量子光場(chǎng)連續(xù)測(cè)量的隨機(jī)主方程理論

董　瑩，楊垂平

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

量子光場(chǎng)連續(xù)測(cè)量的隨機(jī)主方程理論

董瑩，楊垂平

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

摘要：利用一束二能級(jí)原子束，使之穿過(guò)光場(chǎng)并與其發(fā)生相互作用，通過(guò)探測(cè)穿過(guò)光場(chǎng)后原子的狀態(tài)，獲得關(guān)于光場(chǎng)內(nèi)光子數(shù)的信息，從而實(shí)現(xiàn)一個(gè)關(guān)于光子數(shù)的連續(xù)弱測(cè)量過(guò)程.根據(jù)量子連續(xù)測(cè)量理論及Wiener隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)理論，推導(dǎo)出描述這一連續(xù)測(cè)量過(guò)程的隨機(jī)dinger方程與隨機(jī)主方程.由所得方程的形式可見，如果原子與光場(chǎng)的相互作用為色散性的，則可以實(shí)現(xiàn)光場(chǎng)的非破壞測(cè)量，這種測(cè)量可以保證光場(chǎng)內(nèi)的光子數(shù)在測(cè)量后不發(fā)生改變.反之如果相互作用是吸收性的，則可以實(shí)現(xiàn)吸收性的測(cè)量，這種測(cè)量等效于給光場(chǎng)附加了一個(gè)額外的真空熱庫(kù)，將導(dǎo)致光場(chǎng)內(nèi)光子數(shù)的減少.

關(guān)鍵詞：連續(xù)量子測(cè)量；非破壞測(cè)量；隨機(jī)主方程

自從量子力學(xué)建立以來(lái)，圍繞著量子測(cè)量過(guò)程的一系列問題就一直困擾著物理學(xué)家.按照Neumann的量子測(cè)量理論[1]，一個(gè)量子測(cè)量過(guò)程可以分為兩步：第一步，量子測(cè)量?jī)x器與被測(cè)系統(tǒng)通過(guò)一個(gè)幺正相互作用建立量子關(guān)聯(lián)(糾纏)；第二步，讀出測(cè)量?jī)x器的狀態(tài)，同時(shí)引起被測(cè)系統(tǒng)的非幺正塌縮.雖然這個(gè)簡(jiǎn)單的圖像作為對(duì)量子測(cè)量的初步理解，在很多問題上是成功的，然而，在一類非常重要的問題上，這個(gè)圖像卻并不適用.例如在光子探測(cè)等量子連續(xù)弱測(cè)量過(guò)程中，測(cè)量結(jié)果(例如光電脈沖)不是一次而是連續(xù)不斷地被讀出，也就是說(shuō)，上面提到的兩步是同時(shí)并且連續(xù)不斷地進(jìn)行的.為了克服這個(gè)困難，研究人員提出了一個(gè)與Neumann投影測(cè)量不同的連續(xù)測(cè)量理論[2]，這一理論已經(jīng)成功運(yùn)用于很多不同的量子系統(tǒng)[3-5].近年來(lái)，隨著對(duì)量子(反饋)控制理論研究的逐步深入，連續(xù)測(cè)量理論變得越來(lái)越重要.本文對(duì)兩種實(shí)驗(yàn)上常見的量子光場(chǎng)的光子數(shù)連續(xù)監(jiān)測(cè)方案給出了一個(gè)直觀的物理描述，并根據(jù)量子連續(xù)測(cè)量理論，推導(dǎo)出了描述這一測(cè)量過(guò)程的隨機(jī)方程.這些方程在開放系統(tǒng)量子光學(xué)、量子控制以及量子隨機(jī)理論的研究中，都將起到非常重要的作用.

1連續(xù)測(cè)量的隨機(jī)主方程推導(dǎo)

為了實(shí)時(shí)地監(jiān)測(cè)一個(gè)量子光場(chǎng)(如一個(gè)量子諧振腔內(nèi)的光場(chǎng))的光子數(shù)，也即實(shí)現(xiàn)對(duì)光場(chǎng)連續(xù)量子測(cè)量，可以使用一束二能級(jí)原子(記基態(tài)為|g〉，激發(fā)態(tài)為|e〉)作為探測(cè)系統(tǒng).總的測(cè)量時(shí)間被等分成許多非常小的時(shí)段，每一小段時(shí)長(zhǎng)為τ.假設(shè)在每一個(gè)小段中，只有一個(gè)原子通過(guò)光場(chǎng)并與之發(fā)生相互作用.通過(guò)測(cè)量穿過(guò)光場(chǎng)后的原子的量子態(tài)，即可獲得關(guān)于光子數(shù)的信息.下文將討論兩種不同的測(cè)量方案，如圖1所示，一種為色散性的非破壞測(cè)量，一種為吸收性的破壞測(cè)量.

(a)非破壞測(cè)量：腔模頻率與原子兩能級(jí)間的躍遷頻率存在較大失諧，導(dǎo)致光子與原子間發(fā)生色散性的相互作用，這種相互作用將改變?cè)硬ê瘮?shù)的相位，通過(guò)讀取射出原子的相位，即可獲得腔內(nèi)光子數(shù)的信息；(b)吸收性測(cè)量：腔場(chǎng)頻率與原子躍遷頻率共振，引起原子對(duì)光子的強(qiáng)烈吸收，導(dǎo)致腔內(nèi)光子數(shù)的衰減.圖1　通過(guò)一束二能級(jí)原子實(shí)時(shí)連續(xù)探測(cè)量子光場(chǎng)光子數(shù)的裝置原理示意圖Fig. 1　Schematic setup for a continuous quantum measurement of the output work with a beam of two-level atoms

1.1　非破壞測(cè)量及其隨機(jī)主方程

在非破壞測(cè)量方案中，假設(shè)量子光場(chǎng)的頻率與原子的能級(jí)間距有較大的失諧，因此兩者間的相互作用為色散性的非共振相互作用.這種相互作用可以由如下的哈密頓量[6]來(lái)描述：

(1)

(2)

這里下腳標(biāo)f代表光子場(chǎng).經(jīng)過(guò)一段時(shí)間為τ的相互作用后，系統(tǒng)的密度矩陣變?yōu)?/p>

(3)

將之按照小量τ展開，并保留至二階，得到

(4)

對(duì)于有計(jì)數(shù)過(guò)程，光場(chǎng)的約化密度矩陣為

(5)

(6)

同樣的，也可以將無(wú)計(jì)數(shù)過(guò)程發(fā)生的概率以及光子場(chǎng)的狀態(tài)分別表示為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

由上式不難看出，這種連續(xù)弱測(cè)量可以被看作是一種可由如下算符描述的正算符測(cè)量(POVM)

(14)

(15)

以及相應(yīng)的隨機(jī)主方程

(16)

這里dW表示一個(gè)均值為零，方差為dt的高斯型隨機(jī)變量，也就是隨機(jī)過(guò)程中通常所講的Wiener過(guò)程.

為了更清楚地看出該種測(cè)量過(guò)程對(duì)被測(cè)系統(tǒng)的影響，可以對(duì)所有的測(cè)量結(jié)果取平均，從而得到描述這一過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)主方程

(17)

1.2　吸收性測(cè)量及其隨機(jī)主方程

與非破壞測(cè)量不同，吸收測(cè)量要求原子兩能級(jí)間的躍遷頻率應(yīng)該剛好與被測(cè)光場(chǎng)頻率共振，在旋轉(zhuǎn)波近似下，這種吸收性的相互作用可以由如下哈密頓量[9]來(lái)描述:

(18)

這里ga表示原子與光子的共振吸收(Absortive)耦合強(qiáng)度.在這種測(cè)量方案中，原子的初態(tài)與非破壞測(cè)量也不同，應(yīng)該選擇為原子的基態(tài)|g〉，于是整個(gè)系統(tǒng)的初始密度矩陣為

(19)

(20)

以及相應(yīng)的隨機(jī)主方程

(21)

同樣，如果對(duì)所有測(cè)量結(jié)果取平均，將得到描述這一測(cè)量過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)主方程

(22)

這個(gè)方程與描述一個(gè)與真空熱庫(kù)相接觸的量子光場(chǎng)的主方程形式完全一致.因此，這種吸收性測(cè)量的物理效果，等同于給光場(chǎng)附加了一個(gè)額外的真空熱庫(kù)，無(wú)疑將導(dǎo)致光場(chǎng)內(nèi)光子數(shù)的衰減，因而對(duì)光場(chǎng)而言，這是一個(gè)破壞性的測(cè)量.

2結(jié)論

參考文獻(xiàn):

[1] Neumann J. Mathematical foundations of quantum mechanics[M]. Princeton: Princeton University Press,1955.

[2] Davies E B, Lewis J T.An operational approach to quantum probability[J].Commun Math Phys,1970,17(3):239-260.

[3] Milburn G J，Walls D F.State reduction in quantum-counting quantum nondemolition measurements[J].Phys Rev A,1984，30(1):56-60.

[4] Zoller P, Marte M, Walls D F.Quantum jumps in atomic systems[J].Phys Rev A,1987，35(1):198-207.

[5] Holmes C A, Milburn G J, Walls D F.Photon-number-state preparation in nondegenerate parametric amplification[J].Phys Rev A,1989，39(5):2493-2501.

[6] Ueda M, Imoto N, Nagaoka H，etal. Continuous quantum-nondemolition measurement of photon number[J].Phys Rev A,1992，46(5):2859-2869.

[7] Johnson N L, Kotz S, Kemp A W. Univariate discrete distributions[M].2nd ed. New York：John Wiley & Sons,1993.

[8] Jacobs K, Steck D A. A straightforward introduction to continuous quantum measurement[J].Comtemporary Physics,2006，47(5):279-303.

[9] Imoto N, Ueda M, Ogawa T.Microscopic theory of the continuous measurement of photon numbe[J].Phys Rev A,1990，41(7):4127-4130.

Received date：2015-03-14

Foundation item：Supported by the National Natural Science Foundation of China (21173064,51303043); Hangzhou Science and Technology Program (20130432B06).

Stochastic Master Equation Theory for the Continuous Measurements of Quantum Optical Field

DONG Ying，YANG Chuiping

(School of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China)

Abstract:To realize the continuous weak measurement for photon number, a beam of two-level atoms passes through a quantum optical field and then reads out the information about the photon number by detecting the state of the atoms leaving the optical field. According to the quantum continuous measurement theory and the Wiener stochastic process theory, a stochastic master equation and a stochastic dinger equation to describe the measurement process can be derived. The forms of the resulting equations show that if the interaction between the atom and the photon is dispersive in nature, then the photon number in the optical field can be conserved and a quantum non-demolition (QND) measurement can be realized. If the interaction is absorptive, then the absorption measurement can be realized, which corresponds to add to the optical field an additional vacuum reservoir and leads to the dissipation of the optical field.

Key words:continuous quantum measurement; non-demolition measurement; stochastic master equation

Corresponding author：ZHENG Zhanjiang (1978—),male, research associate, ph.D.,majored in organic synthesis and catalysis. E-mail: zzjiang78@hotmail.com

通信作者：楊垂平(1964—)，男，教授，博士，主要從事量子光學(xué)與量子信息研究.E-mail:yangcp@hznu.edu.cn

收稿日期：2015-04-15

文章編號(hào):1674-232X(2015)03-0225-04

中圖分類號(hào):O431.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.03.001