李秀英，張曦木

(黑龍江大學(xué) 電子工程學(xué)院，哈爾濱 150080)

具有隨機時變時滯及數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)H∞狀態(tài)估計

李秀英，張曦木

(黑龍江大學(xué) 電子工程學(xué)院，哈爾濱 150080)

研究了一類具有隨機時變時滯和數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)H∞濾波器設(shè)計問題。由于系統(tǒng)的測量數(shù)據(jù)打包后經(jīng)過網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)竭h端的濾波器，數(shù)據(jù)包在傳輸過程中會發(fā)生時滯甚至丟失等現(xiàn)象，并且時滯的發(fā)生是隨機的且有界，而數(shù)據(jù)丟包可能是連續(xù)的。提出一個新的模型來同時描述隨機時滯和多丟包的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)現(xiàn)象，并基于此模型設(shè)計使濾波誤差系統(tǒng)均方意義下漸近穩(wěn)定并具有指定H∞性能的濾波器。濾波器參數(shù)通過求解一個線性矩陣不等式得到。仿真算例表明了所提算法的有效性。

H∞狀態(tài)估計; 數(shù)據(jù)包丟失；時變時滯；線性矩陣不等式

0 引 言

隨著網(wǎng)絡(luò)和通訊技術(shù)的發(fā)展，將網(wǎng)絡(luò)引入到傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)中而構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NetworkedControlSystem，NCS)成為國內(nèi)外學(xué)者們關(guān)注的熱點問題之一[1-4]。在NCS中，被控對象與控制器、濾波器等部件通過網(wǎng)絡(luò)連接，系統(tǒng)的測量數(shù)據(jù)打包后以數(shù)據(jù)包的形式通過網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)竭h端的控制器或濾波器。由于受網(wǎng)絡(luò)帶寬等因素的限制，數(shù)據(jù)包在傳輸過程中會產(chǎn)生時滯甚至丟失等現(xiàn)象，而且這種現(xiàn)象的發(fā)生是隨機的，使得整個NCS不再是確定系統(tǒng)，而是一個隨機系統(tǒng)。隨機時滯和丟包現(xiàn)象的發(fā)生給NCS的分析與設(shè)計帶來很大困難，也是NCS分析與設(shè)計時所需要考慮的兩個最基本的問題。

采用Bernoulli分布的隨機變量是刻畫NCS中隨機時滯和丟包的主要方法之一。文獻[5，6]分別采用一組Bernoulli分布的隨機變量來刻畫NCS中的一步隨機時滯和多丟包以及有界多步隨機時滯和多丟包現(xiàn)象，并利用射影定理設(shè)計了最小方差意義下的最優(yōu)濾波器，其中文獻[5]對于多丟包現(xiàn)象采用上一時刻濾波器接收到的觀測作為濾波器輸入，而文獻[6]則采用零輸入策略，即當(dāng)丟包現(xiàn)象發(fā)生時，濾波器端接收的觀測信息為零。文獻[7，8]分別用Bernoulli隨機變量來建模網(wǎng)絡(luò)傳輸中的隨機時變時滯以及丟包現(xiàn)象，并基于Lyapunov穩(wěn)定理論以及線性矩陣不等式(LinearMatrixInequality，LMI)技術(shù)設(shè)計了H∞濾波器。其中文獻[7]對濾波器端接收到的觀測數(shù)據(jù)建模時將正常接收和延遲接收分開描述，而對于丟包現(xiàn)象的處理依舊采用的是零輸入策略；文獻[8]只考慮了觀測數(shù)據(jù)延遲接收的現(xiàn)象，并且對丟包現(xiàn)象也是采用上一時刻濾波器端接收的觀測數(shù)據(jù)包作為當(dāng)前時刻的輸入來處理。

本文提出一個新的模型來同時描述NCS中的隨機時滯和丟包現(xiàn)象，其中將觀測數(shù)據(jù)正常接收和延遲接收現(xiàn)象統(tǒng)一描述，而對于丟包現(xiàn)象則采用補償策略，即用估計值作為濾波器的輸入?；贚yapunov穩(wěn)定性理論以及隨機分析方法設(shè)計了H∞濾波器，給出了使濾波誤差系統(tǒng)均方意義下漸近穩(wěn)定并滿足給定的H∞性能的充分條件，濾波器參數(shù)通過求解一組LMI而得到。

1 問題描述

考慮如下基于網(wǎng)絡(luò)的離散時間線性系統(tǒng):

(1)

由于傳感器和濾波器之間通過網(wǎng)絡(luò)連接，使得觀測數(shù)據(jù)通過網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)竭h端的濾波器時，濾波器端接收到的數(shù)據(jù)可能具有隨機時變的時滯和丟包現(xiàn)象，這種不確定現(xiàn)象可以用如下模型來描述：

(2)

其中，符號E表示隨機變量的數(shù)學(xué)期望。

本文設(shè)計如下形式的滿階濾波器:

(3)

(4)

其中,

定義1：給定γ>0，稱濾波誤差系統(tǒng)式(4)是均方意義下指數(shù)穩(wěn)定的并且具有H∞性能γ，如果式(4)同時滿足以下兩個條件：

1)(均方漸近穩(wěn)定性)在外部擾動wk=0時，對于所有的η0∈R2n，下式成立：

(5)

(6)

本文的目標(biāo)是針對基于網(wǎng)絡(luò)的離散時間線性系統(tǒng)式(1)，在同時考慮隨機時變時滯和丟包的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，設(shè)計濾波器參數(shù)Af、Bf、Cf，使得濾波誤差系統(tǒng)式(4)均方指數(shù)穩(wěn)定且滿足給定的H∞性能γ。

2 濾波性能分析

定理1：考慮濾波誤差系統(tǒng)式(4)，假設(shè)濾波器參數(shù)Af、Bf、Cf已知。對于給定標(biāo)量γ>0，當(dāng)wk=0時，系統(tǒng)式(4)是均方意義下指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在正定對稱矩陣P=PT>0及Q=QT>0，使得如下矩陣不等式成立：

(7)

其中，

證明：構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)：

(8)

其中，

(9)

(10)

(11)

當(dāng)wk=0時，沿著系統(tǒng)式(4)的解的軌跡計算Vk(ηk)的前向差分，并取數(shù)學(xué)期望，得:

(12)

而:

(13)

(14)

(15)

可得到:

(16)

分析當(dāng)wk≠0時，濾波誤差系統(tǒng)式(4)滿足給定的H∞性能γ>0。

定理2：考慮濾波誤差系統(tǒng)式(4)，假設(shè)濾波器參數(shù)Af、Bf、Cf已知。對于給定標(biāo)量γ>0，當(dāng)wk≠0時，如果存在正定對稱矩陣P=PT>0及Q=QT>0,使得：

(17)

成立，那么濾波誤差系統(tǒng)是均方意義下漸近穩(wěn)定的，且具有給定的H∞性能γ。其中Π11、Π21和Π22的定義見定理1。

證明：顯然，Ω<0意味著Π<0。根據(jù)定理1可知，濾波誤差系統(tǒng)式(4)是均方意義下漸近穩(wěn)定的。

分析系統(tǒng)式(4) 的H∞性能。為此仍選取定理1中的Lyapunov函數(shù)式(8)，類似于定理1的證明過程，當(dāng)wk≠0，有：

(18)

其中，

為了分析濾波誤差系統(tǒng)式(4)的H∞性能，引入如下的性能指標(biāo)：

(19)

其中n是一個非負(fù)整數(shù)。顯然，我們的目標(biāo)是要證明在零初始條件下J(n)<0。由式(18)和式(19)可得：

(20)

由定理2，我們有J(n)≤0。令n→∞，即可以得到：

這表明性能指標(biāo)式(6)滿足，即系統(tǒng)具有給定的H∞性能。證畢。

3 H∞濾波器設(shè)計

定理2在濾波系數(shù)矩陣Af、Bf、Cf已知的前提下，給出了濾波誤差系統(tǒng)漸近均方穩(wěn)定且具有給定H∞性能的一個充分條件。不難看出，當(dāng)濾波參數(shù)矩陣已知時，定理2中的矩陣不等式是線性的。而我們的目的是求解濾波參數(shù)矩陣，此時Lyapunov矩陣及濾波參數(shù)矩陣之間相互耦合，為了能用MATLAB的LMI工具箱方便地求出Af、Bf、Cf，需要將不等式(17)轉(zhuǎn)化成LMI，為此引入一個松弛變量R來減小設(shè)計的保守性，相應(yīng)結(jié)果由定理3和定理4中給出。

定理3：給定標(biāo)量γ>0。如果存在正定矩陣P=PT>0，Q=QT>0和矩陣R、Af、Bf、Cf，使得如下矩陣不等式：

(21)

成立，那么濾波誤差系統(tǒng)是均方意義下漸近穩(wěn)定的，且具有給定的H∞性能γ。其中:

證明:由Schur補引理可知，不等式(17)成立意味著如下矩陣不等式

(22)

令P=R=RT，則由式(22)可得到式(21)。另外，如果式(21)成立，則P-R-RT>0。由于P是正定的，于是可知R非奇異。進而由(R-P)P-1(R-P)T≥0有P-R-RT≥-RP-1RT=RP, 于是可得式(23)：

(23)

對不等式(23)進行全等變換J=diag{I,I,I,PR-1,PR-1,I}。

則可得到不等式(22)。證畢。

(24)

成立，那么濾波誤差系統(tǒng)是均方意義下指數(shù)穩(wěn)定的，且具有給定的H∞性能γ。其中:

則濾波器參數(shù)可以設(shè)計為:

(25)

其中符號*表示矩陣的偽逆。

證明：由于R是非奇異矩陣，設(shè)R為如下形式:

(26)

引入新的矩陣:

(27)

(28)

定義:

(29)

于是有:

(30)

推論1：當(dāng)把/gama作為優(yōu)化變量時，最小的H∞干擾抑制水平γ可以通過求解下面的優(yōu)化問題而得到:

s.t.(24)

4 數(shù)值仿真

為驗證本文所提算法的有效性，考慮文獻[9]中的系統(tǒng)，其系統(tǒng)矩陣為：

其他參數(shù)如下：

當(dāng)wk為零均值，方差為Qw=0.1的白噪聲時，仿真結(jié)果見圖1。

圖1 zk真實值和H∞濾波值Fig.1 True value of zk and its filter

在相同情況下當(dāng)wk=e-0.1ksin(0.1πk)時的估計曲線見圖2。由仿真結(jié)果可見，在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，當(dāng)系統(tǒng)存在隨機時變時滯和數(shù)據(jù)包丟失的情況下，本文所提出的估計算法是有效的。

圖2 zk真實值和H∞濾波值Fig.2 True value of zk and its filter

此外，H∞狀態(tài)估計方法與傳統(tǒng)的Kalman濾波方法相比，當(dāng)噪聲為高斯的且統(tǒng)計特性已知時，兩種濾波方法都適用，然而這一條件比較苛刻，在實際中精確已知噪聲的統(tǒng)計特性往往是比較困難的，當(dāng)噪聲的統(tǒng)計特性未知時，Kalman濾波已不再適用，此時，H∞濾波作為Kalman濾波的替代方法充分體現(xiàn)了它的優(yōu)越性。

5 結(jié) 論

本文針對具有隨機時變時延和多丟包的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，采用一個Bernoulli分布的隨機變量來對網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中存在的不確定現(xiàn)象進行建模。利用線性矩陣不等式方法設(shè)計了H∞濾波器，并且使得濾波誤差系統(tǒng)在均方意義下漸近穩(wěn)定。通過仿真驗證了所設(shè)計的狀態(tài)估計方法的有效性。

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H∞state estimation for network systems with random varying time delays and data packet dropouts

LI Xiu-Ying, ZHANG Xi-Mu

(School of Electronic Engineering, Heilongjiang University, Harbin 150080, China)

This paper investigates theH∞filterdesignproblemforaclassofnetworksystemswithrandomvaryingtimedelaysanddatapacketdropouts.Becausethemeasuredoutputofthesystemistransmittedthroughnetworkstotheremotefilterafterdatapacking,thedatapacketwillunavoidablybereceivedwithdelaysevenbelostduringthetransmission.Moreover,thetimedelayoccursrandomlyanditisboundedandthedatapacketmaybelostconsecutively.Anewmodelispresentedtodescribethenetworkinducedphenomenaofrandomdelaysandmultiplepacketdropoutssimultaneouslyinthispaper.Basedonthenewmodel,anH∞filterisdesignedtomakethefilteringerrorsystemasymptoticallystableinthemean-squaresenseandguaranteeaprescribedH∞performance.Theparametersofthefilterareobtainedbysolvingthelinearmatrixinequality(LMI).Thenumericalexampleisgiventoillustratetheeffectivenessoftheproposedmethod.

H∞stateestimation;datapacketdropouts;varyingtimedelays;linearmatrixinequality(LMI)

10.13524/j.2095-008x.2015.02.034

2015-03-13

黑龍江大學(xué)培育省部共建教育部重點實驗室開放課題(P201401)

李秀英(1978-)，女，黑龍江伊春人，講師，博士，研究方向：網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)H∞濾波和控制，無模型控制理論與應(yīng)用等,E-mail:xiuxiu4480@sina.com。

TP

A

2095-008X(2015)02-0080-06