一類廣義變分不等式解的存在性及其算法

韓小琴，何中全

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

一類廣義變分不等式解的存在性及其算法

韓小琴，何中全

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

摘要：利用變分不等式的古典算法，在Hilbert空間中討論了一類廣義變分不等式問題(GVIP)，證明了GVIP解的存在性,給出了一個新的迭代算法，得到了GVIP解的強(qiáng)收斂定理.

關(guān)鍵詞：廣義變分不等式；解的存在性；迭代算法；強(qiáng)收斂性

變分不等式是非線性分析理論的重要組成部分,在力學(xué)、微分方程、控制論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)、對策論、優(yōu)化、分線性規(guī)劃等領(lǐng)域中都有非常廣泛的應(yīng)用,因此,討論變分不等式解的存在性及逼近解的算法等問題非常重要.最近,Wu等在Banach空間中介紹了一種新的廣義f-投影算子[1-2],用于解決MVI問題.文獻(xiàn)[3]對自反Banach空間上的廣義投影算子做了深入研究，Li等運(yùn)用廣義f-投影算子證明了逆變分不等式問題IMVI逼近解的收斂性[4].受上述工作的啟發(fā),本文對廣義f-投影算子做了推廣,介紹了廣義φ-投影算子,證明了一類廣義變分不等式問題GVIP解的存在性,并且給出了這類問題的一個新迭代算法,得到了GVPI解的強(qiáng)收斂定理.

1預(yù)備知識

i) 關(guān)于第一變元下半連續(xù),關(guān)于第二變元凸且連續(xù)；

iii) φ(x,y)=-φ(y,x),?x,y∈K.

本文考慮廣義變分不等式問題(GVIP):求x∈K,使得〈F(x),y-x〉+φ(x,y)≥0，?y∈K.記GVIP的解集為S*.如沒有特殊要求,本文將在以上條件下討論GVIP.

下面介紹一些相關(guān)知識.

簡稱F是L-Lipschitz連續(xù)的.

2廣義φ-投影算子

3解的存在性

定理1對?α>0,x∈S*當(dāng)且僅當(dāng)Rα(x)=0.

當(dāng)F為強(qiáng)單調(diào)映射時,GVIP有唯一解[1].

4廣義φ-投影算法及其收斂性

算法1對任意給定的x0∈H,計算e(xn,αn)和xn+1:

這里αn>0.為了獲得算法1的收斂性,參照文獻(xiàn)[4],給出下面定理.

〈v-(u-αF(u)),w-v〉+αφ(v,w)≥0.

(1)

由式(1)得：

〈F(u)-e(u,α),αe(u,α)-α*e(u,α*)〉+φ(v,w)≥0，

(2)

〈F(u)-e(u,α*),α*e(u,α*)-αe(u,α)〉+φ(w,v)≥0.

(3)

式(2)+式(3)得

〈e(u,α*)-e(u,α),αe(u,α)-α*e(u,α*)〉≥0.

(4)

由式(4)得

(5)

上述兩式相加,得〈x*-x+αe(x,α),F(x)-F(x*)-e(x,α)〉≥0，即

〈x-x*-αe(x,α),F(x*)-F(x)+e(x,α)〉≥0.

(6)

因F強(qiáng)制,則

證畢.

證明因xn+1=xn-e(xn,αn),x*∈S*,則xn+1-x*=xn-x*-e(xn,αn).由定理2和定理3知

參考文獻(xiàn):

[1] Wu K Q, Huang N J. The generalizedf-projection operator with an application[J]. Bull Aust Math Soc, 2006,73(2):307-317.

[2] Wu K Q，Huang N J.Properties of the generalizedf-projection operator and its applications in Banach space[J].Comput Math Appl，2007,54(3):399-406.

[3] Li J L.The generalized projection operator on reflexive Banach spaces and its applications[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2005,306(1):55-71.

[4] Li X,Li X S,Huang N J.A generalizedf-projection algorithm for inverse mixed variational inequalities[J]．Optimization Letters,2014,8(3):1063-1076.

[5] Wardrop J G.Some theoretical aspects of road traffic research[M]. London:Inst Civil Engineers Proc,1952:325-378.

[6] Solodov M V. Merit functions and error bounds for generalized variation inequalities[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2003,287(2):405-414.

Existence and Algorithm of the Solutions for a Class of Generalized Variational Inequalities

HAN Xiaoqin, HE Zhongquan

(College of Mathematics and Information， China West Normal University，Nanchong 637009，China)

Abstract:Using the classical algorithm for generalized variational inequalities, a class of generalized variational inequalities (GVIP) is studied in the Hilbert space, the existence of solutions for GVIP is improved, a new iterative algorithm is given, simultaneously, and a strong convergence theorem of the solutions for GVIP is obtained.

Key words:generalized variational inequalities; existence of solution; iterative algorithm; strong convergence

通信作者：何中全(1955—)，男，教授，主要從事非線性分析研究.E-mail:lingjianshanshui@163.com

基金項目:教育部科學(xué)技術(shù)重點(diǎn)項目(211163).

收稿日期：2014-12-05

文章編號:1674-232X(2015)03-0319-04

中圖分類號:O177.91MSC2010：49J40；47J20

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.03.016