B—S模型在可轉(zhuǎn)換債券定價中的應(yīng)用研究

【摘要】可轉(zhuǎn)換債券是集股權(quán)與債券于一體，兼具籌資和避險功能的混合性金融工具，隨著我國資本市場的不斷發(fā)展，可轉(zhuǎn)債的交易規(guī)模迅速增長，其定價問題也日益受到投資者和企業(yè)的關(guān)注。由于可轉(zhuǎn)債價值構(gòu)成的特殊性，對其定價也相對較為復(fù)雜，因此，對可轉(zhuǎn)債定價進行研究具有重要的理論和實際意義。Black一Scholes期權(quán)定價模型作為唯一的解析定價方法有著無法比擬的優(yōu)勢，是期權(quán)定價模型中最為重要的一個模型。本文以燕京轉(zhuǎn)債（126729）為例，基于B-S模型對可轉(zhuǎn)債的理論價值和市場價值進行了比較分析，分析B-S期權(quán)定價模型在我國可轉(zhuǎn)債定價中的適用性。

【關(guān)鍵詞】可轉(zhuǎn)換債券 ?一般債券價值 ?期權(quán)價值 ?Black一Scholes模型

一、引言

可轉(zhuǎn)換債券是一種較為新穎的金融衍生工具，是集債權(quán)性和股權(quán)性于一體、債券與認(rèn)股權(quán)證相結(jié)合的中長期混合金融工具。債券持有者可以選擇將債券持有至到期日，從而獲得相應(yīng)的本金和利息，也可以按照事先約定的條件將債券轉(zhuǎn)換為公司發(fā)行的股票。

近年來，隨著我國資本市場的不斷完善，可轉(zhuǎn)換債券作為一種新型的融資工具在我國資本市場上取得了較大的發(fā)展，它通過發(fā)債的形式出售隱含的期權(quán)，不僅降低了債券發(fā)行者的融資成本，投資者也可以通過選擇是否行使轉(zhuǎn)換權(quán)來有效的規(guī)避風(fēng)險。而債券發(fā)行和轉(zhuǎn)換的成敗在很大程度上則取決于定價的合理性，公司需要制定一個合理的定價策略才能使債券發(fā)行很轉(zhuǎn)換順利進行，投資者則需要制定一個正確的投資決策以規(guī)避風(fēng)險從而使收益最大化。因此，對發(fā)行的可轉(zhuǎn)債進行一個科學(xué)定價成為了關(guān)鍵問題。國內(nèi)外學(xué)者對可轉(zhuǎn)債的定價先后進行了一系列的研究，并提出了眾多有價值的定價模型，如違約風(fēng)險結(jié)構(gòu)模型，單因素模型，雙因素模型，二叉樹模型和B-S期權(quán)定價模型等。本文基于B-S期權(quán)定價模型對我國可轉(zhuǎn)債的定價進行實證研究，并通過理論價格與實際價格的比對，分析B-S期權(quán)定價模型在我國可轉(zhuǎn)債定價中的適用性。

二、可轉(zhuǎn)換債券的價值分析

可轉(zhuǎn)換債券是一種混合型金融產(chǎn)品，兼有債權(quán)性和期權(quán)性，是公司債券的特殊形式?？赊D(zhuǎn)換債券的價值由債權(quán)部分和期權(quán)部分組成，債權(quán)部分的價值主要體現(xiàn)在一般債券價值上，期權(quán)部分的價值則體現(xiàn)在買入期權(quán)的價值上，用公式表達即：可轉(zhuǎn)換債券價值=一般債券價值+期權(quán)價值。

（一）一般債券價值

一般債權(quán)價值是指如果不對可轉(zhuǎn)換債券行使轉(zhuǎn)換權(quán)，則它的價值與普通公司債券的投資價值相同。這部分可以被認(rèn)為沒有任何風(fēng)險的，它的價值等于債券持有者在持有債券期間能夠獲得的現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值，公式表示：

B=■■+■

其中，B為普通債券部分的價值;I為債券各期的利息;P表示債券的票面金額;r表示市場的無風(fēng)險利率;T表示債券的期限。

（二）期權(quán)價值

期權(quán)價值即股票的買權(quán)價值，由于可轉(zhuǎn)換債券中隱含了回售、贖回和轉(zhuǎn)換等多種期權(quán)，所以這一部分價值的確定相對較為復(fù)雜。期權(quán)的價值分內(nèi)在價值和時間價值，期權(quán)的內(nèi)在價值是指期權(quán)合約本身所具有的價值，如果股票市場價格大于轉(zhuǎn)股價格，債券持有者就會行使轉(zhuǎn)換權(quán)從而獲得收益，這部分收益即股票價格與轉(zhuǎn)股價之間的差額，也就是期權(quán)的內(nèi)在價值。反之，債券持有者就不會行使轉(zhuǎn)換權(quán)，此時，期權(quán)的內(nèi)在價值就為0，用公式表述即：

■

其中C0表示單位期權(quán)價值，S表示股票價格，X表示轉(zhuǎn)股價格。

期權(quán)的時間價值是指投資者為購買這份期權(quán)付出超出期權(quán)內(nèi)在價值的這部分價值，投資者之所以愿意支付這部分價值，是因為他們預(yù)期隨著市場價格的波動該期權(quán)的內(nèi)在價值會增加。投資者預(yù)期價值增長越大，時間價值就越大。但時間簡直給投資者帶來的收益只是一種期望值，是否真的能轉(zhuǎn)化為收益還存在著一定的不確定性。

由于期權(quán)定價的復(fù)雜性，可轉(zhuǎn)債定價的焦點集中在買入期權(quán)的定價上，隨著國內(nèi)外學(xué)者的不懈努力，目前在這方面已經(jīng)形成了一個比較系統(tǒng)的期權(quán)定價理論，其中在國際范圍內(nèi)被廣泛認(rèn)可的是Black-Scholes期權(quán)定價模型。本文也是基于B-S模型對可轉(zhuǎn)債期權(quán)價值部分進行了估計。

三、基于Black-Scholes方法的可轉(zhuǎn)債定價模型

（一）可轉(zhuǎn)債定價理論模型

Black-Scholes模型主要用于歐式看漲期權(quán)的定價，是期權(quán)定價理論中較為重要的模型。

Black-Shcoles的假設(shè)條件：

（1）股票的價格服從隨機過程中的幾何布朗運動：dS=μSdt+σSdz，其中，S為股票價格;μ為股票期望收益率;σ為股票價格的波動率;dz為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程的增量;

（2）市場是無摩擦的，沒有交易費用，期權(quán)的標(biāo)的物可以自由的進行買賣，并可被無限分割;

（3）無風(fēng)險利率為已知常數(shù);

（4）在權(quán)力有效期內(nèi)，不考慮股票的收益。

基于上述假定，Black和Scholes推導(dǎo)出了一個無套利可能性的歐式看漲期權(quán)的定價模型：

C0=SN（d1）-Xe-rtN（d2）

d1=■

d2=d1-σ■

C0表示當(dāng)前的看漲期權(quán)價格，N（x）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布小于x的概率，X表示執(zhí)行價格。

且可轉(zhuǎn)債的價格V（S，t）滿足以下控制方程：

■+■σ2S2■+（r-D）S■-rV=0，D表示股票紅利支出。

（二）終端條件和邊界條件

1.終端條件?？赊D(zhuǎn)債在到期日之時，債券持有者可以選擇將債券兌換成相應(yīng)比例的股票，也可以選則持有債券，從而獲得本金和利息。當(dāng)其轉(zhuǎn)換價值大于一般債券價值時，基于理性的投資者而言，可轉(zhuǎn)債就會發(fā)生轉(zhuǎn)換，當(dāng)轉(zhuǎn)換價值小于一般債券價值時，就不會發(fā)生轉(zhuǎn)換。所以終端條件為：

V（S，t）=max（nS，B）

其中n為轉(zhuǎn)股比例，B為一般債券價值。

由此可見，可轉(zhuǎn)債價值V（S，t）擁有兩個價值底線，即一般債券價值和轉(zhuǎn)換價值，在任何情況下，可轉(zhuǎn)債的價值都要高于一般債券價值，在沒有贖回限制的情況下，可轉(zhuǎn)債價值應(yīng)大于等于轉(zhuǎn)換價值。

2.邊界條件。當(dāng)股票價格很高時，可轉(zhuǎn)換債券的持有者就會將債券轉(zhuǎn)換為股票，反之，當(dāng)股票價格非常低時，其期權(quán)價值也是趨向于零的，此時，可轉(zhuǎn)債的價值即為一般債券的價值。從而，其邊界條件為：

V（S，t）=nS， ? ? ? S→∞pe■+■I■e■，S→0

四、基于B-S模型的燕京轉(zhuǎn)債定價的實證研究

燕京轉(zhuǎn)債（126729）的發(fā)行總額為11.3億元，按面值發(fā)行，每張面值為100元，發(fā)行日期為2010年10月5日，存續(xù)期限未5年，票面利率為第一年0.5%、第二年0.7%、第三年0.9%、第四年1.1%、第五年1.4%，每年付息一次;其轉(zhuǎn)股期限為發(fā)行結(jié)束之日滿六個月后的第一個交易日起至可轉(zhuǎn)債到期日止。本文以燕京轉(zhuǎn)債為例，研究B-S模型在我國可轉(zhuǎn)債定價中的應(yīng)用，本文引用的數(shù)據(jù)均來自國泰安數(shù)據(jù)庫和wind數(shù)據(jù)庫。

（一）參數(shù)的確定

1.無風(fēng)險收益率的確定。國際上一般采用國債收益率來作為市場的無風(fēng)險收益率，具體的選取是以與可轉(zhuǎn)債發(fā)行日期和到期日期均相近的國債收益率為依據(jù)。燕京轉(zhuǎn)債的存續(xù)期是從2010年10月15日至2015年10月15日，因此，本文選取了2010年10月21日發(fā)行的記賬式附息（三十三期）國債（即10國債33）的收益率作為無風(fēng)險利率，其票面利率為2.91%，由于國債利息的支付方式為單利，所以燕京轉(zhuǎn)債的連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險收益率為：r=LN（l+5*2.91%）/5=2.71%。

2.股價波動率的確定。股價波動率的確定通常有兩種方式：一種是以歷史數(shù)據(jù)為依據(jù)計算波動率，這是一種比較傳統(tǒng)的方式，但由于我國股市一些特有的制度并不能滿足其假設(shè)條件，一次這種方法在我國可轉(zhuǎn)債定價中的應(yīng)用是有一定的缺陷的。第二種方法是廣義自回歸條件異方差模型，即GARCH模型，這是一種動態(tài)模型，對股價的波動率有很好的預(yù)測作用。本文選取2012年6月1日到2014年5月30日之間的480個建議日的數(shù)據(jù)，利用eviews軟件，采用GARCH模型來估算股價的波動率，得到股價波動率的方程為：

σ2t=3.11E-0.5+0.232319ε2t-1+0.745247σ2t-1 （1）

R2=0.919041 DW=1.848227

則，通過GARCH（1，1）模型估計出來的燕京啤酒的股價波動率σ=0.580403。

方程（1）中的ARCH項和GARCH項的系數(shù)都是統(tǒng)計顯著的，擬合優(yōu)度R2=0.919041，說明模型的擬合效果很好，并且α+β=0.97756<1，滿足GRACH（1，1）模型中參數(shù)的約束條件。且系數(shù)之和接近于1，表明條件方差受到的沖擊是持久的，且這種沖擊對未來的有著重要的預(yù)測作用。

（二）實證分析

將參數(shù)r與σ?guī)肷鲜鲑N現(xiàn)模型和BS期權(quán)定價模型，對可轉(zhuǎn)換債券的純債券部分的價值和期權(quán)部分的價值分別進行了計算，然后再根據(jù)公式可轉(zhuǎn)債券價值=純債券價值+單位期權(quán)價值×轉(zhuǎn)股比例，得到可轉(zhuǎn)債的理論價格，并將其與市場價格進行對比。如圖1，可以看出理論價值與市場價格的變化趨勢基本上是一致的，說明模型的理論價值能較為準(zhǔn)確地反映市場價格的走向，對可轉(zhuǎn)債未來的市場價格有著很好的預(yù)測作用。

圖1 燕京轉(zhuǎn)債理論價格與市場價格趨勢圖

為了更好地解釋模型理論價值與市場價格之間的相關(guān)性，本文還對兩個變量進行了回歸分析，回歸結(jié)果如下：

表1 燕京轉(zhuǎn)債回歸結(jié)果

從表1可以看出，模型估算的理論價值較好的市場價格，雖然模型理論價值要略高于市場價格，但平均偏離率僅為12.33%，相對于其他研究成果來說算是較為準(zhǔn)確的了。而且在回歸分析中，燕京轉(zhuǎn)債的市場價格和理論價值的相關(guān)系數(shù)為0.880163，且P值=0<0.01，說明該模型的參數(shù)在0.01的水平上顯著，置信度達到99%以上。因此，該回歸模型屬于高度顯著的，反映了模型估算的理論價值對市場價格有很好的解釋作用。

五、結(jié)論

本文基于B-S期權(quán)定價模型對可轉(zhuǎn)債的定價進行了研究，在股價波動率估算的過程中，為了提高估算的準(zhǔn)確率，采用了GARCH（1，1）動態(tài)模型。實證的結(jié)果反映了理論價值對市場價格具有較好的解釋作用，并且能較為準(zhǔn)確地反映市場價格的走向，對理性投資者的投資決策有著好好的指引作用。

同時，B-S模型估算出來的理論價值偏離了市場價格，究其原因主要與模型本身以及我國目前證券市場的有效性不足有關(guān)：

一是模型中并沒有考慮到諸多附加條款，如贖回權(quán)、回售權(quán)和轉(zhuǎn)換權(quán)，這些都是內(nèi)嵌的期權(quán)，也需要被合理定價，而B-S模型并沒有考慮到這些條款對可轉(zhuǎn)債價格的影響。

二是布萊克—斯科爾斯（B-S）期權(quán)定價模型要求證券市場是弱勢有效的，股票的市價能夠充分的反映歷史上交易價格和交易量中所隱含的一切信息，而我國目前金融市場的效率低下，金融市場的監(jiān)管嚴(yán)格，自由化程度低，一旦買入可轉(zhuǎn)債，就很難再套現(xiàn)。使得可轉(zhuǎn)債流動性降低，影響了可轉(zhuǎn)債的價值。

三是我國證券市場上缺乏做空機制，可轉(zhuǎn)換債券的套利難以實現(xiàn)，市場無法通過套利的方法使市場價格處于一個無套利均衡點附近，從而使可轉(zhuǎn)債的理論價值與市場價格之間出現(xiàn)了偏離。

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作者簡介：湯潔（1990-），女，漢族，安徽安慶人，畢業(yè)于南京師范大學(xué)，研究方向：金融學(xué)。