鄭其明

(南京化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院,江蘇 南京 210048)

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基于折射定律的漸變介質(zhì)中光傳播路徑研究及其應(yīng)用

鄭其明

(南京化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院,江蘇 南京 210048)

從理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)角度解釋了光在漸變介質(zhì)中的傳播規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上從實(shí)驗(yàn)和理論兩個(gè)角度提出應(yīng)用光在漸變介質(zhì)中的傳播規(guī)律分析和解決實(shí)際問(wèn)題.

折射定律；漸變介質(zhì)；應(yīng)用

漸變折射率現(xiàn)象在日常生活中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)，例如空氣本身并不是一個(gè)均勻的介質(zhì)，在一般情況下，它的密度是隨高度的增大而遞減的，高度越高，密度越小.光在空氣中傳播時(shí)，當(dāng)光線穿過(guò)不同高度的空氣層時(shí)，總會(huì)引起一些折射，但這種折射現(xiàn)象在我們?nèi)粘Ｉ钪幸呀?jīng)習(xí)慣了，所以不覺(jué)得有什么異樣.但在某些特殊條件下，例如夏日的海面或沙漠地帶，由于地面和高空溫差大，上下空氣密度有較大差距，上下空氣的折射率也會(huì)產(chǎn)生較大變化，這時(shí)往往會(huì)產(chǎn)生海市蜃樓現(xiàn)象[1].

從理論上講，研究光在漸變折射率的介質(zhì)中傳播與研究光在均勻介質(zhì)中的傳播一樣，都可以建立光在介質(zhì)中傳播的麥克斯韋方程，通過(guò)求解微分方程，可以得到光在漸變介質(zhì)中傳播規(guī)律[2].但實(shí)際上解決這種微分方程是非常困難的，有時(shí)甚至無(wú)法求解.因此解決光在漸變介質(zhì)中的傳播問(wèn)題是工程中困難問(wèn)題.

針對(duì)上述問(wèn)題，本文首先通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)模擬光在漸變介質(zhì)中傳播的現(xiàn)象，從而了解光在漸變介質(zhì)中的傳播軌跡.再通過(guò)光的折射定律和費(fèi)馬原理建立光在漸變介質(zhì)中傳播積分方程，從而求出光在漸變介質(zhì)中的傳播軌跡方程，這樣就避免了復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程，這種方法對(duì)求解光在漸變薄膜中的傳播或求解海市蜃樓現(xiàn)象，都有一定的借鑒意義.利用上述現(xiàn)象和原理，用不同濃度的糖水設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，模擬海平面日落光學(xué)現(xiàn)象.同時(shí)還將上述數(shù)學(xué)變換方法應(yīng)用于解決物理學(xué)中其它類(lèi)似問(wèn)題(如兩端固定的懸掛鏈條的懸鏈跡問(wèn)題以及落體問(wèn)題的最速降軌跡問(wèn)題等)，這對(duì)引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用物理學(xué)原理和數(shù)學(xué)工具，具有指導(dǎo)意義.

1 光在漸變介質(zhì)中傳播現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)?zāi)M

雖然光在漸變介質(zhì)中的傳播現(xiàn)象在自然界中很常見(jiàn)，但要完整觀察光在漸變介質(zhì)中傳播軌跡是不容易的.在實(shí)驗(yàn)中將甘油倒入玻璃槽中，在玻璃槽底均勻鋪上薄薄一層，然后將水緩緩倒入槽中，由于甘油無(wú)色透明，其相對(duì)折射率為1.4746，密度為1.2636克/厘米3，都比水大，又不溶于水，會(huì)與水形成混合液.因此當(dāng)將水倒入后，由于甘油比水重，甘油會(huì)沉在槽底，靜置一段時(shí)間以后，甘油會(huì)在水中慢慢擴(kuò)散，水槽上部的甘油相對(duì)分布少，下部分布多，這樣在水槽中就形成了折射率由上往下逐漸增大的甘油與水的混合液.將一束激光射入混合液體中，可以明顯看到，激光在混合液中傳播路徑不再是直線而是發(fā)生了彎曲，如圖1所示.由于上下混合液的濃度不同，激光在上部和下部傳播時(shí)的軌跡的彎曲程度也不同.如圖2所示，在混合液的下部光的彎曲程度會(huì)更大些.改變激光射向混合液體的角度，可看到，激光在混合液體中傳播路徑也產(chǎn)生變化.

利用此實(shí)驗(yàn)還可以模擬海市蜃樓現(xiàn)象，如示意圖3所示，將一個(gè)物體放在混合液的底部，從物體發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)漸變折射率液體折射后發(fā)生了彎曲，透過(guò)液體看過(guò)去，會(huì)在水槽的上方看到物體的像，這就與海市蜃樓產(chǎn)生的情景是一致的.

圖1 光在液體上部傳播時(shí)情形

圖2 光在液體的下部傳播時(shí)的情形(在底部時(shí)由于射向空氣時(shí)產(chǎn)生全反射)

圖3 模擬海市蜃樓現(xiàn)象

2 光在漸變折射率介質(zhì)中傳播軌跡的理論分析

由以上模擬演示實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象可知，光在變折射率的介質(zhì)中的傳播路徑不再是直線而變?yōu)榱饲€，下面通過(guò)理論分析求光在漸變介質(zhì)中的傳播軌跡.

由費(fèi)馬原理可知，光線總是沿著最短時(shí)間的路徑行進(jìn).對(duì)于漸變介質(zhì)而言，其折射率為位置的函數(shù)，即：n=n(x,y,z)，設(shè)光的真空中光程為dl，則在介質(zhì)n中的光程為ndl.光在某漸變介質(zhì)中傳播時(shí)，光線行進(jìn)所花費(fèi)的時(shí)間可表示為[3]：

(1)

圖4 光在漸變介質(zhì)中傳播的光路圖

如果知道了介質(zhì)的折射率隨位置變化的關(guān)系，根據(jù)費(fèi)馬原理，對(duì)上式求時(shí)間的極小值，理論上可以求出光在漸變折射率的介質(zhì)中傳播軌跡，但要對(duì)上式求極限，必須對(duì)上式進(jìn)行變分處理，其數(shù)學(xué)處理過(guò)程非常復(fù)雜，對(duì)只學(xué)過(guò)基礎(chǔ)微積分的學(xué)生來(lái)說(shuō)難以理解和掌握，本文根據(jù)光的折射定律，對(duì)上述積分關(guān)系式進(jìn)行處理，這樣就簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)處理過(guò)程.

為了使得問(wèn)題簡(jiǎn)化，令漸變折射率介質(zhì)的折射率只沿著豎直方向變化，n=n(y)，如圖4所示.將介質(zhì)沿著y軸方向分成無(wú)數(shù)個(gè)薄層，設(shè)每個(gè)薄層折射率都為常數(shù)，假設(shè)光初始入射時(shí)初始角為θ0，初始介質(zhì)的折射率為n0，射入每個(gè)薄層時(shí)的折射角分別為θ1,θ2L,θy，每個(gè)薄層的折射率分別為n1,n2,L,ny，光在每個(gè)薄層行進(jìn)時(shí)都滿足光的折射定律.這樣就可以根據(jù)光的折射定律來(lái)決定光在漸變介質(zhì)中的行進(jìn)路徑.由光的折射定律可得：

n0sinθ0=n1sinθ1=L=nysinθy=c

(2)

(3)

其中θ為深度為y處的折射角.

這樣就可以得到光在漸變介質(zhì)中的軌跡方程為：

(4)

根據(jù)軌跡方程(4)可知，如果已經(jīng)知道了漸變介質(zhì)的折射率隨著位置變化的關(guān)系，就可以根據(jù)方程(4)求出光在漸變介質(zhì)中的傳播軌跡.這樣就不需要通過(guò)求極值來(lái)確定光在漸變介質(zhì)中的傳播軌跡.

在實(shí)際工程中，要確定漸變介質(zhì)的折射率隨著位置變化的關(guān)系是不容易的，一般情況下很難準(zhǔn)確確定出來(lái).實(shí)際情況下只能通過(guò)近似方法來(lái)進(jìn)行確定.對(duì)上述實(shí)驗(yàn)中情況可做如下分析：

(5)

將(5)式代入(4)式中并進(jìn)行積分可得：

(6)

將(5)式的理論推導(dǎo)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖1和圖2相比大致是相符的，如果盛放漸變介質(zhì)容器足夠長(zhǎng)，應(yīng)該能得到類(lèi)似(6)式結(jié)果的光路傳播圖像，但由于漸變介質(zhì)的折射率隨著位置變化是很復(fù)雜的，與很多因素有關(guān)，因此實(shí)際結(jié)果與理論推導(dǎo)的結(jié)果會(huì)有差距.

3 光在漸變折射率介質(zhì)中傳播現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)應(yīng)用——以糖水模擬海平面日落光學(xué)現(xiàn)象

夕陽(yáng)西下，在清澈的海平面上，?？煽吹酱怪狈较虮粔嚎s，呈黃、橘、紅色扁橢圓的太陽(yáng)，如果運(yùn)氣更好，還可看見(jiàn)綠閃光(green flash)現(xiàn)象.這些現(xiàn)象都與海平面上方的大氣不同高度處的空氣密度和折射率隨著高度變化而變化，從而造成大氣的漸變折射現(xiàn)象，當(dāng)然還與大氣對(duì)光的色散以及大氣分子對(duì)光的散射等原因有關(guān).曾經(jīng)有研究者利用不同濃度的糖水層及水，依序由下往上濃度越稀放入水箱中，示范了山區(qū)受大氣折射作用所產(chǎn)生的海市蜃樓的幻影現(xiàn)象(如圖3所示).利用同樣的方法，以幻燈機(jī)的白光燈源經(jīng)過(guò)濃度由下往上遞減的糖水所造成的折射率改變，及對(duì)白光所造成的散射，模擬展示了日落時(shí)，太陽(yáng)因大氣折射、散射所產(chǎn)生的扁紅太陽(yáng)的現(xiàn)象.實(shí)驗(yàn)中使用的材料有水箱、不同濃度糖水、幻燈機(jī)或其它白光燈源.基本步驟如下：

1)實(shí)驗(yàn)前先配制好不同濃度的糖水，將不同濃度糖水依序由下至上由濃至淡注入(注意不可攪拌)水箱.每注入每一層前，先鋪上一層塑料袋.注完該層后，緩緩將塑料袋均勻用力抽出，此時(shí)雖有糖水的小擾動(dòng)，但明顯可見(jiàn)不同濃度糖水層的形成.

2)先以激光光源作測(cè)試，看是否有光束彎曲現(xiàn)象(如圖5)，還可以用不同顏色的激光觀察不同顏色的激光彎曲程度有什么不同的現(xiàn)象.

圖5 激光光穿過(guò)不同濃度糖水光線會(huì)彎曲

3)根據(jù)圖6所示的裝置圖，準(zhǔn)備幻燈機(jī)，在投射燈前原置幻燈片位置，放入一張與幻燈片大小相當(dāng)?shù)陌准埰?，則所投射出的光便形成一個(gè)圓的光源.在圖6所示裝置的另一側(cè)通過(guò)眼睛就可以觀察到圖7所示的模擬日落時(shí)扁紅太陽(yáng)現(xiàn)象.

圖6 仿真日落觀察裝置圖

圖7 觀察到模擬海平面的日落現(xiàn)象

未來(lái)還希望通過(guò)改進(jìn)糖水濃度的層次，以展示太陽(yáng)光因大氣折射所產(chǎn)生的重迭幻影-中國(guó)燈籠現(xiàn)象以及綠光現(xiàn)象.

4 基于折射定律的漸變介質(zhì)中光傳播規(guī)律的理論應(yīng)用

圖8 懸鏈線

由光在漸變折射率介質(zhì)中傳播軌跡的理論分析可知，光在漸變折射率介質(zhì)中傳播的最短路徑可由方程(1)進(jìn)行求解，而應(yīng)用方程(1)求解必須要進(jìn)行復(fù)雜的變分，比較難于求解，通過(guò)光的折射定律可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，從而得到(4)式所示光在漸變折射率介質(zhì)中傳播的軌跡方程.物理學(xué)中有很多其它類(lèi)似問(wèn)題，如兩端固定的懸掛鏈條的懸鏈線問(wèn)題，以及落體問(wèn)題的中的最速降軌跡問(wèn)題等，其結(jié)果都與(1)式類(lèi)似，因此可以借鑒求解光在漸變介質(zhì)中傳播軌跡的方法，解決懸鏈線問(wèn)題和最速降軌跡等問(wèn)題.

4.1 兩端固定的懸鏈線問(wèn)題

如果將一條鏈子的兩端固定讓它自由懸掛，最后會(huì)形成圖8所示的懸鏈線.設(shè)鏈子的質(zhì)量線密度為ρ，重力加速度為g，根據(jù)力學(xué)原理得，整個(gè)懸鏈線的位置勢(shì)能U可表示為[6]：U=∫ρgxdl

(7)

對(duì)上式進(jìn)行積分，就可得到懸鏈線的軌跡為雙曲余弦函數(shù)[7]：y=Acosh(x/c)，其中A為常數(shù)，常數(shù)A和C可根據(jù)懸鏈線的具體數(shù)據(jù)進(jìn)行確定.

由以上分析可知，如果用變分法來(lái)求懸鏈線的軌跡從數(shù)學(xué)分析角度來(lái)說(shuō)也是比較復(fù)雜的，如果應(yīng)用折射定律，利用類(lèi)似于光在漸變介質(zhì)中傳播路徑的求解方法，就比較容易得到懸鏈線的軌跡方程.

4.2 最速落體軌跡問(wèn)題

5 結(jié)束語(yǔ)

求解光在漸變折射率介質(zhì)中傳播路徑問(wèn)題是物理學(xué)中一個(gè)問(wèn)題[8-10]，本文首先通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)模擬光在漸變介質(zhì)中傳播的現(xiàn)象，從而了解光在漸變介質(zhì)中的傳播軌跡.再通過(guò)光的折射定律和費(fèi)馬原理建立光在漸變介質(zhì)中傳播積分方程，求出光在漸變介質(zhì)中的傳播軌跡.本文通過(guò)運(yùn)用上述原理和現(xiàn)象，用不同濃度的糖水設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，模擬海平面日落光學(xué)現(xiàn)象，從而加深學(xué)生對(duì)光在介質(zhì)中傳播規(guī)律的了解.同時(shí)本文還將上述數(shù)學(xué)變換方法應(yīng)用用與解決物理學(xué)中其它類(lèi)似問(wèn)題.本文理論推導(dǎo)過(guò)程中使用的數(shù)學(xué)工具簡(jiǎn)單，避開(kāi)了復(fù)雜的數(shù)學(xué)技巧，容易為普通大學(xué)生掌握和應(yīng)用，本文的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證也容易在實(shí)驗(yàn)室開(kāi)展，同時(shí)本文所采用的推導(dǎo)方法對(duì)引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用物理學(xué)原理和數(shù)學(xué)工具，具有指導(dǎo)意義.

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Research on Light Propagation Path in Gradient Medium Based on Refraction Law

ZHENG Qi-ming

(Nanjing College of Chemical Technology, Nanjing 210048, China)

Propagation law of light in the gradient medium is theoretically and experimentally explained in this paper. Thus this paper also theoretically and experimentally proposes the view that applys the propagation law of light in gradient medium to analyze and solve practical problems.

refraction law； gradient medium； application

10.14182/J.cnki.1001-2443.2015.03.007

2013-11-10

中國(guó)物理學(xué)會(huì)教學(xué)委員會(huì)職教分委會(huì)立項(xiàng)課題(2012(01)).

鄭其明(1969-)，男，江蘇姜堰人，副教授，主要從事大學(xué)物理教學(xué)與研究.

鄭其明.基于折射定律的漸變介質(zhì)中光傳播路徑研究及其應(yīng)用[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015，38(2)：245-249.

O433

A

1001-2443(2015)03-0245-05