劉超　蔡文華　陸玲

摘要：圖像分割是一個經典的難題，由于圖像分割的復雜性，圖像分割的方法很多也很難有一個通用的方法。該文主要是對圖像閾值法分割的一個綜述，敘述了閾值法分割的一些方法。最后對這些算法做了一個總結，以及對閾值法分割的期望。

關鍵詞：圖像分割，閾值法，閾值法分割

中圖分類號：TP18 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2015）01-0140-03

Survey on the Method of Image Threshold Segmentation

LIU Chao，CAI Wen-Hua，LU Ling

（East China Institute of Technology， Nanchang 330013， China）

Abstract： Image segmentation is a classical difficult problem， because of the complexity of image segmentation and image segmentation method of many is difficult to have a general method.This paper is a method of image threshold segmentation， describes the method of threshold segmentation methods.Finally made a summary of these algorithms， as well as expectations for segmenting threshold value method.

Key words： image segmentation； threshold method；threshold method segmentation

閾值分割就是簡單地用一個或幾個閾值將圖像的灰度直方圖分成幾個類，認為圖像中灰度值在同一個灰度類內的像素屬于同一個物體。過去人們?yōu)閳D像灰度閾值的自動選擇付出了巨大的努力，提出了很多方法。特別是1979年由日本學者大津提出一維最大類間方差法[1]（OTSU）是現(xiàn)在較為通用的一種閾值分割方法；劉健莊等提出了二維的最大類間方差的方法[2]，讓這種分割方法的抗干擾性變得更強了；景曉軍等提出了三維最大類間方差的方法[3]，對低對比度、低信噪比的目標能達到更好的效果，但是維度越高時間復雜度也就越高。

J.C.Yen等人提出的用最大相關性原則選擇閾值的方法[4]，這種方法其實只是用他們定義的一個最大相關性原則取代了一般用的最大熵原則，N.Papamarkos等人提出的先找出灰度直方圖的峰值點，再用有理多項式來擬合灰度直方圖兩個峰間的區(qū)域，讓后求出相應的有理多項式的極小值，從而決定閾值的方法[5]，L.Li等人提出的通過對圖像的二維直方圖作Fisher線性映射來決定閾值的方法[6]等。

基于最大熵原則選擇閾值是最為重要的閾值選擇方法之一，九十年代對最大熵原則的研究包括P.Sahoo等人提出了用Renyi熵代替常規(guī)的最大熵原則[7]，A.D.Brink把這種方法擴展到二維直方圖[8]，H.D.Cheng等人將模糊測度函數(shù)的感念引入最大熵原則，提出了模糊C-分類最大熵原則[9]。

1 閾值分割主要方法

閾值法看似是最簡單的，因為只要找到一個或多個閾值就可以把圖像分割出來，但是如何從一副圖像中找到一個或多個合適閾值可以說是相當困難的。下面就詳細的分析一下閾值法的研究和發(fā)展過程以及各個主要算法的提出和中心思想。對于其中較為簡單的雙峰法就沒有介紹。

1） 大津法（OTSU法）

1979年日本學者大津提出的最大類間方差法[1]被認為是圖像分割中閾值選取最佳算法。因為該方法計算簡單，不受圖像亮度和對比度的影響，所以在圖像分割中得到了很廣泛的應用。它是按圖像的灰度特性，將圖像分成背景和前景兩部分。背景和前景之間的類間方差越大，說明構成圖像的兩部分的差別越大，當部分前景錯分為背景或部分背景錯分為前景都會導致兩部分差別變小。因此，使類間方差最大的分割意味著錯分概率最小。

設灰度圖像灰度級是L，則灰度范圍為[0，L-1]，利用OTSU算法計算圖像的最佳閾值為下式1所示：

[OTSU=Max[w0（t）*（u0（t）-u）^2 +w1（t）*（u1（t）-u）^2]] （1）

其中變量說明：當分割的閾值為t時，w0為背景在整幅圖像灰度所占比例；u0為背景灰度均值；w1為前景在整幅圖像灰度所占比例；u1為前景灰度均值；u為整幅圖像的灰度均值。

使表達式中的OTSU的值為最大，此時所取的t值即為分割圖像的最佳分割閾值。

2） 最大熵算法

J N Kapur [10]等人成功地將信息論中的最大熵原理應用于圖像閾值的分割，通過計算各級灰度的熵，找出目標和背景灰度分布的信息量最大的灰度級，找出最佳閾值。

設灰度圖像灰度級是L，則灰度范圍為[0，L-1]：先求出目標和背景的熵值，再求目標和背景的熵之和最大值。其中目標的熵值如式2所示，背景的熵值如式3所示，式4即為最大熵值。

[H1（t）=i=0t-1-（p[i]/w0（t））*log（p[i]/w0（t））] （2）

[H2（t）=i=tL-1-（p[i]/w1（t））*log（p[i]/w1（t））] （3）

[H=Max（H1（t）+H2（t））] （4）

變量說明：分割的閾值為t時，w0為背景在整幅圖像灰度所占比例，w1為前景在整幅圖像灰度所占比例，p[i]為灰度值i的概率值，H1為背景的熵值，H2為目標的熵值。

使表達式H的值為最大，此時的t即為分割圖像的最佳閾值。

3） 多閾值最大類方差算法

王磊[11]等人把最大類方差的方法應用在多閾值上。眾所周知在多閾值中如何自動的確定閾值個數(shù)一直是一個難題。王磊等人自己定義了一個確定閾值個數(shù)的公式如式5所示。

[SF=σBCνT] （5）

式中：[νT=i=0L-1（i-μT）2pi]。[νT]為圖像的總方差。類間為[σBC]，如下式6所示：

[σBC=ω0（μ0-μT）2+…+ωn（μn-μT）2 +…+ωm-1（μm-1-μT）2] （6）

假設把圖像分割成了m塊，w即為各個區(qū)域的比例，u為各個區(qū)域內的平均灰度值，uT是整幅圖像的總平均灰度值。

SF的值用來度量已經存在的類之間的分離程度，它的值越大則說明這些類之間的分離性越強。SF的取值范圍為[[0…1]]，當SF趨向于1時，圖像中的類就被完全的分離出來了，既類間方差[σBC]也取得最大值。這樣圖像中的類的個數(shù)以及分割閾值的個數(shù)就可以自適應的確定出來。

他們的分割思想是：首先使用OTSU算法對圖像進行分類，計算出該次分類的最大類間方差和SF的值，如果SF的值滿足一定的結束條件，就退出。否則，就在已存在的類中找到具有最大類內方差的那個類，將它作為下一個要分割的類。對這個類使用局部OTSU算法分割出新的類，然后從新計算最大類間方差和SF的值，直到SF滿足結束條件為止。

4） 二維OTSU算法

劉健莊[2]等人把OTSU算法從一維直方圖推廣到二維直方圖，二維OTSU算法除了考慮像素點的灰度信息外還考慮了像素點與其領域的空間相關信息。與一維OTSU算法相比，在有強噪聲的圖像中，二維的OTSU算法能有較好的抗噪聲的能力。

假設圖像的灰度分為L級，那么像素的領域平均灰度也分為L級，對每個像素點計算其領域平均灰度，由此形成一個二元組：像素點的灰度值和它的領域平均灰度值，設二元組（i，j）出現(xiàn)的頻率為fij，可以定義相應的聯(lián)合概率密度Pij如下式7所示：

[Ρij=fij/N，（i，j=0，1，…，L-1）] （7）

式中N為圖像的像素點個數(shù)，并且[i=0L-1j=0L-1pij=1]。

假設在二維直方圖存在兩類C0和C1，它們分別代表目標和背景，具有兩個不同的概率密度函數(shù)分布。設分割閾值為（s，t），那么這兩類出現(xiàn)的概率分別為下式8和式9所示：

[w0=Pr（C0）=i=0sj=0tpij=w0（s，t）] （8）

[w1=Pr（C1）=i=s+1L-1j=t+1L-1pij=w1（s，t）] （9）

這兩個類所對應的均值矢量是為下式10和式11所示：

[μ0=（μ0i，μ0j）T=（i=0siPr（i/C0），j=0tjPr（j/C0））T =（i=0sj=0tipij/ω0，i=0sj=0tjpij/ω0）T =（μi（s，t）/ω0（s，t），μj（s，t）/ω0（s，t））T] （10）

[μ1=（μ1i，μ1j）T=（i=s+1L-1iPr（i/C1），j=t+1L-1jPr（j/C1））T =（i=s+1L-1j=t+1L-1ipij/ω1，i=s+！L-1j=t+1L-1jpij/ω1）T =（μi（s，t）/ω1（s，t），μj（s，t）/ω1（s，t））T] （11）

在二維直方圖上總的均值為下式12所示：

[μT=（μTi，μTj）T =（i=0L-1j=0L-1ipij，i=0L-1j=0L-1jpij）T] （12）

在理想的情況，遠離直方圖對角線的概率是很小的幾乎可以忽略不計，所以可以合理地假設在兩個區(qū)域：[i=s+1，…，L-1]，[j=0，…，t]；[i=0，…s]，[j=t+1，…，L-1]有[pij≈0]。此時很容易證明下面的關系成立：

[ω0+ω1≈1，μT≈ω0μ0+ω1μ1]

定義一個離散度矩陣，即為下式13所示：

[σB=ω0[（μ0-μT）（μ0-μT）T] +ω1[（μ1-μT）（μ1-μT）T]] （13）

用離散度矩陣的跡作為背景和目標類的離散度的測度，其式14所示：

[Tr（σB）=ω0[（μ0i-μTi）2+（μ0j-μTj）2] +ω1[（μ1i-μTi）2+（μ1j-μTj）2]] （14）

當這個離散度矩陣的跡為最大值即為取得最優(yōu)分割閾值為[（s'，t'）]，既

[Tr（s'，t'）=Max（Tr（s，t）），0≤s，t≤L-1] （15）

5） 二維最大熵算法

A S Abutaleb[12]等人在一維最佳熵的基礎上得到了二維最大熵的方法。后面的研究者又把該算法進行了發(fā)展和完善，該文就敘述一下完善的二維最大熵的算法。

二維最大熵算法中多出來的一維也是像素點領域的均值，所以求聯(lián)合概率是和二維OSTU算法一樣，這里就不做重復敘述了。接上面二維OTSU算法求C0和C1概率w0和w1。二維最大熵算法也是和二維OSTU算法一樣有一個很重要的假設前提，就是w0加w1的和約等于1。所以可以求出C0和C1的熵值如式16和式17所示：

[HC0（s，t）=-i=0sj=0tpijw0logpijw0] （16）

[HC1（s，t）=-i=s+1L-1j=t+1L-1pijw1logpijw1] （17）

所以總的熵為：

[H（s，t）=HC0（s，t）+HC1（s，t）] （18）

根據最大熵原理，存在一個閾值（s*，t*）使得H（s*，t*）取得最大值既：

[H（s*，t*）=Max（H（s，t））] （19）

所以（s*，t*）既我們所取的最佳分割閾值。

2 總結

一維OTSU既是大津法的計算簡單，也不受圖像亮度和對比度的影響，能對一幅圖片有很好的分割。但是因為其主要是考慮灰度值，對于一些噪聲比較強的圖像分割效果就不是很好了。也正是出于這個方面的考慮，劉健莊等人提出了二維的OTSU，該算法解決了噪聲的干擾的問題，但是把維度的增加，時間的開銷就自然的增加。無論是幾維的OTSU對圖像進行分割，但是從數(shù)學的角度來說，都是比較簡單，使用如此簡單的方法得到如此好的分割效果確實不容易的一件事情。所以OTSU方法看似簡單，卻又不簡單之處。

J N Kapur等人提出的最大熵的圖像分割算法成功地把信息論原理和圖像分割相結合，這不得不說是一個了不起的思想，并且得到了較好的分割效果。但是最大熵的方法也只是和灰度值出現(xiàn)的概率有關，卻和像素點的灰度值大小沒有關系，這確實是一個遺憾。A S Abutaleb等人提出的二維最大熵分割算法同樣是為了解決強噪聲的干擾問題，但同樣是時間復雜度增加的老問題。還有就是基于二維直方圖的圖像分割算法都是基于一個很理想的想法，W0和W1相加約等于1。但是當圖像的噪音越強時，W0和W1相加卻不可能達到1有的甚至一半都達不到，這樣所產生誤差就變得很大，從而影響分割效果。

上一節(jié)中提到過的王磊等人的研究。多閾值的最大類方差分割方法能把圖像的信息更多地保留了下來，能得到更好的效果。但是這對于我們分析圖像就會出現(xiàn)不小的困難，因為不能確定那些信息是更有效的。多閾值的分割就像是把圖像灰度級下降了一樣，多余多目標的分割卻有很好的用處。

我們從上面的分析可以看得出，各種分割方法有各自己的特點，對圖像分割也有不同的要求，但所分割圖像都為灰度圖像。閾值法分割在將來應該向彩色圖像、紋理圖像等一些更加特殊的圖像上的應用。因為彩色圖像和紋理圖像是圖像中分割的熱點和難點，是眾多圖像研究者所關心的內容。

參考文獻：

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[12] Kapur J N，Sahoo P K，Wong A K C .A New Method of Gray-level Picture Thresholding using the Entropy of the Histogram[J].Computer Vision，Graphics and Image Processing，1985，29（2）.