孫富春,羅敏楠

(1.清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系，北京 100084；2.西安交通大學(xué)電子與信息學(xué)院，陜西 西安 710049)

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模糊系統(tǒng)建模綜述

孫富春1,羅敏楠2

(1.清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系，北京 100084；2.西安交通大學(xué)電子與信息學(xué)院，陜西 西安 710049)

摘要：模糊系統(tǒng)的一致逼近能力和可解釋性能使得其能夠直觀高效地描述復(fù)雜的非線性不確定系統(tǒng)。然而，復(fù)雜系統(tǒng)的模糊建模方法面臨“規(guī)則爆炸”的挑戰(zhàn)。該文首先回顧了模糊系統(tǒng)一致逼近性以及模糊系統(tǒng)逼近的充分條件和必要條件。在此基礎(chǔ)上，綜述了基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的模糊系統(tǒng)辨識方法，并重點(diǎn)介紹了流行的稀疏表達(dá)思想在模糊系統(tǒng)辨識領(lǐng)域中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：模糊系統(tǒng)；一致逼近；數(shù)據(jù)驅(qū)動模糊建模

0引言

1965年，Lotfi A.Zadeh通過引入“邊界不明顯的類”的概念，提出了一種分析復(fù)雜系統(tǒng)的新方法，即模糊集合和模糊邏輯。這種方法最大限度地模擬人的思維及推理方式，使用語言變量和模糊命題代替數(shù)值變量來描述系統(tǒng)行為，從而能更有效地處理不確定性信息。經(jīng)過人們半個多世紀(jì)以來的不斷努力，模糊理論和技術(shù)獲得了長足的發(fā)展，并且廣泛應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)、信息、醫(yī)療、氣象等領(lǐng)域。二十世紀(jì)九十年代以來，很多學(xué)者對模糊系統(tǒng)的一致逼近能力進(jìn)行了廣泛而深入的研究，給出了模糊系統(tǒng)作為函數(shù)逼近器的充分條件和必要條件，證明了模糊系統(tǒng)作為一種萬能逼近器能夠在致密集上以任意精度逼近任意的非線性系統(tǒng)[1-15]。相比較其他的一致逼近器，例如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法(Genetic Algorithms)，模糊模型的優(yōu)勢還體現(xiàn)在它不是一個黑盒子模型。實(shí)際上，模糊模型使用語義化和可解釋的模糊規(guī)則來描述一個系統(tǒng)，能夠在監(jiān)督過程中以定性與定量相結(jié)合的方式，簡單透明地理解模型響應(yīng)。模糊模型具有的直觀高效地描述復(fù)雜非線性不確定系統(tǒng)的優(yōu)勢使得其在自動控制、模式識別、聚類分析等領(lǐng)域取得了成功的應(yīng)用。特別是Takagi-Sugeno(TS)模糊模型以仿射函數(shù)作為模糊規(guī)則后件，通過將非線性系統(tǒng)分解為一系列局部線性系統(tǒng)，提供了一整套行之有效的T-S模糊系統(tǒng)逼近和辨識的框架，使得模糊系統(tǒng)在智能控制等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[16-19]。本文中，我們將從模糊系統(tǒng)的一致逼近性以及基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的模糊系統(tǒng)辨識這兩個方面綜述模糊系統(tǒng)建模的進(jìn)展。

1模糊系統(tǒng)的一致逼近性研究

模糊系統(tǒng)的一致逼近性質(zhì)是模糊系統(tǒng)能夠在表示復(fù)雜非線性系統(tǒng)并模糊控制等領(lǐng)域成功應(yīng)用的基石。1992年，王立新教授首次使用Stone-Weierstrass定理，證明了采用高斯隸屬度函數(shù)、乘積推理和中心平均解模糊法的一類模糊系統(tǒng)是萬能逼近器[1]，隨后一些學(xué)者陸續(xù)研究了其他各類模糊系統(tǒng)，并得到了相同的結(jié)果[2-15]。特別是，Zeng和Singh證明了當(dāng)隸屬度函數(shù)是偽梯形時(shí)，Mamdani模糊系統(tǒng)是一致逼近器[2-3]；李洪興教授將模糊控制算法歸結(jié)為某種插值算法以說明模糊系統(tǒng)的一致逼近性能[13]；還有一些學(xué)者借助徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的通用逼近性以及其在函數(shù)上與模糊系統(tǒng)的等效性，證明了模糊系統(tǒng)的一致逼近性[14-15]。

1.1　模糊逼近的充分條件研究

給定待逼近的連續(xù)實(shí)函數(shù)，如何確定輸入輸出模糊集合以及模糊規(guī)則的個數(shù)以實(shí)現(xiàn)模糊系統(tǒng)達(dá)到給定的逼近精度？對這個問題的回答就是模糊系統(tǒng)逼近的充分條件。在這一問題的研究中，1994年，H.Ying首次通過建立模糊系統(tǒng)對任意多項(xiàng)式函數(shù)的一致逼近性，提出了單輸入、多輸入模糊系統(tǒng)在給定精度前提下，所需要模糊集合以及模糊規(guī)則個數(shù)的解析計(jì)算公式[4，20-21]。隨后，Zeng進(jìn)一步采用多項(xiàng)式函數(shù)的泰勒級數(shù)展開方法，推導(dǎo)了保守性更弱的模糊系統(tǒng)逼近的充分條件[2-3]。然而，這些方法都沒有考慮模糊規(guī)則中隸屬度函數(shù)的形式和待逼近函數(shù)的局部特性對模糊系統(tǒng)充分條件的影響，為此孫等人充分考慮到期望函數(shù)的局部特性，研究了全交疊三角形隸屬函數(shù)時(shí)，模糊系統(tǒng)逼近的充分條件[22]，并在理論上證明了該方法構(gòu)造的模糊系統(tǒng)，規(guī)則數(shù)減少一半以上。

在模糊系統(tǒng)逼近充分條件的研究中，一方面，隨著給定逼近精度的提高，模糊模型所需要的規(guī)則個數(shù)急劇增長；另一方面，為了減少模糊規(guī)則的個數(shù)，提出的新方法所需要的計(jì)算量卻越來越大。這一矛盾激發(fā)了學(xué)者們對于模糊系統(tǒng)逼近的必要條件的研究，即是否存在更優(yōu)的系統(tǒng)配置來滿足要求精度的模糊系統(tǒng)，最優(yōu)的模糊系統(tǒng)應(yīng)該具備哪些特性[23]？

1.2　模糊逼近的必要條件研究

目前對于模糊系統(tǒng)必要條件的研究還比較少，文獻(xiàn)[24-26]對Mamdani模糊系統(tǒng)以及T-S模糊系統(tǒng)輸出函數(shù)單調(diào)性的研究結(jié)果表明，模糊系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致逼近性所需要的模糊規(guī)則數(shù)目與待逼近函數(shù)的具體形式?jīng)]有明確的關(guān)聯(lián)，而是隨著待逼近函數(shù)極點(diǎn)個數(shù)的增加而增加。值得注意的是，這些研究結(jié)果僅局限于模糊模型精度趨于零的時(shí)候。當(dāng)要求模糊系統(tǒng)逼近精度為給定值時(shí)，這些結(jié)論將不再成立。為此，孫等人深入研究了Mamdani型模糊系統(tǒng)在滿足給定逼近精度的必要條件[24]，給出了給定逼近精度條件下構(gòu)造模糊系統(tǒng)的必要條件。數(shù)值分析表明，該方法構(gòu)造的模糊系統(tǒng)規(guī)則數(shù)較傳統(tǒng)方法減少一半以上[2-3]。

2數(shù)據(jù)驅(qū)動的模糊系統(tǒng)辨識

在模糊系統(tǒng)建模研究初期，模糊規(guī)則主要來源于專家的知識和經(jīng)驗(yàn)，稱之為基于專家知識的模糊系統(tǒng)建模。但是隨著信息量的增長和需求的變換，以及難免的專家知識缺乏，人們開始研究從大量數(shù)據(jù)中提取模糊系統(tǒng)建立所需要的知識，這就是基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的模糊系統(tǒng)辨識。顧名思義，數(shù)據(jù)驅(qū)動的系統(tǒng)辨識是根據(jù)輸入/輸出樣本點(diǎn)集合來進(jìn)行的，具體到模糊系統(tǒng)，這種輸入/輸出映射關(guān)系的辨識表現(xiàn)為模糊規(guī)則的提取和優(yōu)化。由于模糊模型對于復(fù)雜非線性系統(tǒng)的一致逼近能力和良好的可解釋性，它能夠幫助人們從大量紛雜的數(shù)據(jù)中提取知識，認(rèn)識系統(tǒng)的本質(zhì)。目前，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的模糊系統(tǒng)辨識已經(jīng)成功應(yīng)用于故障檢測、圖像分類、決策支持系統(tǒng)以及控制系統(tǒng)的辨識等領(lǐng)域。本節(jié)首先綜述基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的模糊系統(tǒng)辨識，然后介紹論文作者提出的一種新型塊結(jié)構(gòu)稀疏描述的模糊系統(tǒng)辨識方法。

2.1　數(shù)據(jù)驅(qū)動模糊系統(tǒng)辨識

目前已經(jīng)有一些比較成熟的數(shù)值優(yōu)化方法用于從輸入/輸出數(shù)據(jù)對中提取模糊規(guī)則，其中,J.S.R.Jang研究了一種類似于T-S模糊系統(tǒng)的神經(jīng)模糊系統(tǒng)并使用反向傳播技術(shù)優(yōu)化模糊規(guī)則前件中的非線性參數(shù)，稱之為基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模糊推理系統(tǒng)(ANFIS)[25]。J.Botzheim等研究了當(dāng)模糊規(guī)則前件中的模糊語義描述為三角或者高斯模糊集合時(shí)，基于Levenberg-Marquardt優(yōu)化算法的模糊規(guī)則提取[26]?；谶z傳算法，同時(shí)考慮模糊系統(tǒng)精度和復(fù)雜性的模糊規(guī)則優(yōu)化和提取方法[27-28]，以及基于模糊聚類的genfis2和genfis3[29-30]等方法。聚類方法被廣泛的應(yīng)用于輸入/輸出數(shù)據(jù)的劃分和模糊規(guī)則前件的提取，例如k-means方法[31]、基于目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化方法，用隸屬度描述每個數(shù)據(jù)點(diǎn)屬于不同聚類程度的模糊c-means劃分方法和模糊c-回歸聚類方法[32-36]、向量量化方法[37-38]、山聚類和減法聚類方法[39]、能夠自動地探測不同聚類的形狀的GK(Gustafson&Kessel)模糊聚類算法[40]等。

由于大量高維數(shù)據(jù)的存在，在模糊系統(tǒng)的辨識中，一個很重要的問題就是模糊規(guī)則個數(shù)的確定。在缺乏足夠的先驗(yàn)知識的情況下，為了達(dá)到較高的模型精度，往往不加挑選地使用所有的模糊規(guī)則，從而導(dǎo)致模糊規(guī)則的冗余和模型的過擬合問題。為了確定模糊系統(tǒng)中最優(yōu)的模糊規(guī)則個數(shù)，一些學(xué)者致力于使用正交轉(zhuǎn)換技術(shù)減少模糊規(guī)則，例如基于徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊推理系統(tǒng)相似性的特征值分解方法[41]、考慮輸入輸出數(shù)據(jù)噪聲時(shí)，基于無偏參數(shù)估計(jì)的全最小二乘方法[41-42]、給定分層結(jié)構(gòu)的模糊規(guī)則庫稀疏插值方法[43-44]、根據(jù)模糊系統(tǒng)點(diǎn)火強(qiáng)度矩陣的列轉(zhuǎn)換正交向量集構(gòu)造每條模糊規(guī)則可刪減的偏差率，從而根據(jù)每條模糊規(guī)則貢獻(xiàn)的大小，挑選模糊規(guī)則的正交最小二乘方法(OLS)、考慮模糊模型線性回歸特質(zhì),根據(jù)人為設(shè)置的系統(tǒng)準(zhǔn)確度閥值提煉模糊規(guī)則的奇異值分解(SVD)，以及由此推廣的基于張量形式的高階奇異值分解方法(HOSVD)和基于高階奇異值分解的模型轉(zhuǎn)換方法(TP)[45]等。

2.2　稀疏表達(dá)及其在模型辨識中的應(yīng)用

2006年，美國科學(xué)家Candes和Donoho創(chuàng)造性的提出了壓縮感知(Compress Sensing)的思想和概念[46]。稀疏表達(dá)的思想正是伴隨著壓縮感知理論發(fā)展起來的。顧名思義，稀疏表達(dá)思想就是通過在充分完備的原子字典中挑選較少的原子來重構(gòu)原始信號，從而使得表示系數(shù)向量中非零元素的個數(shù)盡可能的少。稀疏表達(dá)及其相應(yīng)的優(yōu)化算法已經(jīng)被推廣到塊結(jié)構(gòu)稀疏表達(dá)、聯(lián)合結(jié)構(gòu)稀疏表達(dá)等多個方面，涌現(xiàn)了一系列比較成熟的理論研究成果[47-50]，并成功地應(yīng)用于信號分解和編碼、語音信號處理、自然圖像特征提取和去噪，以及模式識別和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等多個方面。

2010年，E.Lughofer等首次將稀疏表達(dá)的思想應(yīng)用于基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的模糊系統(tǒng)建模中[37-38]。這種方法通過給每一個模糊規(guī)則增加權(quán)重變量，將T-S模糊系統(tǒng)的辨識問題轉(zhuǎn)化為基于模糊規(guī)則權(quán)重稀疏限制的非線性優(yōu)化問題。從而通過對模糊規(guī)則權(quán)重的稀疏表示達(dá)到精簡模糊規(guī)則的目的。2011年，L.Bako將線性切換系統(tǒng)中子模型的辨識問題形式化為組合的L0稀疏優(yōu)化問題，并使用L1范數(shù)稀疏逼近方法進(jìn)行求解[51]。2012年，D.Lin研究了基于稀疏表達(dá)的離散時(shí)間線性系統(tǒng)最小時(shí)間問題[52-53]，旨在于保證理想的狀態(tài)向量序列中含有盡可能多的零元素；以及基于稀疏學(xué)習(xí)方法的馬爾科夫跳線性系統(tǒng)。

然而，傳統(tǒng)的模糊系統(tǒng)構(gòu)造方法往往忽略了模糊系統(tǒng)內(nèi)潛在的塊結(jié)構(gòu)信息，不加挑選地使用所有的模糊規(guī)則字典構(gòu)造模糊系統(tǒng)，從而造成了模糊規(guī)則的冗余和模型的過擬合等問題。針對“如何挖掘模糊模型的結(jié)構(gòu)性信息”、“如何降低模糊模型的規(guī)則數(shù)”這兩個科學(xué)問題，我們充分考慮了模糊模型內(nèi)在的塊結(jié)構(gòu)信息，提出了塊結(jié)構(gòu)稀疏編碼的T-S模糊系統(tǒng)辨識方法[54-57]。一方面，我們研究了針對多輸入單輸出模糊系統(tǒng)辨識的塊結(jié)構(gòu)稀疏編碼方法。這種方法通過將每一個規(guī)則后件參數(shù)向量定義為一個塊結(jié)構(gòu)，將多輸入單輸出模糊系統(tǒng)辨識問題轉(zhuǎn)化為同時(shí)考慮模糊系統(tǒng)精度和模糊規(guī)則個數(shù)的塊結(jié)構(gòu)稀疏優(yōu)化問題。這樣，在保證系統(tǒng)精度的前提下，重要的模糊規(guī)則字典被挑選，冗余的模糊規(guī)則被淘汰。另一方面，我們研究了多輸入多輸出模糊系統(tǒng)的聯(lián)合塊結(jié)構(gòu)稀疏編碼方法。這種方法摒棄了傳統(tǒng)建模方法將多輸入多輸出系統(tǒng)分解成多個多輸入單輸出模糊系統(tǒng)處理的技術(shù)，而是綜合考慮多輸出變量的各個分量，使得模糊規(guī)則后件每一維輸出共享同一個模糊規(guī)則前件，進(jìn)而將多輸入多輸出模糊系統(tǒng)的辨識問題轉(zhuǎn)化為基于聯(lián)合塊結(jié)構(gòu)稀疏描述的線性優(yōu)化問題。這樣的方法能夠在同時(shí)考慮每一維模糊系統(tǒng)輸出的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)重要模糊規(guī)則的挑選和冗余模糊規(guī)則的剔除。通過大量實(shí)際輸入/輸出數(shù)據(jù)試驗(yàn)，并與現(xiàn)有的方法比較，我們的方法能夠使用較少的模糊規(guī)則構(gòu)造模糊系統(tǒng)。更重要的是，由于稀疏思想的引入，塊結(jié)構(gòu)稀疏描述的方法極大的減少了計(jì)算量。

3結(jié)論

本文綜述了近年來人們在模糊系統(tǒng)建模領(lǐng)域研究的主要進(jìn)展，包括了模糊系統(tǒng)作為函數(shù)逼近器的充分條件、必要條件和數(shù)據(jù)驅(qū)動的模糊系統(tǒng)辨識方法。稀疏表達(dá)和優(yōu)化是面向高維大規(guī)模數(shù)據(jù)處理提出了一種高效的學(xué)習(xí)方法，其在語音信號處理、自然圖像特征提取與去噪以及模式識別領(lǐng)域已經(jīng)取得了成功應(yīng)用。論文結(jié)合作者自己的研究工作，重點(diǎn)討論了塊結(jié)構(gòu)稀疏描述的模糊系統(tǒng)辨識理論方法。此外，面向模糊系統(tǒng)的“維數(shù)爆炸”問題，目前已經(jīng)有一些基于稀疏表達(dá)的模式識別方法，然而這還只是一個開始，仍有大量工作要做。

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A review of fuzzy system modeling

Sun Fuchun1， Luo Minnan2

(1.DepartmentofComputerScienceandTechnology，TsinghuaUniversity，Beijing100084，China；

2.SchooloftheElectronicandInformationEngineering,Xi’anJiaotongUniversity，Xi’anShanxi, 710049，China)

Abstract:The uniform approximation and interpretability of fuzzy system make it possible to describe complex nonlinear uncertain systems intuitively and efficiently. However， fuzzy modeling approach of complex systems faces the challenge of “rule explosion”. In this paper， we firstly reviewed the uniform approximations of fuzzy systems and the sufficient and necessary conditions of approximation property of fuzzy systems. On this basis， we summarizes identification approaches of fuzzy systems based on data driven， and focus onsparse representationin the application of fuzzy system identification．

Key words:Fuzzy Systems; Uniform Approximation; Data-driven Fuzzy Modeling

中圖分類號：TP181

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1001-9146(2015)05-0001-06

作者簡介：孫富春(1964-)，男，江蘇人，教授，認(rèn)知系統(tǒng)與信息處理，智能控制及機(jī)器人．

收稿日期：2015-09-06

DOI:10.13954/j.cnki.hdu.2015.05.001