霍金溫度的修正對半全息宇宙學模型的影響

郭若毅，陳馳一

（杭州師范大學理學院，浙江 杭州310036）

1933年，弗里茨·茲威基首次發(fā)現(xiàn)大星系團中的星系具有極高的運行速度，而要束縛住這些星系，星系團的實際質量應該是通過電磁信號觀測到的恒星總質量的100多倍［1］.因此，這種無法通過測量其亮度或者電磁效應探測到、和其他普通物質的相互作用也非常微弱的未知物質稱為暗物質.星系NGC3198的轉動曲線則為暗物質的存在提供了直接的證據(jù)［2］.之后，Riess等分別利用Ia型超新星作標準燭光，精確測量了距離-紅移關系，發(fā)現(xiàn)宇宙在加速膨脹［3-5］.這一結論的得出是基于標準宇宙學度規(guī)，而對其的分析是根據(jù)愛因斯坦標準宇宙動力學模型，暗示必須存在一種排斥能（即要求ρ＋3p＜0），但目前實驗室探測到的已知相互作用都不滿足這個判據(jù)，因此這種能量被命名為暗能量.

暗能量和暗物質是新世紀最重要的兩個發(fā)現(xiàn).大多數(shù)物理學家都將暗物質和暗能量問題看作是彼此獨立的兩個問題.對于暗能量問題，物理學家曾試圖構建很多物理模型予以解釋，如宇宙學常數(shù)、Quintessence、phantom、k-essence等［6］，然而暗能量的本質是什么卻一直沒有統(tǒng)一的答案.暗物質問題同樣如此.由于這兩者發(fā)現(xiàn)的時間相距較遠，很少有模型提出兩者可能存在一定關聯(lián)性.但是將兩者聯(lián)系在一起考慮也未嘗不可，因為暗能量和暗物質問題都是出現(xiàn)在宇觀的大尺度上，而在此尺度上起主導作用的相互作用只有引力.況且，暗能量和暗物質還存在所謂巧合性問題（coincidence problem）.因此，從自然性的角度分析，暗能量和暗物質問題很可能在物理的深層次本質上是相聯(lián)系的.

半全息宇宙學模型主要通過熵將暗物質和暗能量聯(lián)系在一起來研究兩者的性質.本文將進一步改進和完善當前關于半全息宇宙學的討論.Zhang等［7］給出的霍金溫度T采用了標度因子變化的平坦性近似，在當前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)宇宙存在明顯加速膨脹的前提下，這種近似是應該得到修正的.Cai等［8］則給出了明確的修正，得到了霍金溫度更準確的表達式.本文正是考慮霍金溫度的物理修正以后，重新考察了暗能量和暗物質通過熵結合的半全息宇宙學模型，著重處理了巧合性問題，并根據(jù)得到的吸引子解來分析討論宇宙減速因子以及暗物質、暗能量的等效壓強密度比.

1 霍金溫度T 的修正

為了使半全息宇宙學模型應用更為嚴謹準確，本文考慮采用霍金溫度T的一般表達式來求解半全息宇宙學模型的參數(shù).在這里標準模型的基本假設（宇宙學原理）依然成立，即每一時刻的宇宙物質分布在大尺度下是均勻且各向同性的.根據(jù)宇宙學原理，已知n＋1維的FRW 宇宙學度規(guī)為：

其中a（t）為標度因子，k為空間曲率.上式同樣可以等價地表示為：

對于三維的宇宙來說，在其膨脹時期不存在事件視界，但其表觀視界卻一直存在，所以本文選取表觀視界作為暗能量的全息面，根據(jù)視界的概念要求：

其中

而式（3）可以按具體指標展開為：

結合式（4）即可得表觀視界半徑為：

其中表示a對時間求一階導數(shù)，下面類似符號也作同樣規(guī)定.定義表觀視界面的表面引力［8］為：

而H對標度因子a求一階導數(shù)為：

其中H′表示H對于lna求偏導數(shù)，下面類似符號也作同樣規(guī)定.所以根據(jù)式（2）至（10）以及的條件，表觀視界面的引力可以表述為：

在一般情況下，視界因霍金輻射而產(chǎn)生的霍金溫度的一般形式［8］為，根據(jù)式（11），則在表觀視界下的溫度T具體表示為根據(jù)觀測的最佳擬合結果，本文同樣研究平坦的宇宙，即k＝0，此時，所以有

相比于未修正的霍金溫度項，在考慮了標度因子a的二階導數(shù)項的動力學效應后，得到的新的霍金溫度項T多出了一個H的一階導數(shù)項.其影響主要表現(xiàn)在暗能量和暗物質的能量密度的演化方程以及吸引子解的結果，可以通過宇宙減速因子及暗能量和暗物質的等效壓強密度比加以驗證.

2 吸引子解

根據(jù)宇宙的演化規(guī)律，暗物質和暗能量的密度在當前階段處在同一量級，但通常情況下，兩者隨宇宙標度因子的演化規(guī)律會呈指數(shù)的不同，而宇宙的標度因子在宇宙的整個演化歷史中膨脹了很多倍，因此，宇宙早期暗能量與暗物質的能量密度相差極大.為了在宇宙演化的當前時期得到兩者處于相當?shù)慕Y果，需要在接近宇宙誕生的時候就對各種物質的比例做非常細致的調整，這種調整的機制以及暗能量本身的性質都讓人非常困惑，這也是巧合性問題的由來.對于巧合性問題，如果要得到機制性的解決，則可以采用讓暗能量和暗物質的能量密度滿足吸引子解的方案來緩解，因為此時暗能量和暗物質的比例只與其狀態(tài)參數(shù)有關.半全息宇宙學模型正是這樣一個可以解決巧合性問題的模型，其穩(wěn)定點處的暗能量和暗物質的比例也正好只與狀態(tài)參數(shù)成比例.它主要通過熵將暗能量和暗物質聯(lián)系起來，對其進行動力學分析得到哈勃參數(shù)的演變方程.在熱力學分析的過程中，可以將暗能量和暗物質組成的系統(tǒng)看作是一個封閉的系統(tǒng)，假定其不與外界發(fā)生物質交換，應用熱力學第一定律討論暗能量和暗物質的內能變化，得到暗能量或暗物質的能量密度的演化方程.對其求吸引子解，并給出吸引子解的限制條件.

上式兩邊都對標度因子a求導數(shù)，并化簡得綜合上述兩式得H′2＝

對暗能量和暗物質分別應用熱力學第一定律，得到

應用能-動量張量的守恒律，計算得到暗能量和暗物質的能量密度的演化方程分別為：

同時，式（15）和（16）又稱為宇宙動力學方程.為了使暗物質和暗能量的能量密度演化方程形式更簡潔，可以定義新變量則式（15）、（16）改寫為：

所謂吸引子解，必須是不動點，且要求其具有穩(wěn)定性.而對于巧合性問題，最簡單的情況就是宇宙學參數(shù)u、v都滿足吸引子解.令u′c＝0，v′c＝0，代入式（17）和（18），解得臨界點為：

如果宇宙學常數(shù)λ≠0，則最終暗物質和暗能量的比例為該式說明臨界點處暗物質和暗能量的能量密度的比例只與狀態(tài)參數(shù)有關，這很自然地解釋了兩者比例的巧合性問題.而對于臨界點穩(wěn)定性問題的研究，可以通過考察宇宙動力學方程相對臨界點的偏離度的演化情況來實現(xiàn).改寫u和v為：

那么含有偏離度的暗物質和暗能量的演化方程為：

根據(jù)臨界點的條件，化簡得到偏離度所滿足的方程為：

假定暗能量和暗物質的能量密度參數(shù)在吸引子解附近都為常數(shù)，可以把偏離度作傅里葉展開，即δρ∝ela，則暗能量和暗物質密度參數(shù)的偏離度展開式中，最主要的項為一階偏導數(shù)，滿足（δρ）′＝lδρ.而偏離度作為一階小量，其平方項可以忽略，那么偏離度的演化方程可以寫作矩陣方程組：

如果臨界點為穩(wěn)定的不動點，則要求根必須小于零.只有這時得到的臨界點才是吸引子解，即要求1＋wdewdm＋2wde＞0，且實際觀測中暗物質和暗能量的狀態(tài)參數(shù)滿足，所以得到吸引子解的限制條件為根據(jù)這一限制條件，本文選取wde＝-0.62，wdm＝-0.42.下文通過宇宙減速因子以及暗能量和暗物質的等效壓強密度比來檢驗這一模型修正前后的變化.

3 應用

3.1 宇宙減速因子

宇宙減速因子是宇宙觀測最重要的參數(shù)，用來描述宇宙膨脹的加速度情況.其定義式為當q＞0時，宇宙在減速膨脹；反之，宇宙在加速膨脹.根據(jù)H的變換形式，減速因子可以化簡為

圖1 半全息宇宙學模型和宇宙學常數(shù)模型中宇宙減速因子q的演化曲線Fig.1 The evolutions of qin semi-holographic universe andΛCDM

根據(jù)半全息宇宙學模型［7］，本文選取橫軸為-lna來研究宇宙減速因子q隨宇宙紅移的變化規(guī)律，并取現(xiàn)今宇宙的參數(shù)初值為u0＝0.25，v0＝0.01，λ＝0.74.q隨-lna的變化如圖1所示.可見兩曲線的變化趨勢基本一致，q在圖中所示的區(qū)段內取負值，意味著宇宙此時處于加速膨脹；而在當前時刻q的取值是不同的，對于半全息宇宙學模型，對應值約為-0.74.

3.2 等效壓強密度比

當考慮暗能量或暗物質對宇宙演化的影響時，壓強必須為等效壓強，其定義式為0.它是由能量密度隨宇宙膨脹的演化行為所決定的，可化簡為等效密度壓強比為所以，求得暗物質和暗能量的等效壓強密度比的解析表達式分別為：

根據(jù)式（19）和（20），圖2描繪出了暗能量和暗物質的等效壓強密度比隨-lna的變化情況（選取的參數(shù)初值和討論減速因子時相同）.相比半全息宇宙學模型給出的演化圖，在圖2中可以發(fā)現(xiàn)類似的規(guī)律：當宇宙處于較大紅移時，暗物質的等效壓強密度比逐漸趨近于零，這意味著此時暗物質轉變?yōu)橹刈游镔|；對于暗能量，隨著紅移逐漸增大，其等效壓強密度比經(jīng)歷著從phantom 模型到宇宙學常數(shù)模型的變化，最后接近-1，剛好就是宇宙學常數(shù)模型的結果.但標度因子a的二階導數(shù)產(chǎn)生的動力學效應使得圖2具體的變化趨勢與前者有所不同：暗物質在紅移小于原先位置時就轉變?yōu)榱酥刈游镔|；暗能量的等效壓強密度比取最大值時的位置和大小較霍金溫度修正前發(fā)生了變化.

4 結束語

霍金溫度T是在求解吸引子問題中比較重要的一個參數(shù)項，考慮到標度因子a的二階導數(shù)存在緩慢變化的動力學效應，本文對霍金溫度T進行了修正，并將修正后的霍金溫度T重新應用于半全息宇宙學模型的討論.文章在熵守恒的前提下重點討論了暗能量和暗物質的巧合性問題，發(fā)現(xiàn)滿足吸引子解時暗能量和暗物質的比例只與它們的狀態(tài)參數(shù)有關，由此解釋了巧合性問題，同時也給出了吸引子解的限制條件.依據(jù)得到的吸引子解，討論了宇宙學觀測的兩項重要指標宇宙減速因子和等效壓強密度比.結果發(fā)現(xiàn)修正后的半全息宇宙學模型中宇宙減速因子隨-lna的變化規(guī)律與ΛCDM 模型接近，且減速因子取負值也很好符合了宇宙在加速膨脹這一事實，但是其在當前時刻對于減速因子給出了不同的預測值；相比之前的半全息宇宙學模型，當宇宙處于較大紅移處時，暗物質的等效壓強密度比逐漸趨向于零，反之重子物質則隨著宇宙演化向暗物質轉變；隨著宇宙紅移逐漸增大，暗能量經(jīng)歷著由Phantom 模型向宇宙學常數(shù)模型的轉變，直至最后其等效壓強密度比趨向于-1，此時正是宇宙學常數(shù)對應的狀態(tài)參數(shù)值.標度因子的二階導數(shù)產(chǎn)生的動力學效應使得暗物質在紅移小于原先位置時就轉變?yōu)榱酥刈游镔|，而暗能量的等效壓強密度比與修正之前的差別主要在于最高點處的數(shù)值和位置不同.

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