(shí)飛行環(huán)境下，必須考慮使飛行時(shí)間最短和燃料消耗量最少的控制條件。另外，隨著深空探測技術(shù)的日趨成熟，未來還要考慮探測器返回地球的軌跡優(yōu)化。美國近四十年的實(shí)驗(yàn)研究與實(shí)踐已積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，對未來的飛行器設(shè)計(jì)已經(jīng)擁有較為具體的藍(lán)本;我國在本世紀(jì)初開始了火星探測的規(guī)劃，并已經(jīng)實(shí)施。因此，本文以美國NASA火星探測器為飛行器模型，結(jié)合我國的航天任務(wù)需求，起飛地點(diǎn)等實(shí)際情況，采用一種組合優(yōu)化算法對整個(gè)火星探測的飛行軌跡(包括從地球到火星的飛行軌跡和從火星返回地球的飛行軌跡)進(jìn)行了全局一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)。該組合算法包括靜態(tài)參數(shù)和動(dòng)態(tài)參數(shù)優(yōu)化方法。靜態(tài)參數(shù)優(yōu)化采用遺傳算法，動(dòng)態(tài)參數(shù)優(yōu)化采用原始自然算法。

1 問題描述

2015年4月1日至2017年4月1日，將火星探測器從地球發(fā)射，在盡可能短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)火星，在火星探測工作1至2年時(shí)間，然后返回地球。

航天器的初始質(zhì)量m=1500kg，推進(jìn)器比沖Isp=3000s，推進(jìn)的速度方向可以任意設(shè)定，推進(jìn)器的開關(guān)時(shí)間和次數(shù)沒有限制。

航天火星探測軌跡優(yōu)化是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題，優(yōu)化目標(biāo)主要有:1)在火星駐留時(shí)間最長;2)飛行過程中所耗的燃料最省;3)往返飛行時(shí)間最短。航天器深空探測任務(wù)中在火星周圍駐留的時(shí)間越長，能夠使航天器上的有效載荷工作時(shí)間最長，獲得更多的有用信息數(shù)據(jù);航天器飛行過程中所消耗的燃料越少，所耗費(fèi)的成本越少，航天器之后也能進(jìn)行更多的其它探索任務(wù);往返飛行時(shí)間短可以使航天器所獲得的數(shù)據(jù)盡快傳送到地面研究人員手中，盡可能縮短人類探索太空的時(shí)間。

但是，顯然以上3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)并不能同時(shí)達(dá)到，需要優(yōu)化設(shè)計(jì)一整套飛行程序，使得以下綜合性能指標(biāo)式(4)～(10)達(dá)到最優(yōu)［5-7］，即:

飛行器最大可用推力:TMax=0.2N;飛行器離開行星時(shí)的最大可用速度差:ΔVMax=1.21 km/s，在離開地球和火星時(shí)，飛行器加速需要消耗一定的燃料，本問題中不作考慮，由其它子系統(tǒng)提供;ΔVM，f與ΔVE，f分別是到達(dá)火星與地球時(shí)相對火星與地球的速度 限 制［8-9］，ΔVM，f，Max=4.0km/s，ΔVE，f，Max=11.0km/s。

由式(1)可得，要使性能指標(biāo)最大，航天器與火星交會(huì)時(shí)的誤差(dr，dv)最小，航天器返回地球時(shí)的剩余質(zhì)量mf最大，任務(wù)飛行時(shí)間t1最短，同時(shí)航天器留在火星探測的時(shí)間t2最長。

在J2000坐標(biāo)系中，地球和火星繞太陽運(yùn)行采用多體動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)微分方程:

2018年作為改革開放40周年，從青磚黛瓦到高樓大廈，從綠皮火車到高鐵飛機(jī)，在中國擁抱世界的這四十年間，讓中國各行業(yè)翻開新的篇章。作為一名工業(yè)媒體人， 更是感嘆我國從工業(yè)化水平低到世界制造大國，完成現(xiàn)代化工業(yè)的華麗轉(zhuǎn)身。在飛速發(fā)展的階段，總會(huì)有一些契機(jī)，來讓我們思考未來的方向。

式中，(Vx，Vy，Vz)為探測器的飛行速度，(x，y，z)為探測器的3個(gè)直角坐標(biāo)，(xi，yi，zi)為第 i顆行星的3 個(gè)直角坐標(biāo)，(Δxi，Δyi，Δzi)為第 i顆行星與探測器的坐標(biāo)值之差;r為探測器與太陽間的距離，Δri為飛行器與第i顆行星的距離;T(Tx，Ty，Tz)為探測器的控制推力，m為探測器的質(zhì)量，Isp為發(fā)動(dòng)機(jī)的比沖，g0=9.81m/s2;ns是所涉及到的行星個(gè)數(shù)，μs是太陽引力常數(shù)，μi是第i顆行星的引力常數(shù)。

2 軌跡優(yōu)化方法

軌跡優(yōu)化算法采用組合優(yōu)化算法，優(yōu)化算法的組合方式參見文獻(xiàn)［10-12］，關(guān)于組合優(yōu)化算法優(yōu)化程序中用到的靜態(tài)參數(shù)與動(dòng)態(tài)參數(shù)優(yōu)化算法分別是:1)靜態(tài)參數(shù)的迭代優(yōu)化算法為改進(jìn)遺傳算法，計(jì)算步驟參見文獻(xiàn)［13］;

2)動(dòng)態(tài)參數(shù)的迭代優(yōu)化算法為原始的自然算法［14］。

原始的自然算法的優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算步驟共分N+1步，在文獻(xiàn)［14］的物質(zhì)普適性算法基礎(chǔ)上進(jìn)行簡化，與文獻(xiàn)［14］的計(jì)算步驟類同，具體的算法步驟如下:

第1步:計(jì)算t=t0～t1的軌跡，求從第0時(shí)段到第1時(shí)段最優(yōu)控制u*(0)，從起點(diǎn)X(0)=X0出發(fā)，求第1時(shí)段最優(yōu)控制u*(1)

在自然計(jì)算的飛行仿真過程中，淘汰大量飛行方案，繼承進(jìn)化了許多相對“優(yōu)化”的方案，詳細(xì)的計(jì)算步驟與邏輯框圖參見文獻(xiàn)［14］。

3 仿真結(jié)果及分析

針對所提出的問題式(1)～(11)，采用飛行軌跡的組合優(yōu)化算法，經(jīng)過大規(guī)模的飛行優(yōu)化數(shù)值仿真，得到一套最優(yōu)的地-火往返飛行方案如下。

3.1 飛行仿真的結(jié)果

3.1.1 探測器從地球飛向火星

飛行器從地球出發(fā)到達(dá)火星的最優(yōu)4-D飛行軌跡、速度—飛行時(shí)間、飛行器質(zhì)量—飛行時(shí)間、推力控制—飛行時(shí)間分別見圖1～4。

圖1 探測器從地球到火星的最優(yōu)飛行軌跡

3.1.2 經(jīng)過近500d在火星上的探測，探測器從火星返回地球

飛行器從火星返回地球的最優(yōu)4-D飛行軌跡、速度—飛行時(shí)間、飛行器質(zhì)量—飛行時(shí)間和推力控制—飛行時(shí)間分別見圖5～8。

3.2 仿真結(jié)果分析

圖2 探測器出發(fā)后速度隨時(shí)間的變化

圖3 探測器出發(fā)后質(zhì)量隨飛行時(shí)間的變化

經(jīng)過大規(guī)模(靜態(tài)參數(shù)與動(dòng)態(tài)參數(shù)組合優(yōu)化的迭代)數(shù)值仿真，優(yōu)選出一套最優(yōu)飛行方案，該方案達(dá)到了在火星上探測時(shí)間的長度、往返的飛行時(shí)間、所耗發(fā)動(dòng)機(jī)燃料的綜合性能指標(biāo)最優(yōu)，同時(shí)也滿足全部的約束條件。另外，由于多個(gè)性能指標(biāo)是通過加權(quán)系數(shù)來綜合一體優(yōu)化的，實(shí)際飛行任務(wù)中如果只需其中一個(gè)性能指標(biāo)最優(yōu)，就可設(shè)置其它性能指標(biāo)的權(quán)系數(shù)為0。

1)由仿真結(jié)果可以得到詳細(xì)的飛行時(shí)間窗口

飛行器從地球飛往火星時(shí)所選擇的時(shí)間窗口與逃離速度，縮短了飛往火星的飛行時(shí)間;同時(shí)飛行器從火星返回地球時(shí)所選擇的時(shí)間窗口與逃離速度，也縮短了返回地球的飛行時(shí)間，并使總的往返飛行時(shí)間最短，全部往返飛行時(shí)間為

圖4 探測器出發(fā)后控制量隨時(shí)間的變化

圖5 探測器從火星到地球的最優(yōu)飛行軌跡

同時(shí)，以上時(shí)間窗口的選擇滿足了飛行器在火星上的探測時(shí)間，即飛行器在火星上探測時(shí)間為:

2)燃料消耗量也同時(shí)得到了最小化

從圖4和圖8可以看出，探測器在整個(gè)飛行任務(wù)中燃料消耗了850kg，包括地球飛往火星消耗的燃料和完成火星探測后返回地球飛行消耗的燃料。

3)滿足各種約束條件

圖6 探測器返回時(shí)速度隨時(shí)間的變化

圖7 探測器返回時(shí)質(zhì)量隨時(shí)間的變化

滿足控制變量約束:從圖4和圖8可以看出，整個(gè)飛行任務(wù)過程中控制變量u小于0.2N。

滿足飛行狀態(tài)的終端約束:探測器從地球出發(fā)飛往火星，到達(dá)火星(離火星球心距離4485km)時(shí)飛行器相對火星的速度為ΔVM，f=2.5km/s，即滿足ΔVM，f≤4.0km/s;探測器從火星返回地球，到達(dá)地球(離地心距離6491km)時(shí)飛行器相對地球的速度為 ΔVE，f=5.12km/s，即滿足 ΔVE，f≤ 11.0km/s。

4)隱含了借力飛行

從圖2與圖6可以看到，在飛行器靠近火星或地球時(shí)，飛行速度大小在增大，距離目標(biāo)星的相對距離在減小，這隱含了飛行器借力飛行。

圖8 探測器返回時(shí)控制量隨時(shí)間的變化

4 結(jié)論

針對探測器在地球與火星之間往返飛行軌跡的全局一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，采用一種航天器軌跡優(yōu)化的組合算法，即靜態(tài)參數(shù)優(yōu)化+動(dòng)態(tài)優(yōu)化相互迭代的數(shù)值優(yōu)化算法。在滿足全部各種約束條件下，經(jīng)過大規(guī)模的數(shù)值飛行仿真，得到了在地球與火星之間的全局一體的最優(yōu)往返飛行軌跡，其中包括探測器分別離開地球與火星時(shí)的最優(yōu)發(fā)射時(shí)間窗口與逃逸速度等。該飛行器沿著最優(yōu)4-D軌跡飛行，可獲得最小的燃料消耗量，最短的往返飛行時(shí)間(即有限時(shí)間內(nèi)在火星上探測時(shí)間最長);另外，飛行器在達(dá)到火星或地球時(shí)，分別達(dá)到行星的相對速度均滿足約束條件。這里指出，本文是基于多體動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行的軌跡優(yōu)化，即隱含了借力飛行等因素，該飛行仿真結(jié)果具有實(shí)際的理論與工程價(jià)值，對未來我國火星探測飛行任務(wù)具有參考價(jià)值。

［1］ 張旭輝，劉竹生.火星探測無動(dòng)力借力飛行軌道研究［J］.宇航學(xué)報(bào)，2008，26(9):1739-1746.(ZHANG Xuhui，LIU Zhusheng.Unpowered Swing by Flight Orbit Design for Mars Exploration ［J］.Journals of Astronautics，2008，26(9):1739-1746.)

［2］ Takeshi Tsuchiya，Takashige Mori.Optimal design of two-stage-to-orbit space planes with airbreathing engines［J］.AIAA，2005，42(1):90-97.

［3］ 尚海濱，崔祜濤，崔平遠(yuǎn)，欒恩杰.地球到火星的燃料最省小推力轉(zhuǎn)移軌道［C］.中國宇航學(xué)會(huì)深空探測技術(shù)專業(yè)委員會(huì)第一屆學(xué)術(shù)會(huì)議，2005.1.

［4］ 尚海濱，崔平遠(yuǎn)，欒恩杰.地球-火星的燃料最省小推力轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計(jì)與優(yōu)化［J］.宇航學(xué)報(bào)，2006，27(6):1168-1173.(SHANG Haibin，CUI Pingyuan，LUAN Enjie.Design and Optimization of Earth-Mars Optimal-Fuel Low-Thrust Trajectory ［J］.Journals of Aeronautics，2006，27(6):1168-1173.)

［5］ 黃國強(qiáng)，南英，陸宇平.二級入軌空天飛機(jī)上升軌跡優(yōu)化［J］.宇航學(xué)報(bào)，2010，31(3):641-647.(HUANG Guoqiang，NAN Ying，LU Yuping.The Ascent Trajectory Optimization of Two-stage-to-Orbit(TSTO)Space Plane［J］.Journal of Aeronautics，2010，31(3):641-647.)

［6］ Long Yaosong，Ye Zhengyin.Trajectory Global Optimization for Spacecraft Launched from the Earth in the Whole Solar System ［J］.Journal of Aeronautics，2012，33(2):160-166.

［7］ 黃國強(qiáng)，南英，陸宇平.小推力深空探測軌道全局優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.航空學(xué)報(bào)，2010，31(7):1366-1372.(HUANG Guoqiang，NAN Ying，LU Yuping.Global Trajectory Optimization in Space Exploration by Lowthrust［J］.Acta Aeronautics et Astronautica Sinica.2010，31(7):1366-1372.)

［8］ 胡海龍，南英.有翼火星探測器進(jìn)入軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)［C］.第一屆進(jìn)入減速與著陸全國學(xué)術(shù)會(huì)議，2013，7.

［9］ 南英，陸宇平，龔平.登月返回地球再入軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.宇航學(xué)報(bào)，2009，30(5):1842-1847.(NAN Ying，LU Yuping，GONG Ping.Optimal reentry trajectory design for mooncraft returning to the earth ［J］.Journal of Aeronautics，2009，30(5):1842-1847.)

［10］ 南英，陳士櫓，嚴(yán)輝.航天器軌跡優(yōu)化的通用數(shù)值算法［J］.飛行力學(xué)，1996，14(3):20-25.(NAN Ying，CHEN Shilu，YAN Hui.A common numerical calculation method of optimizing the trajectories of space vehicles［J］.Flying Dynamics，1996，14(3):20-25.)

［11］ Huang Guoqiang，Lu Yuping，NanYing.A survey of numerical algorithms for trajectory optimization of flight vehicles［J］.Science in China Series E，2012，55(9):2538-2560.

［12］ NAN Ying，Hang Guoqiang，Lu Yuping，Gong Ping.Global 4-D Trajectory Optimization for Spacecraft［J］.Science China，2010，53(8):2097-2101.

［13］ 李鑫，南英，黃國強(qiáng)，華鵬，吳勝亮.改進(jìn)遺傳算法的航空炸彈彈道反設(shè)計(jì)研究［J］.火力與指揮控制，2013，38(11):1960-1968.(LI Xin，NAN Ying，HUANG Guoqiang，HUA Peng，WU Shengliang.Reserve Design of Uncontrolled Bomb Trajectory Based on Improved Genetic Algorithm［J］.Fire Control＆ Command Control，2013，38(11):1960-1968.)

［14］ 南英，丁全心，陳哨東，黃國強(qiáng)，鄒杰.基于自然數(shù)值算法的眾多飛行器軌跡一體化全局優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.中國科學(xué)，2013，43(6):636-659.(NAN Ying，DING Quanxin，CHEN Shaodong，HUANG Guoqiang，ZOU Jie.Global Optimal Design of Trajectories for Multiple Flight Vehicles Based on Natural Numerical Algorithm［J］.Science China，2013，43(6):636-659.)