加羊杰

（青海師范大學(xué)民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，西寧810008）

三階超對(duì)稱非線性Schr?dinger方程的延拓結(jié)構(gòu)

加羊杰

（青海師范大學(xué)民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，西寧810008）

超對(duì)稱的Heisenberg鐵磁連模型是一類非常重要的可積系統(tǒng)，它與固體物理中的電子強(qiáng)關(guān)聯(lián)Hubbard模型有著緊密的聯(lián)系.文章主要利用超對(duì)稱延拓結(jié)構(gòu)理論的方法，分析高階超對(duì)稱非線性Schr?dinger方程，進(jìn)行研究得到了該方程延拓代數(shù)對(duì)應(yīng)的Lax對(duì).

非線性Schr?dinger方程；超對(duì)稱；李代數(shù)；延拓結(jié)構(gòu)；Lax對(duì)；線性譜問題

1引言

隨著對(duì)孤立子在大量非線性物理問題中的深入研究，孤立子在數(shù)學(xué)上已經(jīng)形成了比較完整的理論體系.已有的結(jié)論顯示，對(duì)于可積的非線性系統(tǒng)必定存在孤立子解，而且有時(shí)候也能在不可積系統(tǒng)中得到孤立子解.對(duì)于一個(gè)非線性系統(tǒng)的可積性，目前人們還無法給出一個(gè)確切的概念；因此，稱一個(gè)非線性系統(tǒng)可積的時(shí)候往往是指不同意義下的可積.早在1975年，Wahlquist和Estabrook基于外微分形式系統(tǒng)及李代數(shù)表示理論建立了1+1維非線性演化方程的延拓結(jié)構(gòu)理論，給出了一個(gè)系統(tǒng)求解非線性演化方程線性譜問題的有效方法.該理論主要是將要研究的（1+1）維可積非線性微分方程表達(dá)為一組外微分形式2-形式，使得這些外微分形式構(gòu)成閉理想，然后引進(jìn)勢(shì)或偽勢(shì)和與之相聯(lián)系的外微分1-形式，并要求引入的外微分1-形式與原來的外微分形式2-形式構(gòu)成新的閉理想，從而成功給出可積方程的Lax表示以及貝克隆變換.他們將該理論應(yīng)用于KdV方程，系統(tǒng)地得到了KdV方程的線性譜問題和B¨acklund變換.隨后，該理論被廣泛應(yīng)用于研究（1+1）可積非線性演化方程［1-5］.最近人們利用該理論對(duì)海森堡鐵磁鏈方程［6-10］，高階非線性薛定諤方程［11-15］，反應(yīng)擴(kuò)散方程［16-19］進(jìn)行了深入分析和研究.

近年來對(duì)于各種超對(duì)稱非線性Schr?dinger方程［20-22］的研究得到人們的普遍關(guān)注.在本文中，我們將主要運(yùn)用延拓結(jié)構(gòu)理論對(duì)超對(duì)稱非線性Schr?dinger方程進(jìn)行研究，討論其延拓代數(shù)結(jié)構(gòu)，并給出它們的Lax對(duì).

2三階超對(duì)稱非線性Schr?dinger方程

方程（1）表示的是一個(gè)重要的物理模型，它表示經(jīng)典的連續(xù)鐵磁自旋系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)情況，是一個(gè)非常重要的可積系統(tǒng).目前人們對(duì)其經(jīng)典以及量子行為進(jìn)行了大量研究，它在拓?fù)鋱?chǎng)論以及超弦理論中都有重要應(yīng)用.

其中ε為常數(shù)，φ（x,t）是玻色函數(shù)，ψ（x,t）是費(fèi)米項(xiàng).費(fèi)米函數(shù)ψ，ψ的計(jì)算規(guī)則為則可以在流形

上定義一組外微分2-形式如下：

其中d表示外導(dǎo)數(shù)，∧表示外積.方程組（3）α1，α2，α3，α4，β1，β2，β3，β4對(duì)應(yīng)于引入新變?cè)捻?xiàng)，α5，α6，β5，β6則對(duì)應(yīng)于原始方程的項(xiàng).易證外微分形式構(gòu)成的集合I=｛αi,βi,i=1,2,3,4,5,6｝在流形I上構(gòu)成閉理想.當(dāng)2-形式αi限制到解流形

上為0時(shí)，則可以得到方程（1）.現(xiàn)在引進(jìn)n個(gè)玻色的外微分1-形式.

其中yk為延拓變量，以及一組新的費(fèi)米延拓變量ξl以及新的費(fèi)米的外微分1-形式，

滿足的偏微分方程組

其中

從方程（7c）式和（9）式，可以將F和G的形式分別記為

將上式代入到方程（7c）式中，可得

為了得到G1的表達(dá)式，對(duì)（13）式方程分別關(guān)于變量φxx，ψxxxx，ψxx求導(dǎo)，得

其中，積分常數(shù)G2僅依賴于變量φ,,ψ,ψ,.重復(fù)求解G1的過程我們將（15）式中G1的表達(dá)式代入到（14）式中，對(duì)所得到的G分別關(guān)于φ,ψ,,,φx，ψxxx求導(dǎo)后代入到（15）式并展開，比較各獨(dú)立單項(xiàng)式的系數(shù)，可得下列方程組

通過分析方程組（16）式，我們可以得出如下形式，其中待定函數(shù)F（φ,φ,ψ,ψ,y）中只含有φ,,ψ,的一次項(xiàng)，因此可以將F取作下列的形式.

其中Xi（i=0,1,-1,2,-2,）為僅僅依賴于延拓變量的生成元，下標(biāo)的正負(fù)分別代表Xi為偶生成元和奇生成元.再由（17）式可以得到G2對(duì)于φ,,ψ,的導(dǎo)數(shù)如下.

為了利用（18）式得到G2的具體表達(dá)式，需要利用以下關(guān)系式：

將F的表達(dá)式（17）式代入到G2對(duì)于φ,,ψ,ψ的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式（18）式中，經(jīng)過直接的運(yùn)算整理，由（19）式中的六個(gè)關(guān)系式可以得到方程組：

比較（20）式的六組方程中各獨(dú)立單項(xiàng)式的系數(shù)，我們可得下列對(duì)易關(guān)系式.

其中上式運(yùn)算關(guān)系式中的兩個(gè)算子函數(shù)均為費(fèi)米變量（Xi，i為負(fù)整數(shù)），則它們之間為反對(duì)易關(guān)系，仍然采用［，］來表示，例如

下面就通過分析式（21）-（27），來確定這些生成元之間所有的對(duì)易關(guān)系，并給出它們的一組表示.由式（21）-（27），可以得出：

為了運(yùn)算的方便，定義一些新的代數(shù)生成元如下.

則式（27）-（29）中的各個(gè)對(duì)易關(guān)系式與反對(duì)易關(guān)系式可以重新記為

利用Jacobi恒等式以及式（29）中結(jié)果，還可以得到如下的關(guān)系式.

分析（30）式和（31）式中的代數(shù)關(guān)系，利用李代數(shù)表示理論，得到生成元的一組矩陣表示如下，其中玻色成元為

費(fèi)米成元為

考察式（32）和式（33）中的表示矩陣與超代數(shù)usp1的關(guān)系，容易驗(yàn)證

利用在（34）式與（35）式中所求得的生成元之間的對(duì)易關(guān)系式，可以將（18）式中G2關(guān)于φ，ψ的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式重新寫作

將以上方程組（23）中的四個(gè)方程分別對(duì)變量φ，ψ，φ，ψ積分，并利用我們比較各獨(dú)立系數(shù)所得到的方程組（36）中的最后一式確定積分常數(shù)，可以得到

因此，我們所求得的一組三階超對(duì)稱非線性Schr?dinger方程（1）的Lax表示為

為了構(gòu)造一組三階超對(duì)稱非線性Schr?dinger方程解的B¨acklund變換，我們將表示矩陣（31）和（35）代入F和G，得到方程（1）的Lax表示

若要求ωk|U=0，可以得到方程（1）的Lax表示，

其中

由相容性關(guān)系yxt=ytx，很容易得到原方程（1）.

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（責(zé)任編輯王善平）

Prolongation structure of the third-order supersymmetric nonlinear Schr?dinger equation

JIA Yang-jie
（Department of Mathematics，Nationalities College of Qinghai Normal University，Xining810008，China）

The Heisenberg supermagnet model is an supersymmetric system and has a close relationship with the strong electron correlated Hubbard model.In this paper，the supersymmetric prolongation structure was used to analyze the high order supersymmetric nonlinear Schr?dinger equation.Its Lax representation of prolongation algebra was constructed.

nonlinear Schr?dinger equation；supersymmetric；Lie algebra；prolongation structure；Lax pair linear spectral problems

O157.5

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.003

1000-5641（2015）01-0016-11

2013-12

國(guó)家自然科學(xué)基金（11061026）

加羊杰，碩士，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)物理.E-mail：jiayangjie123@163.com.