過程溫度傳感器的溫度動(dòng)態(tài)特性

Thomas Froehlich,張洪軍,Silke Augustin,呂丹妮

(1.德國伊爾梅瑙工業(yè)大學(xué) 過程測(cè)量和傳感器技術(shù)學(xué)院， 德國 伊爾梅瑙 98693;

過程溫度傳感器的溫度動(dòng)態(tài)特性

Thomas Froehlich1,張洪軍2,Silke Augustin1,呂丹妮2

(1.德國伊爾梅瑙工業(yè)大學(xué) 過程測(cè)量和傳感器技術(shù)學(xué)院， 德國 伊爾梅瑙 98693;

2.中國計(jì)量學(xué)院 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院,浙江 杭州 310018)

溫度傳感器的動(dòng)態(tài)特性對(duì)于伺服控制和安全上限等方面的應(yīng)用非常重要.對(duì)于不同工藝介質(zhì)和有限的測(cè)溫梯級(jí)情況下的溫度測(cè)試問題,測(cè)試程序、可靠的參數(shù)識(shí)別方法以及測(cè)量比較都是當(dāng)前研究的前沿.當(dāng)測(cè)量的溫度范圍很大時(shí),材料物性參數(shù)隨溫度的變化不能忽略,這種依隨性是非線性的,采用傳統(tǒng)模型來解決就會(huì)遇到困難.研究給出了材料物性變化最簡單情況下的非線性常微分方程模型,即物性參數(shù)隨溫度線性變化,并進(jìn)行分析求解;且針對(duì)一個(gè)簡單的圓柱體給出了解析解,對(duì)其進(jìn)行了討論并與有限元法數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比.

過程溫度;溫度傳感器;階躍響應(yīng);動(dòng)態(tài)溫度;內(nèi)燃機(jī)

過程溫度傳感器的動(dòng)態(tài)特性在伺服控制和安全上限等應(yīng)用中廣受關(guān)注[1-2].時(shí)間常數(shù)是用來描述和比較不同尺寸和形狀傳感器的主要特征量[3].線性常微分方程(ODEs),R-C模型或時(shí)間百分比常常用來定量描述過程溫度到傳感器信號(hào)的動(dòng)態(tài)熱傳遞過程.這些集總參數(shù)模型對(duì)于理解熱耦合和熱容等比分布式模型(如有限元分析)更加方便有用.另一方面,基于這種方法的實(shí)際控制回路設(shè)計(jì)也更簡單[4].

線性時(shí)不變系統(tǒng)(對(duì)應(yīng)線性常微分方程)的解析解廣為熟知,它對(duì)于階躍響應(yīng)是指數(shù)衰減,通常稱為T1特性.歸一化的階躍響應(yīng)和時(shí)間常數(shù)τ與輸入階躍幅值和方向無關(guān).

內(nèi)燃機(jī)(特別是汽車馬達(dá))工作過程中溫度變化范圍有1 000 K,其工作過程最優(yōu)控制和安全溫度極限的確定等方面對(duì)于動(dòng)態(tài)溫度測(cè)量需求越來越多.材料物性和熱耦合關(guān)系在整個(gè)溫度范圍內(nèi)不是恒定的(見第一部分),這使得信號(hào)動(dòng)態(tài)特性不再是線性.實(shí)驗(yàn)表明[5-6]歸一化階躍響應(yīng)和所輸入的溫度臺(tái)階幅值及符號(hào)有關(guān),大幅值溫度臺(tái)階的階躍響應(yīng)不再是指數(shù)式衰減,小振幅還是指數(shù)衰減,但時(shí)間常數(shù)與溫度有關(guān).

本文給出了一個(gè)有限元分析模型和一個(gè)簡單的分析模型,并針對(duì)不同尺寸和形狀的傳感器進(jìn)行了比較.

1 材料參數(shù)的溫度相關(guān)性

相關(guān)資料給出了Al2O3在很寬溫度范圍內(nèi)的熱容c和熱導(dǎo)率λ數(shù)據(jù).圖1為Al2O3熱容隨溫度的變化曲線[7-12],圖2為熱導(dǎo)率溫度關(guān)系曲線[3，7-9，11-12].不同參考文獻(xiàn)給出的熱容和熱導(dǎo)率數(shù)據(jù)不完全一致,但定性特征方面基本一致.本文采用加權(quán)平均和最小二乘多項(xiàng)式擬合方法對(duì)有限元分析結(jié)果在0 ℃和1 000 ℃范圍內(nèi)進(jìn)行處理,獲得了c和λ隨溫度變化的光滑曲線.我們發(fā)現(xiàn),對(duì)于熱容c,二階多項(xiàng)式擬合可以有很好結(jié)果,而熱導(dǎo)率λ需要采用三階多項(xiàng)式擬合,結(jié)果分別為:

c(T)=793.9221+1.360 3?-1.522 74×

10-3?2+6.257 35×10-7?3;

(1)

λ(T)=36.305 3-0.092 81?+1.075 99×

10-4?2-4.448 60×10-8?3.

(2)

式中:?—單位為℃,c—單位為J/(kgK),λ—單位為W/(m·K).

圖1 Al2O3熱容溫度關(guān)系曲線圖Figure 1 Heat capacity temperature dependency of Al2O3

圖2 Al2O3熱導(dǎo)率溫度關(guān)系曲線圖Figure 2 Thermal conductivity temperature dependency of Al2O3

兩個(gè)多項(xiàng)式都只能在0 ℃≤?≤1 000 ℃范圍內(nèi)使用,不能外推.熱膨脹及其溫度影響可以忽略.熱容和熱導(dǎo)率之比與溫度呈線性關(guān)系,如圖3所示.之所以給出這個(gè)比值,是因?yàn)槿绻橘|(zhì)耦合良好,給定幾何形狀和邊界條件時(shí),其值與時(shí)間常數(shù)τ成正比,因此,當(dāng)對(duì)流熱阻Rα→0,溫度常數(shù)從

圖3 Al2O3熱容與熱導(dǎo)率之比溫度曲線圖Figure 3 Temperature dependency of the ratio heat capacity by thermal conductivity of Al2O3

(3)

變?yōu)?/p>

(4)

2 有限元模型

假設(shè)圓柱體直徑2 mm,高10 mm,材質(zhì)為Al2O3.在0 ℃到1 000 ℃范圍內(nèi),Al2O3材料特性和溫度相關(guān).我們采用ANSYS程序(Mechanical APDL 14.5)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,用軸對(duì)稱單元對(duì)圓柱體進(jìn)行建模.根據(jù)公式(1)和公式(2)進(jìn)行計(jì)算,熱容c和熱導(dǎo)率λ數(shù)據(jù)制成表格,溫度從0 ℃到1 000 ℃,溫度間隔為50 K.材料密度ρ被假設(shè)成一個(gè)常數(shù),ρ=3 570 kg/m3.初始時(shí)刻t=0時(shí)為均勻溫度場(chǎng),圓柱左側(cè)底面溫度保持不變(圖4),我們進(jìn)行了瞬態(tài)溫度場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算.階躍響應(yīng)計(jì)算到200 s,時(shí)間步從10-8s增加到0.5 s.

圖4 有限元模型和經(jīng)典溫度梯度Figure 4 FEA Model and typical temperature gradient

有限元計(jì)算結(jié)果表明溫度動(dòng)態(tài)特性和階躍方向有關(guān)(圖5).溫度階躍為100 K的計(jì)算結(jié)果如圖6所示,各100 K階躍的63%響應(yīng)時(shí)間t63與溫度的關(guān)系見圖7,非常接近于線性.當(dāng)然,正是由于熱容與熱導(dǎo)率之比與溫度的線性關(guān)系導(dǎo)致了這一結(jié)果.

圖5 有限元模型下供熱制冷1 000 K時(shí)的階躍響應(yīng)Figure 5 Step responses for heating and cooling by 1 000 K calculated with FEA Model

圖6 有限元模型下Δ?=100 K時(shí)的階躍響應(yīng)Figure 6 Step responses for Δ?=100 K calculated with FEA Model

圖7 圖6中響應(yīng)時(shí)間t63與溫度關(guān)系曲線圖Figure 7 Temperature dependency of the reponse time t63 corresponding to figure 6

3 集總參數(shù)模型

采用集總參數(shù)的模型,材料物性不變情況下的常微分方程(ODE)眾所周知[13-14].對(duì)于初值問題

(5)

開始和結(jié)束的溫度分別為?0和?∞.這是個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng),對(duì)于?∞=0,

?(t)=?0e-kt.

(6)

對(duì)于?∞≠0,通過比例運(yùn)算和平移可得:

?(t)=?∞-(?∞-?0)e-kt.

(7)

式中:k和材料特性及幾何形狀有關(guān),是時(shí)間常數(shù)的倒數(shù),

(8)

當(dāng)材料物性不是常數(shù)時(shí),最簡單的例子是物性與溫度呈線性關(guān)系.此時(shí)k不再是常數(shù),是溫度的線性函數(shù),即

k(?)=k∞+k1?.

(9)

式中：k1—物性參數(shù)隨溫度線性變化的斜率,當(dāng)?∞=0時(shí),

(10)

k∞=k(?∞)=k(0),是過程結(jié)束時(shí)的值,即零溫度.我們假設(shè)k(?)在各個(gè)溫度下都是正數(shù),這與常微分方程穩(wěn)定非平凡解相符.把公式(9)帶入公式(5),?∞=0,則

(11)

這是個(gè)Riccati型微分方程,也是個(gè)簡單結(jié)構(gòu)的Bernoulli型方程,可以通過分離變量進(jìn)行求解:

(12)

通過積分和求冪得到

(13)

系數(shù)C根據(jù)?(0)=?0確定,求解?∞得到顯式表達(dá)式

(14)

(15)

很明顯,這不再是方程(6)的線性時(shí)不變系統(tǒng)的指數(shù)衰減系統(tǒng).當(dāng)K=(k0-k∞)/k∞的絕對(duì)值比較小時(shí),方程(15)中的分母接近于1,方程(15)退化到線性時(shí)不變系統(tǒng)的方程(6).K是從?(0)=?0到?∞=0整個(gè)溫度變化范圍內(nèi)材料物性參數(shù)的相對(duì)變化.由于k(?)任何溫度都是正的(k0和k∞也是正數(shù)),因此比值K在-1到無窮之間變化

-1K.

(16)

圖8 不同K值下的歸一化階躍響應(yīng),K=6.251 6和K=-0.862 1用方形符號(hào)表示Figure 8 Normalized step response for different K, square markers for K=6.251 6 and K=-0.862 1

我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)k(?)減小或增大,即K為正或負(fù)時(shí),階躍響應(yīng)特征不同.圖8給出了不同K值的階躍響應(yīng).可以看出數(shù)值較小時(shí),比如,K=±10%以內(nèi),偏離T1特性很小.比較重要的是,由于K的符號(hào)不同,系統(tǒng)的階躍響應(yīng)在溫度升高或下降時(shí)不一樣.

當(dāng)K為正時(shí),K越大時(shí),系統(tǒng)響應(yīng)越快.當(dāng)K接近-1時(shí),系統(tǒng)響應(yīng)很慢,響應(yīng)接近T2單元.對(duì)于有限元分析模型(圖5)中1 000 K階躍響應(yīng)的情況接近于K=6.251 6(溫度升高)和K=-0.862 1(溫度降低)的狀態(tài),這點(diǎn)在圖8中用方形符號(hào)的曲線表示出來.

4 討 論

τ(?)=τ0+τ1?.

(17)

這對(duì)Al2O3陶瓷圓柱體導(dǎo)熱問題更適用,其時(shí)間常數(shù)、熱容和熱導(dǎo)率之比在溫度0 ℃到1 000 ℃的范圍內(nèi)線性度非常好.存在的問題是,積分可以求出但是沒有顯式解,除非使用LambertW函數(shù),而且需要是高階函數(shù)k(?),即,當(dāng)k是?的多項(xiàng)式時(shí),可以求解積分.但是,我們沒有指出如何得到k與溫度線性相關(guān)情況下類似方程(15)的顯式解.

溫度階躍幅值很大和K的絕對(duì)值較大時(shí),階躍響應(yīng)不再是T1類型.溫度階躍幅值較小時(shí)可以認(rèn)為階躍響應(yīng)是T1類型,時(shí)間常數(shù)τ和實(shí)際溫度相關(guān)(圖6 100K溫度階躍的有限元模型解).當(dāng)|K|>0.1時(shí)溫度階躍比較大,對(duì)應(yīng)的時(shí)間常數(shù)τ變化大約10%.溫度響應(yīng)的非線性在伺服控制中非常重要,文獻(xiàn)[16]中對(duì)此進(jìn)行了詳細(xì)的描述.

當(dāng)然,從實(shí)驗(yàn)測(cè)量階躍響應(yīng)得到τ的常用方法只對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)T1類型階躍響應(yīng)有用.階躍幅值較小時(shí)這個(gè)方法可以采用,而對(duì)于大幅值階躍,在k(?)滿足方程(9)中的線性相關(guān)情況下,τ和K必須通過測(cè)量數(shù)據(jù)分析得到.對(duì)于任意一個(gè)k(?),是否可以通過單一大幅值溫度階躍響應(yīng)來識(shí)別,而不是在不同溫度下一系列小階躍來識(shí)別,這個(gè)問題目前還沒有解決,需要進(jìn)行進(jìn)一步的研究.

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Temperature-dependent dynamic behaviour of process temperature sensors

Thomas Froehlich1, ZHANG Hongjun2, Silke Augustin1, LYU Danni2

(1.Institute for Process Measurement and Sensor Technology, Ilmenau University of Technology, Ilmenau 98693, Germany; 2.College of Metrology and Measurement Engineering, China Jiliang University, Hangzhou 310018, China)

A good knowledge of the dynamic behaviour of process temperature sensors is very important in many applications for servo-control or safety limits. Test procedures, reliable parameter identification methods and comparison measures are state of the art for different process media and for limited temperature steps. For larger temperature ranges the temperature dependency of the material parameters is no longer negligible, causing a nonlinearity that makes classical model conception difficult. We give a nonlinear ordinary differential equation model for the simplest case of non-constant material properties, i.e. the linear dependency of the parameter over the temperature, and solve it analytically. We explain the given analytical solution, discuss the results and compare them to a finite element method model of a simple cylinder.

process temperature; temperature sensors; step response; dynamic temperature; combustion engine

1004-1540(2015)01-0007-05

10.3969/j.issn.1004-1540.2015.01.002

2015-01-08 《中國計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào)》網(wǎng)址：zgjl.cbpt.cnki.net

Thomas Froehlich教授,Ilmenau工業(yè)大學(xué)過程測(cè)量與傳感技術(shù)研究所所長,主要研究方向?yàn)榫軠y(cè)試技術(shù).E-mail:thomas.froehlich@tu-ilmenau.de 通訊聯(lián)系人：張洪軍,男,教授.E-mail:zhanghongjun@cjlu.edu.cn

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