微積分核心概念的無矛盾表述
——不需無窮小、極限等概念的增量分析

沈衛(wèi)國

（區(qū)域供熱雜志編輯部，北京 100026）

微積分核心概念的無矛盾表述
——不需無窮小、極限等概念的增量分析

沈衛(wèi)國

（區(qū)域供熱雜志編輯部，北京 100026）

在前期工作的基礎(chǔ)上，提出強(qiáng)而有力的證據(jù)，進(jìn)一步論述了在現(xiàn)有微積分基礎(chǔ)理論中，貝克萊悖論沒有、也根本不可能如很多人所認(rèn)為并聲稱的那樣被消除，而只是在若干繁復(fù)、生僻的概念、定義、步驟之下被掩蓋?；诖苏J(rèn)識(shí)，把先前提出的唯一可以徹底解決此類矛盾、并且根本無涉極限、潛無窮、無窮小概念的導(dǎo)數(shù)的全新定義，推廣到微分、積分領(lǐng)域，以徹底解決、澄清數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)理論中的一些疑難問題。可以看出，如想真正消除微積分基礎(chǔ)理論、導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)、微分、積分理論中的固有矛盾，筆者前期及本文提出的理論解釋——特別是關(guān)于導(dǎo)數(shù)的新定義——就不能不是必需的。顯然，分析理論中的矛盾、悖論即消，可使整個(gè)理論非常明確并大為簡化。同時(shí)，正是由于現(xiàn)有的、僅僅致力于“掩蓋”分析理論中固有的矛盾、悖論的做法本身的窘境，而使中外學(xué)者甚感困擾的微積分基礎(chǔ)理論的教學(xué)困難，也必將由于理論中矛盾的徹底澄清而變得極其簡單、干凈。

潛無窮；極限；導(dǎo)數(shù)；貝克萊悖論；微分；積分；數(shù)學(xué)分析；無矛盾分析；增量分析

一、與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的切線斜率及微分問題

早有不少文獻(xiàn)直接將導(dǎo)數(shù)說成是“曲線上某點(diǎn)的切線斜率”；或者“導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上某點(diǎn)的切線斜率”等等。但嚴(yán)格說，某直線的斜率，只能是兩個(gè)有限、宏觀、最起碼也是“無窮小量”之比，增量不能等于0。其數(shù)值等于單位橫坐標(biāo)（等于1）下的相應(yīng)縱坐標(biāo)的數(shù)值。它是明確定義在直線上兩個(gè)點(diǎn)上的。而導(dǎo)數(shù)是定義在曲線上一個(gè)點(diǎn)上的。而且對(duì)傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)分析的極限法而言，僅從極限的求法本身，也不可能認(rèn)為導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)宏觀量之比。理由簡單之極：在曲線上兩個(gè)點(diǎn)無限接近時(shí)，其割線的斜率雖是宏觀量，但卻是兩個(gè)越來越小（隨二點(diǎn)無限接近）以致可看成無限小的量的比值。那么，怎么可能其極限倒成了兩個(gè)宏觀量的比值？所以，筆者定義的導(dǎo)數(shù)所依賴的所謂切線斜率（二宏觀量之比）與傳統(tǒng)意義的極限法定義的導(dǎo)數(shù)所依賴的切線斜率有本質(zhì)不同。后者充其量是定義在所謂各邊均無窮小的“微分特征三角形”上的，不能認(rèn)為是宏觀量。

此外，可以看出，微積分思想的發(fā)展脈絡(luò)，基本是從第一代的牛頓、萊布尼茨承認(rèn)存在無窮小，到第二代（標(biāo)準(zhǔn)分析）的以原本并非所論函數(shù)值的極限值為擴(kuò)展函數(shù)值的表面擯棄、實(shí)為掩蓋無窮小問題，再到非標(biāo)準(zhǔn)分析的重新明確無窮小存在，但目的僅僅是把這個(gè)無窮小忽視或拋棄，這無疑本質(zhì)上又等于又回到了牛頓、萊布尼茨的觀點(diǎn)。從這個(gè)之字形的發(fā)展歷程也足以看出，數(shù)學(xué)家普遍認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)分析與非標(biāo)準(zhǔn)分析是等價(jià)的，而標(biāo)準(zhǔn)分析是明確沖著解決第一代含有無窮小問題而產(chǎn)生的，結(jié)果與其等價(jià)的非標(biāo)準(zhǔn)分析又把其否定的無窮小又請(qǐng)了回來。我們只能說，繞了一大圈，什么問題也沒有解決。

當(dāng)然，還有一種與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的重要應(yīng)用，甚至非嚴(yán)格意義上的導(dǎo)數(shù)的切入點(diǎn)，是微分。

我們有關(guān)系式：

△y=f'（x）△x+α（x）△x

其中含α的一項(xiàng)是非線性段，通常不太嚴(yán)格地在△x→0時(shí)被認(rèn)為是“高階無窮小段”，但其實(shí)“高階”之說，并不普遍成立。

（1）

其中令：

dy=f'（x）△x

（2）

其中dy為微分。其幾何意義見圖1。是函數(shù)的增量△y的“線性部分”，經(jīng)常被稱之為“線性主部”。但有文獻(xiàn)指出，對(duì)有些函數(shù)而言，根本就談不上什么“主部”，甚至是“次部”。特別需要指出的是，（1）、（2）式中的f'（x）為原先已經(jīng)按極限法或牛頓、萊布尼茨方法定義好的導(dǎo)數(shù)，此時(shí)它不可能也不應(yīng)該被看成是個(gè)分?jǐn)?shù)。其次，同樣需要指出的是，式（1）、式（2）中（也就是圖1中）無論是△y、dy、還是△x及以后的dx，都有共同的“起點(diǎn)”A。這就決定了在這個(gè)前提下，當(dāng)函數(shù)的增量△y→0時(shí)，其余與其相關(guān)甚至比其要小的各量dy、△x、dx也必然要“同步地”→0，也就是“趨于0”。這形成了約束條件，也構(gòu)成了傳統(tǒng)微積分的本質(zhì)局限性，甚至可以說是矛盾。而這些正是圖1中A點(diǎn)作為各量的共同“起始點(diǎn)”所決定的。這等于是一個(gè)約束條件。

圖1

圖1中，dy:增量的線性部分；a（x）△x:增量的非線性部分；△x=dx:自變量的增量（不必為無窮小）；c:曲線在A點(diǎn)的切線。

通常認(rèn)為，當(dāng)x以自己為函數(shù)時(shí)（當(dāng)然只能是“特例”，但一般文獻(xiàn)居然把此作為一般情況對(duì)待之），也就是y=f（x）=x時(shí)，由（2）式有：

dy=dx=f'（x）△x

（3）

此時(shí)顯然有：

f'（x）=1

（4）

于是有：

dy=dx=△x

（5）

將（4）、（5）式代入（3）式，移項(xiàng)，有：

f'（x）=dy/dx

（6）

一般認(rèn)為，經(jīng)過這樣的“代換”后，（6）式中的dy、dx都不必是無窮小量，它們可以是宏觀量。而且可以作為通常的分?jǐn)?shù)處理，也就是分子、分母可以拆分。這兩點(diǎn)與傳統(tǒng)極限法明顯沖突（極限法只能將導(dǎo)數(shù)看成一個(gè)整體而不是分?jǐn)?shù)）。這等于是在導(dǎo)數(shù)問題上前門拒絕分子、分母分別為宏觀量，后門又悄悄地又把宏觀量請(qǐng)了回來，并且“在引進(jìn)了微分概念之后，就可以把它作為分?jǐn)?shù)來處理”，理由僅僅是“它給予我們以極大的方便”[13，P281]。可見極限法所“求出”的導(dǎo)數(shù)（本源性的、“正規(guī)”的）與微分中為使用方便而引進(jìn)的“導(dǎo)數(shù)”是互相沖突而不相容的。這等于是又否定了極限法得到的那個(gè)只能被看成是一個(gè)整體的無量綱數(shù)的結(jié)論。比如上面的（6）式，由（3）式得到。而（3）式中的導(dǎo)數(shù)是由極限法“求得”（前已論述，實(shí)際上是定義）的，因此嚴(yán)格地講（6）式中的等式左邊，是一個(gè)無量綱的整體數(shù)，而等式右邊就是一個(gè)分子、分母可以分離的真正意義上的分?jǐn)?shù)，如果它體現(xiàn)的是一個(gè)物理量而不僅僅是幾何量，就有量綱。等式兩邊只是數(shù)值相等，但并不完全等價(jià)。如果偏要說等價(jià)，那就是重新進(jìn)行了否定性的定義。而如果這種做法真的合理，又何必當(dāng)初（指很費(fèi)勁地引進(jìn)極限論）？必須明確指出，對(duì)一貫標(biāo)榜嚴(yán)格性的數(shù)學(xué)理論而言，這是不能允許的。又如，（3）式中的自變量dx是完全可以等于0的，而（6）式由于作了除法，dx顯然不能等于0了，兩個(gè)式子的定義域變了，顯然并不等價(jià)。當(dāng)然，人們?nèi)绱俗?，是有其現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的需求及苦衷的。不如此，下面的微分，特別是積分操作根本無法順利進(jìn)行下去。所以數(shù)學(xué)家們可以說是硬著頭皮出此下策，這是無奈。因?yàn)榛A(chǔ)理論并沒有澄清?？傊绻麡O限法還正確且必要，則這里由定義宏觀量微分而得到的所謂導(dǎo)數(shù)（僅形式上相同）的重新定義必不正確；反之，如果后者正確，則極限法甚至牛頓法必?zé)o必要，甚至本質(zhì)上是錯(cuò)的。因此我們說，看似嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈⒎e分理論，實(shí)際問題、矛盾很多，需要徹底澄清。而筆者所要做的，正是進(jìn)行這種澄清，徹底揭示為什么可以甚至必須這么定義導(dǎo)數(shù)的邏輯理由，從而達(dá)到徹底消除而不是掩蓋矛盾（貝克萊悖論），簡化、理順微積分理論，為其應(yīng)用提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)（現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)不牢靠，并且人們?yōu)榱搜谏w這點(diǎn)，理論及其繁瑣、曲折、自相矛盾）。

從前文的“推導(dǎo)”我們明顯可以看出，y=f（x）=x以致（4）、（5）式是作為結(jié)果的（6）式的前提條件的，也就是（6）式并不是一個(gè)普遍的結(jié)果。很顯然，這里的所謂“推導(dǎo)”，只具有推導(dǎo)的形式，其實(shí)是邏輯學(xué)中典型的“偷換概念”，它僅僅是為了與傳統(tǒng)微積分中早已被人們用熟的dy/dx相一致而硬湊出來的。嚴(yán)格地，它只能寫成：

f'（x）=dy/△x

（7）

這個(gè)“丑陋”的形式。而這只能表明用這種方法得到的這個(gè)所謂的“導(dǎo)數(shù)”與傳統(tǒng)極限法等求出或定義的導(dǎo)數(shù)完全不同，這里只能是兩個(gè)宏觀量的比值，它的分子、分母（當(dāng)然主要是分母。但此時(shí)如果分母為0，分子也必然只能為0）不應(yīng)該被允許在趨于0時(shí)在0點(diǎn)還有定義。

同時(shí)，一般而言，dx不可能等于△x，這是由于已經(jīng)在（2）式中定義dy是曲線函數(shù)y的增量△y的線性部分也就是“微分”了。同理，dx必然也就是△x的線性部分，也就是它的微分而不是它本身。除了y=f（x）=x的特殊情況，二者一般根本就不應(yīng)該相等。也就是一般地，我們應(yīng)該總有、起碼是有dx≠△x,否則我們也應(yīng)該總有dy=△y。在復(fù)合函數(shù)條件下，這一點(diǎn)看的很清楚，也就是如果x是t的函數(shù)g，即有x=g（t）,仿y是x的函數(shù)，把（1）式中的y用x代入，x用t代入，必然一般地有dx=dg（t）≠△g（t）=△x。類似地，如果我們對(duì)微分公式（2）作同樣的代換，則可得到：

df（g（t））=f'（g（t））△g（t）

（2*）

我們當(dāng)然有x對(duì)t的導(dǎo)數(shù)：

x'=g'（t）=dg（t）/dt≠△g（t）/△t

（6*）

因此我們既得不到：

df（g（t））=f'（g（t））g'（t）△t

（2**）

也得不到：

df（g（t））=f'（g（t））dg（t）=f'（g（t））g'（t）dt

（2***）

而且，即令我們由y=x，自然有y=f（g（t））=g（t）≠t，則帶入（2*）式可得到：

dx=dg（t）=△x=△g（t）。

但顯然得不到dt=△t，除非也有g(shù)（t）=t,而這幾乎等于承認(rèn)取消函數(shù)的功能，當(dāng)然絕不可取。因此，即使有人認(rèn)為由于（5）式推導(dǎo)的不能成立因此僅僅是個(gè)硬性的假設(shè)，由于上面的理由，這個(gè)假設(shè)也沒有任何合理性。

在微積分中，這種復(fù)合函數(shù)的代換比比皆是，根本就沒有可能僅僅把x看成無法代換的絕對(duì)自變量。

此外，既然已經(jīng)有了（1）式，自然我們也可以有：

△x=g'（y）△y+α（y）△y

（8）

這里g為f的反函數(shù)。也就是，如果我們把（1）式中的非線性函數(shù)y看成（8）式中的線性函數(shù)，那么，（1）式中的線性函數(shù)x自然就是非線性的了。二者是個(gè)互為反函數(shù)的關(guān)系。此時(shí)參照對(duì)（1）式成立的（5）、（6）式，這里也必有：

dx=dy=△y

（9）

代入（1）式，必有：

dy=f'（x）dx+α（x）dx

（10）

顯然與（3）、（6）式不符?？梢?，通常文獻(xiàn)中由微分“推導(dǎo)”導(dǎo)數(shù)的方法根本就是不成立的。

我們甚至可以更進(jìn)一步地“證明”（1）式到（6）式的推導(dǎo)不能成立：由（1）、（2）式及圖1可知，△y≥dy，而且二者有共同的起點(diǎn)A（圖1中），因此，在△y→0時(shí)，也必有dy→0；同理△x→0時(shí)，必有dx→0，于是又有△y/△x也就是dy/dx趨于0時(shí)的0/0問題。極限法的問題猶在，不可能由（6）式就解決。反之，如果（6）式中的dy、dx可以是宏觀量，則由（1）式可知，△y、△x也可以是宏觀量，如此，傳統(tǒng)微積分極限法的什么“趨于0”豈不多余？由此也可知道極限法求導(dǎo)與微分中的所謂“導(dǎo)數(shù)”是內(nèi)在矛盾的。此外，在（6）式中，顯然dx≠0，但在（2）式中，無論△x是否換成dx，它都可以等于0（此時(shí)dy自然也等于0），而導(dǎo)數(shù)f'（x）早已由極限法“求得”或更嚴(yán)格地是定義出來了。這里有一個(gè)邏輯因果的問題。也就是孰先孰后的問題?？傊?，在極限法等現(xiàn)有微積分求導(dǎo)方法的問題沒有被徹底澄清以前，（6）式只是徒具導(dǎo)數(shù)形式。其中與傳統(tǒng)導(dǎo)數(shù)的區(qū)別是，它可以是兩個(gè)宏觀量的比值，而傳統(tǒng)導(dǎo)數(shù)不得不被看成是一個(gè)非比值的整體的數(shù)值，否則就有0/0的問題出現(xiàn)。也就是說，傳統(tǒng)上導(dǎo)數(shù)公式（6）中的dy/dx,按極限法是不可以真正當(dāng)作一個(gè)分?jǐn)?shù)的，它只是一個(gè)習(xí)慣寫法，不嚴(yán)格。正因?yàn)槿绱?，才不可以直接把dy/dx看作分子分母可以分開的分式而從（6）式直接得到（2）式。而是必須反過來，先把dy定義成宏觀量（有違“微分”這個(gè)習(xí)慣用語，可是在積分中卻必須是“微”的。這本身就充分反映出現(xiàn)有微積分理論中的矛盾性），而且不是增量△y（見圖1）。然后由（2）式得到（6）式。而（2）式中△x是函數(shù)的增量，前面已經(jīng)討論了，一般不應(yīng)該將其看作只是增量的一部分的“線性主部”，也就是一般而言dx≠△x，但很顯然，在（2）式中只有當(dāng)△x是函數(shù)自變量x的全增量時(shí)，dy才為函數(shù)y的增量△y的“線性部分”。但當(dāng)一般地dx也是函數(shù)x的增量△x的“線性部分”時(shí)，dy只能是作為增量的一部分的“線性部分”本身的一部分了，充其量我們也只能稱其為“主部的主部”罷了。因此，我們這么得到的（6）式只能解釋成為了追求表面的“一致性”要求而根據(jù)特殊條件（y=x）硬湊出來的。人們之所以不顧邏輯的合理性非要這么做，是為了其后積分的方便，不得不犧牲嚴(yán)格性。這與當(dāng)年牛頓、萊布尼茨的作法如出一轍。我們只能說，（6）式即使可取，也沒有講清道理。而此正是筆者的目的。

對(duì)于導(dǎo)數(shù)，還是有必要補(bǔ)充一點(diǎn)。經(jīng)常有人認(rèn)為，極限法求導(dǎo)公式（以2次函數(shù)為例）：

（11）

是完全正確的。但究竟是（11）式推導(dǎo)中的第一步的[2x·△x+（△x）2]/△x基本，還是第二步的2x+△x基本？當(dāng)然前者是本源的，作為第二步得到的后者，是由前者除以△x得到的。分母上的△x被消去了。這兩個(gè)式子還等價(jià)嗎？只能說一般情況下等價(jià)，但恰恰是在△x=0時(shí)，二者不等價(jià)。因此在絕對(duì)意義上，二者不等價(jià)。前者△x在分母上，所以不能等于0，而后者可以。前者是導(dǎo)數(shù)的原始定義，后者實(shí)際上是經(jīng)過“處理”后的非原始公式，因此，既然后者中當(dāng)△x→0時(shí)有△x=0，那么前者分母中的△x也沒有理由在同樣的情況下不等于0。于是0/0又會(huì)出現(xiàn)，貝克萊悖論的問題根本就沒有解決，只是被先進(jìn)行的除法操作掩蓋了。它等價(jià)于說，不必理會(huì)分母為0的事，盡管什么理由也沒有給出。因?yàn)槌浴鱴前后兩式是不等價(jià)的，不能草率地以后者代替前者了事。這個(gè)實(shí)例，可以說本質(zhì)地反映出求導(dǎo)過程中的貝克萊悖論為什么并沒有解決。

這有些類似物理中相對(duì)論量子力學(xué)“解決”無窮大問題的重整化過程，它并沒有解決本質(zhì)性的問題，不過是把“垃圾掃到了地毯下”。很遺憾地，很多數(shù)學(xué)教師甚至“數(shù)學(xué)家”認(rèn)定（以為、認(rèn)為、聲稱），某點(diǎn)只要有極限值，將此極限值定義成或認(rèn)為是（看作是）該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值沒有任何問題，不會(huì)產(chǎn)生矛盾，因此才有教科書中的定義“如果二增量比的極限存在，則稱這個(gè)極限值為函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，并稱函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)或具有導(dǎo)數(shù)”，真就好像這個(gè)極限原本在那兒，不過給其起個(gè)名字叫“導(dǎo)數(shù)”而已。但事實(shí)真是如此簡單嗎？數(shù)學(xué)家們，在這里究竟丟掉了什么？都知道極限分兩種，一曰可達(dá)極限，一曰不可達(dá)極限。這里的極限顯然是不可達(dá)極限，也就是只能“無限”接近，不能真正抵達(dá)的那個(gè)類型。既然有這個(gè)限制條件，僅僅為了維持?jǐn)?shù)學(xué)作為最為嚴(yán)密的科學(xué)的尊嚴(yán)，是不是應(yīng)該在自己的相關(guān)表述中要明確表達(dá)出這個(gè)條件？為什么竟然忽略或者隱匿？完備的表達(dá)是否應(yīng)該是：如果二增量比的那個(gè)只能無限接近、并不實(shí)際可達(dá)的極限存在，則稱這個(gè)只能無限接近但并不能實(shí)際到達(dá)該點(diǎn)，或說在該點(diǎn)并無定義或無值（只能有0/0這樣的“值”）特別是應(yīng)該特別強(qiáng)調(diào)的是在該點(diǎn)根本不應(yīng)該允許再有或被賦予函數(shù)值的極限值為（被定義為）函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。由此，只能有兩種可能：一種是這個(gè)導(dǎo)數(shù)與該極限一樣，在該點(diǎn)無值，只是這種“不可達(dá)極限”的同義語；另一種就是在“該點(diǎn)”雖稱有值（有明確定義），但由上面那個(gè)完備的導(dǎo)數(shù)定義可知，這個(gè)導(dǎo)函數(shù)的值實(shí)際上是把值賦予了那個(gè)“根本不應(yīng)該允許再有或被賦予函數(shù)值”的“該點(diǎn)”。這個(gè)極限明顯（只能、必須）不可達(dá)，卻偏要令其可達(dá)，這里當(dāng)然存在矛盾?？傊?，如果在極限點(diǎn)早就有函數(shù)值，則根本用不著求極限，它成了多此一舉；而且如果在極限點(diǎn)函數(shù)本無值（只有極限值），則用極限值代之，只能得到另一函數(shù)值而已，改變不了原先函數(shù)在極限點(diǎn)無值這一根本事實(shí)。

從另一個(gè)角度，導(dǎo)數(shù)如果作為一個(gè)比值，在所謂的極限點(diǎn)有值，就應(yīng)該能夠自然得到（求出），何必如此周折地用極限法的ε～δ語言？過去只強(qiáng)調(diào)了該語言的可以趨于無窮小的過程，但完全無視該語言實(shí)際另一方面，也就是ε、δ無論多小，也不會(huì)消失。而這意味著什么？不就是“永遠(yuǎn)”不可能達(dá)到△x=0嗎？因此，極限法的前一半，也就是求出極限的部分，有一個(gè)被人們忽略了的“副產(chǎn)品”，那就是按此法不可能再有函數(shù)在極限點(diǎn)的值，也就是明白說，極限點(diǎn)的極限值不能再作為或定義為函數(shù)的值。否則就是前后自相矛盾。因此我們說，極限法不但沒有解決貝克萊悖論，實(shí)際上它自己就是一個(gè)典型的貝克萊悖論的變種。也就是：如果極限點(diǎn)有函數(shù)值，就無須再去求那個(gè)被描述為“永遠(yuǎn)達(dá)不到”的極限（即使用所謂ε～δ語言“包裝”也罷）；而如果極限點(diǎn)本無函數(shù)值，求出這個(gè)“永不可達(dá)”的極限又有何用？這里面有明顯的邏輯循環(huán)問題。其實(shí)是貝克萊悖論的另一種形式。

事實(shí)上，芝諾悖論（龜與兔）與微積分求導(dǎo)的極限問題是同構(gòu)的。兔追上龜和在極限點(diǎn)有函數(shù)值，本來都是客觀現(xiàn)實(shí)。但正是在此點(diǎn)它們都發(fā)生了類似的問題。如果我們把基準(zhǔn)參照系建立在龜所在的參照系上，然后令兔與龜間的相對(duì)速度是個(gè)逐漸變慢的變速運(yùn)動(dòng)，然后再把兔與龜換成ε、δ，二者幾乎就完全等價(jià)了。芝諾悖論就化為微積分求導(dǎo)問題。因此所謂兔永遠(yuǎn)追不上龜，與永遠(yuǎn)到不了極限點(diǎn)（函數(shù)在極限點(diǎn)無定義）幾乎就是一個(gè)意思。因此，可以說試圖用極限法解決微積分求導(dǎo)問題，就等于是用芝諾悖論去解決貝克萊悖論，當(dāng)然本質(zhì)上是不可能的。

總之，任何曲線上二點(diǎn)間的直線，無論多小，也不可能是曲線的一部分。而一條直線，必須唯一地以空間的兩點(diǎn)才能決定。作為直線的切線自然也不例外。而導(dǎo)數(shù)不是一般的斜率，它是定義在一個(gè)點(diǎn)上的，而通常在一個(gè)點(diǎn)上不可能定義需要兩個(gè)點(diǎn)才能定義的斜率。而過曲線一點(diǎn)與該曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線通常有無數(shù)條，遠(yuǎn)不止一條切線，此即不定式0/0的本質(zhì)。如此我們可以看出，傳統(tǒng)極限法，表面看導(dǎo)數(shù)是求出來的，實(shí)際還是定義出來的。而且由于傳統(tǒng)上并沒有真正搞清曲線上某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)、斜率、增量比值、瞬時(shí)（時(shí)刻）速度這些基本原始概念的含義，因此嚴(yán)格說，當(dāng)一個(gè)比值的分子、分母都趨于0時(shí)，其極限不應(yīng)該是兩個(gè)宏觀量之比，也就是傳統(tǒng)上一再強(qiáng)調(diào)這個(gè)極限是一個(gè)不可分拆的數(shù)值，不能有比值，無論無窮小比值還是宏觀量的比值。這顯然是為了避免0/0的尷尬（從導(dǎo)數(shù)的物理意義上來看，瞬時(shí)速度嚴(yán)格說是不能有量綱的，也就是不能有“距離/時(shí)間”這個(gè)量綱，但如此一來，瞬時(shí)速度還有什么意義？還能是速度嗎？這也是過去未見人們提及的一個(gè)極限理論的尷尬之處，反映此方法的深層次的問題）。但同時(shí)又由于此導(dǎo)數(shù)值與該點(diǎn)切線斜率數(shù)值完全一樣，所以為了幾何直觀甚至應(yīng)用的方便，有人又不甚嚴(yán)格地說導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率。但如此，就必須解釋比值式中分子、分母兩個(gè)宏觀量分別趨于0時(shí)，如何又得到這個(gè)“兩個(gè)宏觀量的比值”的，哪怕是一個(gè)極限值。換言之，很重要的是，極限值只能是比值本身，也就是一個(gè)完整的數(shù)值，而不能再表示成一個(gè)兩個(gè)宏觀量之比的形式，因?yàn)榇藭r(shí)作為比式（不是比值！），極限法只能得到0/0，而作為一個(gè)比值，當(dāng)然是一個(gè)宏觀數(shù)值。也就是說，如果我們當(dāng)真認(rèn)為導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率而不僅僅是數(shù)值相等，就會(huì)與極限法直接產(chǎn)生邏輯矛盾。除非我們根本就不再顧及極限法建立的初衷，干脆直接定義導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率，而且不但數(shù)值相等，還可直接表成兩個(gè)宏觀量的“比式”，也就是徹底的切線斜率的完整定義。但如此一來，我們還需要極限法嗎？直接把導(dǎo)數(shù)定義成切線斜率不就成了？而此正是筆者對(duì)導(dǎo)數(shù)問題的基本思路，也就是：直接定義宏觀量比值、比式（切線斜率比式，不僅一個(gè)比值）為導(dǎo)數(shù)，從而徹底擯棄無窮小、極限等概念，達(dá)到正本清源、澄清概念、消除矛盾、簡化理論、析疑解惑、有利教學(xué)的目的。因此，筆者對(duì)導(dǎo)數(shù)、瞬時(shí)速度等概念的理解、定義，才是唯一既可以徹底消除貝克萊悖論，又與現(xiàn)有微積分的一些實(shí)用化的做法（比如微分概念的提出）不但協(xié)調(diào)，而且可提供更加合理的解釋及理論基礎(chǔ)。也就是，在筆者的解釋下，導(dǎo)數(shù)、微分、積分概念才在真正意義上得到了一個(gè)統(tǒng)一的描述。比如解決了傳統(tǒng)上微分被定義成宏觀量，而與之密切相關(guān)的導(dǎo)數(shù)卻不行之類的問題。因此，筆者理論比之傳統(tǒng)理論，并不是一個(gè)等價(jià)的可相互替換的問題、一個(gè)求法問題，而是一個(gè)本質(zhì)上含矛盾與不含矛盾、精確與非精確的問題，在基本概念上，它揭示了本源性的更加深刻的東西。

二、導(dǎo)數(shù)、微分概念的全新觀點(diǎn)——無矛盾的增量分析

由上文的論述可知，傳統(tǒng)微積分極限法等不但求導(dǎo)中的貝克萊悖論沒有解決，而且微分概念也大有問題。我們甚至可以證明無論牛頓法還是極限法，都不能成立，都要產(chǎn)生貝克萊悖論：導(dǎo)數(shù)比照速度概念，必然要依賴兩個(gè)點(diǎn)。但其又是嚴(yán)格定義在曲線上一個(gè)點(diǎn)上的。如果我們還是像傳統(tǒng)上那樣認(rèn)為這兩個(gè)點(diǎn)再小也是在曲線上的，就只能產(chǎn)生矛盾，也就是貝克萊悖論。因?yàn)榈谝唬€上無論多么靠近的兩個(gè)點(diǎn)之間的連線，只能是割線，不會(huì)和曲線重合，因此必有誤差，通常以根本就不嚴(yán)格的所謂高階無窮小的形式出現(xiàn)（牛頓、萊布尼茲法）；而一旦兩個(gè)點(diǎn)重合為一點(diǎn)，則必然出現(xiàn)0/0的情況，更不行。直觀上，這是人們總認(rèn)為變速運(yùn)動(dòng)下的瞬時(shí)速度就是現(xiàn)實(shí)走出來的，不能脫離現(xiàn)實(shí)的運(yùn)動(dòng)。而變速運(yùn)動(dòng)中的“現(xiàn)實(shí)”就是變速運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)在變，哪怕兩個(gè)時(shí)刻挨的再近也罷。這也就意味著，在變速運(yùn)動(dòng)中，根本就沒有機(jī)會(huì)給我們?nèi)?shí)際走出本質(zhì)上應(yīng)該在該瞬時(shí)或時(shí)刻是不變的瞬時(shí)速度（如果在該瞬時(shí)還在變，豈不該稱之為“瞬時(shí)變速度”，還有什么本質(zhì)上是不應(yīng)有變化的唯一的“瞬時(shí)速度”？也就是，既然變了，就會(huì)有很多，遠(yuǎn)不止一個(gè)。為了排除這個(gè)矛盾（貝克萊悖論），我們只能認(rèn)為，導(dǎo)數(shù)這個(gè)既需要只有一個(gè)點(diǎn)、又需要兩個(gè)點(diǎn)的概念，幾何上只能分別定義于兩條線上，而這兩條線又有關(guān)連。同時(shí)，這兩條線一條當(dāng)然是曲線，一條是直線，因此很明顯了，這只能是曲線和它在某點(diǎn)的切線：一個(gè)點(diǎn)是曲線的切點(diǎn)，為曲線本身和切線所共有，而另一個(gè)點(diǎn)或者更一般地兩個(gè)點(diǎn)在作為曲線切線的直線上的任何位置，兩點(diǎn)間距是不為0的有限值，也就是在直線上，另一點(diǎn)不與切點(diǎn)重合或者任何位置的兩個(gè)點(diǎn)互相不重合。切點(diǎn)，作為一個(gè)點(diǎn)提供了曲線與該點(diǎn)切線（直線）的連接、關(guān)聯(lián)紐帶，它提供了導(dǎo)數(shù)數(shù)值的唯一性；而切線上的任何不重合的兩個(gè)點(diǎn)，提供了導(dǎo)數(shù)、速度概念所要求的間距性、線段性（非點(diǎn)性）本質(zhì)。各取所需，構(gòu)成完整無矛盾的導(dǎo)數(shù)概念。既徹底地排除了貝克萊悖論的問題，又根本不需要極限或者無窮小等概念。特別值得一提的是，導(dǎo)數(shù)所需要的在切線上的兩個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)在已經(jīng)不需要受圖1上A點(diǎn)的約束，也就是不必在二點(diǎn)中，其中之一必取A點(diǎn)。這是由于直線的斜率處處一樣，任何兩個(gè)點(diǎn)算出的斜率完全一樣。新導(dǎo)數(shù)概念的這兩個(gè)特性，也就是：兩個(gè)有限值之比，不再依賴什么極限、無窮??；切點(diǎn)不必作為兩個(gè)點(diǎn)之一。這一觀點(diǎn)在微分、積分中將有重要的應(yīng)用。這在下文將會(huì)詳細(xì)論述。也就是在圖1的A點(diǎn)（切點(diǎn)）處，作用力突然消失“后”物體的勻速運(yùn)動(dòng)軌跡及速度。那里片面強(qiáng)調(diào)了“其后”，似乎還要某種程度依賴切點(diǎn)作為兩點(diǎn)之一。實(shí)際上，其物理意義還應(yīng)該加上：作用力突然消失后，物體其后的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，當(dāng)然是沿切線方向的勻速運(yùn)動(dòng)，但對(duì)于這個(gè)切點(diǎn)“其后”的運(yùn)動(dòng)而言，切點(diǎn)（圖1中A點(diǎn)，作用力消失點(diǎn)）之前的運(yùn)動(dòng)形態(tài)的差別，是不可分辨的。也就是在切點(diǎn)之后，搞不清也無需搞清這個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)的物體，究竟是一直勻速不受力，還是原先是變速受力運(yùn)動(dòng)，只是在A點(diǎn)（切點(diǎn)）才不再受力改成勻速的。如此，導(dǎo)數(shù)、瞬時(shí)速度的概念就不是絕對(duì)地只涉及切點(diǎn)之后，它也與切點(diǎn)之前有關(guān)聯(lián)了。此是新導(dǎo)數(shù)概念的物理解釋。具體說就是速度所需要的兩點(diǎn)都可在切線上任選，完全無必要非取切點(diǎn)的理由。

圖2

總之，我們可以看到：

導(dǎo)數(shù)、斜率、速度等統(tǒng)一可以寫成△y/△x形式的概念，這應(yīng)該是這些概念的“本源定義”。由于分母上有△x，所以原則上是離不開約束條件△x≠0的。因此在△x=0處本無定義（無值、無確定值）。至于我們通常說的某時(shí)刻到達(dá)某位置或走了多少路，是當(dāng)t1=0時(shí)，△t=t2-t1時(shí)的情況（t這里為時(shí)間）。這里雖然說的是“時(shí)刻”，但顯然并不是真正意義的△t=0。

由于物理上的勻速直線運(yùn)動(dòng)或幾何上的直線上處處△y/△x為恒定值，在這個(gè)基礎(chǔ)上，不妨定義以往經(jīng)常被很隨意地使用著的次級(jí)定義“瞬時(shí)速度”、“時(shí)刻速度”、“某點(diǎn)的斜率”，數(shù)學(xué)上也就是導(dǎo)數(shù)。這是明確定義在點(diǎn)上的（無論是曲線上的點(diǎn)，還是“時(shí)間點(diǎn)”，甚至直線上的點(diǎn)。并不因?yàn)樵谥本€上其值處處不變而改變定義于點(diǎn)的本質(zhì)）。也就是必須要△x或△t=0?？梢悦黠@地看出，此定義其實(shí)與定義在線段上的“本源定義”（也就是本質(zhì)上△x≠0）不相容的。但由于在直線情況下，處處速度、導(dǎo)數(shù)、斜率都一樣，所以在不至于引起混淆（其實(shí)經(jīng)常被混淆，比如所謂的芝諾悖論）的情況下，不妨這么說而已。

對(duì)于幾何上的曲線及物理上的加速、變速運(yùn)動(dòng)而言，上面這個(gè)“瞬時(shí)速度”、導(dǎo)數(shù)的概念如果不徹底澄清就會(huì)產(chǎn)生明顯的問題，即所謂微積分中的貝克萊悖論。其實(shí)只要有時(shí)差，無論多小，變速運(yùn)動(dòng)就有速度的變化。而在某個(gè)時(shí)刻（瞬時(shí)），只能是運(yùn)動(dòng)物體到達(dá)某位置，在變速運(yùn)動(dòng)中，不可能以“瞬時(shí)速度”、“時(shí)刻速度”前進(jìn)任何小的距離，因?yàn)樗俣入S時(shí)在變，無論這個(gè)時(shí)間段是如何的小。也就是本源性的速度，在瞬時(shí)沒有定義。我們通常說的瞬時(shí)速度，是筆者指出的曲線或變速運(yùn)動(dòng)時(shí)作用力突然消失時(shí)的假象情況下的。如果真的作用力突然消失，才有現(xiàn)實(shí)的勻速直線運(yùn)動(dòng)速度發(fā)生，這也是作為次級(jí)定義的“瞬時(shí)速度”概念的基礎(chǔ)。同理，作為曲線上的導(dǎo)數(shù)概念，并不是曲線本身上就可以實(shí)現(xiàn)的。人們之所以非要先是拘泥于曲線上兩點(diǎn)間的無窮小距離（牛頓、萊布尼茨），然后又是曲線上兩點(diǎn)的無窮趨近（極限，標(biāo)準(zhǔn)分析），后來又重返無窮小（非標(biāo)準(zhǔn)分析），就是將導(dǎo)數(shù)所需要的兩個(gè)點(diǎn)拘泥于曲線本身的結(jié)果。而筆者的導(dǎo)數(shù)觀，徹底地將這兩個(gè)必需的點(diǎn)超脫出曲線本身，直接定義在切線上的任意兩點(diǎn)上，這就徹底消除了貝克萊悖論，也不再需要無窮小和極限等復(fù)雜概念。這使得微分、積分的概念徹底地簡化、確定化，特別是合理化。因此也可以說，曲線上的導(dǎo)數(shù)、變速運(yùn)動(dòng)中的“瞬時(shí)速度”概念，又是直線、勻速運(yùn)動(dòng)中相關(guān)概念的“次級(jí)概念”。

直線的斜率及勻速運(yùn)動(dòng)的速度（定義在線段上的）由于處處一樣，我們就可以定義“點(diǎn)”（不是線段）的導(dǎo)數(shù)和瞬時(shí)速度，作為斜率、速度的次級(jí)概念。細(xì)究起來，它還是某點(diǎn)相關(guān)的直線上的兩個(gè)點(diǎn)也就是線段上的斜率與速度。只是二者數(shù)值處處一樣，無區(qū)別，所以人們以往并未深究其本意罷了。但一涉及曲線，問題就顯現(xiàn)了。對(duì)直線的導(dǎo)數(shù)或勻速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度這樣的“次級(jí)概念”，我們可以直接定義，因?yàn)榘垂P者對(duì)曲線導(dǎo)數(shù)的定義，就算當(dāng)曲線上兩點(diǎn)無限趨近然后重合時(shí)，切線上定義導(dǎo)數(shù)所必需的任意兩點(diǎn)并不相互趨近或重合。但如果我們仿曲線情況，使直線看成曲線的特例，則直線上的兩點(diǎn)如果也認(rèn)為可以相互趨近以至于重合呢？此時(shí)既然已經(jīng)兩點(diǎn)重合了，如何還能定義兩點(diǎn)不重合而得到瞬時(shí)速度這個(gè)次級(jí)概念，這不矛盾嗎？當(dāng)然，我們可以說不重合的是其它的兩點(diǎn)，但為了徹底消除疑點(diǎn)，我們不妨仿曲線情況，設(shè)有一個(gè)與原直線完全重合的另一條直線，那兩個(gè)不重合的點(diǎn)事這條直線上的。如此，矛盾就徹底不會(huì)出現(xiàn)了。也就是第一條直線的△x=0，但另一條（雖然與第一條相重合）直線的△x'≠0。

我們說，無論牛頓、萊布尼茨法還是極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析），甚至非標(biāo)準(zhǔn)分析，都是躲不開貝克萊悖論的，因此有問題，但它們?yōu)槭裁从卸寄艿玫秸_的導(dǎo)數(shù)值？有關(guān)極限法的分析上文事實(shí)上已經(jīng)回答了，這里著重分析牛頓法。不失一般性，我們以二次函數(shù)為例，我們通常得到：

△y=2x△x+（△x）2

（12）

注意，這里與一般寫法的區(qū)別是，我們先沒有在等式兩邊除以△x。難以想見，如此微不足道的差別，竟然會(huì)使結(jié)果大相徑庭。牛頓和萊布尼茨是令曲線上的兩個(gè)點(diǎn)不斷靠攏，使△x→0，甚至等于0時(shí)，才能得到導(dǎo)數(shù)，而我們這里不是，我們直接去掉（△x）2這一項(xiàng)，而此時(shí)它完全可以是宏觀量。不必是無窮小，更不能等于0。因?yàn)槿绻?了，2x·△x也必然等于0，求不出什么。但為什么明明（△x）2不等于0，甚至不必是無窮小，我們也可以舍棄它而保留2x·△x？這是因?yàn)榍罢呤窃隽康姆蔷€性部分，后者是線性部分。而導(dǎo)數(shù)自然只與線性部分也就是切線有關(guān)。可參見圖1，只要把它當(dāng)成二次曲線就可以了（圖形相似，不再重畫）。當(dāng)我們?nèi)サ簦ā鱴）2項(xiàng)后，再把（12）式兩邊除以不等于0的△x，就很自然地得到導(dǎo)數(shù)。區(qū)別僅僅是這里分母上的△x不是說不清的什么無窮小。也不再需要曲折地由極限法先得到函數(shù)本不可達(dá)的極限值，再重新定義這個(gè)△x=0時(shí)的函數(shù)本不可達(dá)的極限值（即原來的函數(shù)本身在該點(diǎn)本無值）就為該點(diǎn)的函數(shù)值。即定義本不允許有值處有值。這明確是個(gè)矛盾。這樣就解釋了為什么牛頓法可以從一個(gè)看似錯(cuò)誤的推導(dǎo)而竟然可以得到一個(gè)正確的、而且是精確的值（而其方法看起來不是不合理，就是不精確）。但只有按筆者這里闡述的新的導(dǎo)數(shù)觀，才可以使這一切獲得合理而無矛盾的解釋。

總之，按牛頓、萊布尼茨甚至極限法對(duì)求導(dǎo)的實(shí)際做法與對(duì)導(dǎo)數(shù)的解釋，這些方法既不必要，也不充分，還要產(chǎn)生貝克萊悖論，因此是不完備甚至根本就是錯(cuò)的。即使在筆者給出的做法與解釋框架下，如果導(dǎo)數(shù)所需要的兩個(gè)點(diǎn)之一是基于圖1中A點(diǎn)要作為“共同起始點(diǎn)”的，因此也是不必要的（增量不必依賴于起始于A），但充分。而筆者對(duì)導(dǎo)數(shù)的新解釋（定義），也就是不以圖1中A點(diǎn)為共同起始點(diǎn)，這才是必要而充分的一個(gè)方法。

Contradiction Free Statement of Core Concepts of Calculus——The Incremental Analysis without Concepts of Infinitesimal and Limit

SHEN Wei-guo

（EditorialDepartmentofDistrictHeating,Beijing, 100026）

Based on the preliminary work, this paper provides strong evidence for the opinion that in the current calculus theory, Berkeley’s paradox is not eliminated and it is also impossible to be eliminated as many people think and claim. It is just covered by several complicated and uncommon concepts, definition and procedures. On this basis, the new definition, which is proposed to solve such kind of contradiction and does not involve the concepts of limit, potential infinity, and infinitesimal, can be extended to the fields of differential and integral to completely solve and classify some complicated problems in the basic theory of mathematic analysis. It can be seen that the theoretical explanations proposed by the author previously and in this paper, especially the new definition of the derivative, are necessary for the elimination of the contradictions in the basic theory of calculus and theories of derivation, differential and integral. Obviously, the elimination of contradictions and paradox in the theory of analysis would make the whole theory very clear and simplified. At the same time, the teaching difficulties of the basic theory of calculus, which confuse the scholars at home and abroad because of the practice of trying to cover the inherent contradictions and paradox in the theory of analysis, would surely be solved with the complete classification of the contradictions in the theory.

potential infinity; limit; derivative; Berkeley’s paradox; differential; integral; mathematic analysis; contradiction free analysis; incremental analysis

2014-10-15

沈衛(wèi)國（1950-），男，上海人，前區(qū)域供熱雜志主編，西北工業(yè)大學(xué)原邏輯與人工智能研究所研究員，中國人民大學(xué)原現(xiàn)代邏輯與人工智能研究所研究員，主要研究計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論等。

O13

A

1673-582X（2015）05-0103-08