周俊東，宋衛(wèi)東，徐傳友

（1.阜陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽阜陽(yáng)236037；2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230026；3.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖241000）

四元數(shù)射影空間中的全實(shí)偽臍子流形

周俊東1，2，宋衛(wèi)東3，徐傳友1

（1.阜陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽阜陽(yáng)236037；2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230026；3.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖241000）

研究了四元數(shù)射影空間中的全實(shí)偽臍子流形的剛性，運(yùn)用活動(dòng)標(biāo)架法和S.T.Yau廣義極值原理，得到了關(guān)于第二基本形式模長(zhǎng)平方、截面曲率的剛性定理，推廣了已有理論的相關(guān)結(jié)果.

四元數(shù)射影空間；偽臍子流形；截面曲率

0 引言

具有常四元數(shù)截面曲率c的四元數(shù)黎曼流形被稱為四元數(shù)空間形式.若c＞0，我們稱之為四元數(shù)射影空間，記為QP（c）.設(shè)Mn是等距浸入在四元數(shù)射影空間QP（c）中的子流形，若Mn上每個(gè)2－維切空間被映射成QP（c）中的全實(shí)平面，則稱Mn是全實(shí)子流形.四元數(shù)射影空間中全實(shí)子流形的研究是個(gè)熱門課題，一直被許多學(xué)者所關(guān)注.文獻(xiàn)［1］研究了QPm（c）中緊致全實(shí)極小子流形，獲得關(guān)于數(shù)量曲率和截面曲率的一些剛性定理.文獻(xiàn)［2］得到了一些剛性定理，并改進(jìn)了文獻(xiàn)［1］中的一些結(jié)果.文獻(xiàn)［3］繼續(xù)研究了QPn（c）中緊致全實(shí)極小子流形，進(jìn)一步改進(jìn)了文獻(xiàn)［2］中的一些結(jié)果.文獻(xiàn)［4］研究了QPn（c）中完備全實(shí)極小子流形，得到一個(gè)剛性定理.偽臍子流形是極小子流形的推廣，文獻(xiàn)［5－6］研究了QPn（c）中緊致全實(shí)偽臍子流形，給出一些關(guān)于截面曲率和Ricci曲率的Pinching定理.文獻(xiàn)［7］獲得了QPm（c）中全實(shí)子流形Ricci曲率的上確界.

以上發(fā)表的論文主要研究了4n維四元數(shù)射影空間QPn（c）中的全實(shí)子流形，而本文研究了4（n＋p）維的四元數(shù)射影空間QPn＋p（c）中的全實(shí)偽臍子流形，外圍空間維數(shù)增加了，這對(duì)計(jì)算子流形第二基本形式模長(zhǎng)平方的Laplacian算子增加了一定困難.我們通過(guò)使用活動(dòng)標(biāo)架法，利用文獻(xiàn)［8］的廣義極值原理以及文獻(xiàn)［9－10］不等式等，得到一些剛性定理，推廣了文獻(xiàn)［3－4］中相關(guān)的結(jié)果.

1 基本概念和公式

四元數(shù)射影空間QPn＋p（c）具有近四元數(shù)結(jié)構(gòu)｛I，J，K｝，滿足IJ＝－JI＝K，JK＝－KJ＝I，KI＝－IK＝J，I2＝J2＝K2＝－Id.設(shè)Mn是QPn＋p（c）中的n維全實(shí)子流形，則對(duì)每一點(diǎn)p∈Mn處，切空間TpM垂直于I（TpM），J（TpM），K（TpM）.我們?cè)赒Pn＋p（c）中選取標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架場(chǎng)：

當(dāng)標(biāo)架場(chǎng)限制在Mn上時(shí)，e1，…，en是Mn上切向量場(chǎng).本文采用下面的指標(biāo)約定：設(shè)ωA和ωAB是QPn＋p（c）上的對(duì)偶標(biāo)架場(chǎng)和聯(lián)絡(luò)形式，QPn＋p（c）的結(jié)構(gòu)方程為：QPn＋p（c）的結(jié)構(gòu)方程限制在Mn上，則有（參見(jiàn)文獻(xiàn)［1］）：

其中：Rijkl，Rαβkl是Mn的曲率張量和法曲率張量（c）的曲率張量.記Mn的第二基本形式h＝，平均曲率向量，平均曲率H＝‖ξ‖.Mn的第二基本形式的模長(zhǎng)平方為.局部對(duì)稱流形中子流形關(guān)于S的Laplacian計(jì)算（參見(jiàn)文獻(xiàn)［1，6，11］），有以下公式成立：

設(shè)TMn，T⊥Mn分別為Mn的切空間和法空間，記V＝φ（TMn），顯然V是T⊥Mn中的3n維的子空間，可選取為V的基向量場(chǎng).以V⊥表示T⊥Mn中V的正交補(bǔ)空間，選取為V⊥的基向量場(chǎng).

引理1.1 設(shè)Mn是QPn＋p（c）中全實(shí)偽臍子流形，若Mn的平均曲率向量ξ是平行的，則ξ完全位于V⊥，即ξ∈C∞（V⊥）.

證明設(shè)ξ＝ξ1＋ξ2，其中ξ1∈C∞（V），ξ2∈C∞（V⊥），在QPn＋p（c）上選取規(guī)范正交標(biāo)架場(chǎng)，使ξ1＝由于Mn是偽臍的，可得

此式等價(jià)為

由ξ是平行的，即

由此式可得

對(duì)（1.7）式外微分，并把（1.5）和（1.6）式代入可得：

引理1.2［12］設(shè)A1，A2，…，Am（m≥2）為對(duì)稱（n×n）矩陣.則

引理1.3［8］設(shè)M是一個(gè)完備黎曼流形，若M的Ricci曲率有下界，那么對(duì)于任何有上界的函數(shù)f∈C2（M），?ε＞0，總存在一點(diǎn)p∈M使得函數(shù)f滿足

supf＜f（p）＋ε，｜gradf（p）｜＜ε，▽f（p）＜ε.

引理1.4［9－10］設(shè)B1，…，Bm是對(duì)稱（n×n）矩陣，則

2 主要定理及證明

定理2.1 設(shè)Mn是QPn＋p（c）中緊致全實(shí)偽臍子流形，若平均曲率ξ∈C∞（V⊥），

則Mn是全臍的或者M(jìn)n具有常平均曲率和常數(shù)量曲率.

證明由于φ（ξ）總是法于Mn，不失一般性，可以選取en＋1＝ξ／H.又由于Mn是偽臍的，所以

由（1.1）和（2.1）式可以推出

由于Mn是偽臍的，從引理1.2可得

在（1.4）式中，令a＝－1，并將（2.2）—（2.8）式代入計(jì)算可得

定理2.2 設(shè)Mn是QPn＋p（c）中完備全實(shí)偽臍子流形，若Mn具有平行平均曲率向量，則Mn是全臍的或者M(jìn)n的數(shù)量曲率

證明由于Mn具有平行平均曲率向量，根據(jù)引理2.1可得χ∈C∞（V⊥）.令τ＝S－nH2，由（2.9）式可得

因?yàn)槠骄氏蛄喀问瞧叫械?，所以平均曲率H是常數(shù).根據(jù)（1.2）式和偽臍條件計(jì)算Ricci曲率

即Ricci曲率有下界.固定任一正常數(shù)a＞0，對(duì)于Mn上具有上界的光滑函數(shù)由引理1.3得出：?ε＞0，總存在一點(diǎn)p∈M使得函數(shù)F滿足▽

另一方面，我們有

即在以上所提到的p點(diǎn)處有

現(xiàn)在令ε→0，由（2.10）和（2.11）式得出

所以supτ＝0，Mn是全臍的.

注文獻(xiàn)［4］討論了QPn（c）中完備全實(shí)極小子流形，本文把外圍空間設(shè)為QPn＋p（c），討論了完備全實(shí)偽臍子流形，得到類似結(jié)論，在一定意義上推廣了文獻(xiàn)［4］的結(jié)果.

定理2.3 設(shè)Mn是QPn＋p（c）中緊致全實(shí)偽臍子流形，若ξ∈C∞（V⊥）且Mn的截面曲率

則Mn是全臍的.

證明由Mn是偽臍的條件和引理1.4得出

因?yàn)椋╰r（HαHβ））是對(duì)稱的（3n＋4p）×（3n＋4p）的矩陣，我們選擇合適的法向量場(chǎng)，使得tr（HαHβ）＝trH2αδαβ，所以有

設(shè)RM為Mn的截面曲率的下界，則

當(dāng)0≤a＜1時(shí)，把（2.1）—（2.7），（2.12）—（2.14）式代入（1.4）式計(jì)算得出

［1］ CHEN B Y，HOUH C S.Totally real submanifolds in a quaternion projective space［J］.Annali di Matematica puraed Applicata，1979，120（1）：185－199.

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Totally real pseudo－umbilical submanifolds in a quaternion projective space

ZHOU Jun－dong1，2，SONG Wei－dong3，XU Chuan－you1

（1.School of Mathematics and Statistics，F(xiàn)uyang Normal College，F(xiàn)uyang 236037，China；2.School of Mathematical Sciences，University of Science and Technology of China，Hefei 230026，China；3.School of Mathematics and Computer Science，Anhui Normal University，Wuhu 241000，China）

In this paper，the authors study totally real pseudo－umbilical submanifolds in a quaternion projective space.By using the moving－frame method and the Yau’s maximum principle，some rigidity theorems on the sectional curvature and the squared length of the second fundamental form are obtained，which generalize some results in the relevant literatures.

quaternion projective space；pseudo－umbilical submanifolds；sectional curvature

O 186.1 ［學(xué)科代碼］ 110·2745 ［

］ A

（責(zé)任編輯：陶理）

1000－1832（2015）01－0031－06

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.007

2013－10－09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11101352）；安徽省教育廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（KJ2013Z263；KJ2014A196）；國(guó)家特

色專業(yè)教研項(xiàng)目（TS11496）；阜陽(yáng)師范學(xué)院科研項(xiàng)目（2014FSKJ12）.

周俊東（1983—），男，講師，主要從事微分幾何研究；宋衛(wèi)東（1958—），男，教授，主要從事微分幾何研究.