黃金超，楊穎穎，凌能祥

（1.滁州職業(yè)技術學院基礎部，安徽滁州239000；2.合肥工業(yè)大學數學學院，安徽合肥230009）

威布爾分布族參數的經驗Bayes雙側檢驗

黃金超1，楊穎穎1，凌能祥2

（1.滁州職業(yè)技術學院基礎部，安徽滁州239000；2.合肥工業(yè)大學數學學院，安徽合肥230009）

在加權平方損失函數下，討論了Weibull分布族刻度參數的EB雙側檢驗.利用概率密度函數的遞歸核估計，構造了刻度參數的EB檢驗，證明其漸近最優(yōu)，并且獲得了收斂速度，給出主要結果的例子.

密度函數的遞歸核估計；經驗Bayes檢驗；漸近最優(yōu)性；收斂速度；雙側檢驗

1 預備知識

EB檢驗在已有文獻中討論得很多，如文獻［1－4］分別對于EB檢驗做了不同程度的工作.文獻［5］在“線性損失”下研究了刻度指數族參數的經驗Bayes檢驗問題.文獻［6］利用函數的單調性研究了刻度指數族參數的經驗Bayes單側檢驗問題，改進了EB檢驗的收斂速度.文獻［7］討論了線性指數分布族參數的經驗Bayes檢驗問題.文獻［8］討論了Weibull分布族單側的EB檢驗.以上的文獻都用通常的核估計構造EB檢驗.而本文將采用遞歸核估計方法，在加權平方損失函數下，討論Weibull分布族刻度參數的EB雙側檢驗，推廣了文獻［8］的相應結果.

設隨機變量X條件概率密度［8］為

假設m＞0且為已知，θ為刻度參數，m為形狀參數，χ＝｛x｜x＞0｝，參數空間為Ω＝｛θ｜θ＞0｝.利用密度函數的遞歸核估計來研究該分布參數的EB雙側檢驗，據我們所知，目前文獻中還未曾有過，因此討論Weibull分布族刻度參數EB雙側檢驗是非常有意義的.

設參數θ的先驗分布為G（θ）且0＜θ1＜θ2，討論（1.1）式中參數θ的如下EB雙側檢驗：

此處θ1和θ2為已知正常數，如果取，則雙側檢驗問題（1.2）等價于

對假設檢驗問題（1.3），取“加權平方損失”函數

之所以取“加權平方損失”函數是考慮到它對刻度參數更為合理，易于構造其EB檢驗函數，此處是正常數；j＝0，1；D＝｛d0，d1｝是行動空間；d0表示接受H＊0；d1表示否定H＊0；I［A］表示集合A的示性函數.

設

為隨機化判決函數，則在先驗分布G（θ）下δ（x）的Bayes風險函數為

其中：

為隨機變量X的邊緣分布，故由（1.8）式經計算可得

f（1）（x），f（2）（x）分別表示f（x）的一階、二階導數，且2

由（1.6）式易知Bayes判決函數為

其Bayes風險為

對于以上Bayes風險，已知G（θ）且δ（x）＝δG（x）能夠達到，由于G（θ）未知，所以δG（x）是未知的，無法使用，故引入EB方法.

2 EB檢驗函數的構造

設X1，X2，…，Xn和X是iid（獨立同分布）樣本，且有共同的邊緣分布.如（1.9）式所示.設X1，X2，…，Xn為歷史樣本，X為當前樣本，令f（x）為X1的概率密度函數，對iid樣本作以下假設：

（A）f（x）∈Cs，α，設Cs，α表示（0，∞）非負連續(xù)函數類，具有s階導數且｜f（x）｜≤α，s＞4，s∈N＊.

（B）設Kr（x）（r＝0，1，…，s－1）為有界可測的Borel函數，在（0，1）之外為0，滿足：

（B2）Kr（x）在R1上除有限點集E0外是可微的

記f（0）（x）＝f（x），f（r）（x）表示f（x）的第r階導數，r＝0，1，…，s.類似文獻［9－10］定義密度函數f（r）（x）的遞歸核估計

其中｛hn｝為正數遞減序列，且是滿足條件（B）的核函數，這種估計具有一種遞歸性質，即

由以上遞推關系可知，用遞歸核估計去估計f（r）（x）時，只需要遞歸計算，若利用普通的核估計需要重新計算所有項，所以這種方法可以大大減少計算量，提高估計的效率.

由（1.10）和（2.1）式定義α（x）的估計量

故EB檢驗函數定義為

本文令En表示對隨機變量X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布求均值，則δn（x）的全面Bayes風險為

假定c，c0，c1，c2，…是與n無關的正常數.

引理2.1 設（x）由（2.1）式定義，其中X1，X2，…，Xn為獨立同分布（iid）樣本序列，若條件（A）和（B）成立，且（x）連續(xù)，s≥5，s∈N＊，r＝0，1，2，?x∈χ.

（2）當hn＝n－12（s－2）時，對0＜λ≤1，則有

證明先證結論（1）.由Cr不等式可知，對r＝0，1，2有

由遞歸函數的核估計和核函數的性質可知n

再由Taylor展開可得

將（2.7）式代入（2.6）式可得

由f（x）∈Cs，α，及｜Kr（t）｜≤C，可得

再由f（x）∈Cs，α，｜Kr（t）｜≤M，hn單調遞減可知

將（2.11）式和（2.12）式代入（2.5）式，結論（1）成立.

下面證明結論（2）.由Cr不等式可知，

由（2.9）式可得

故有

由（2.10）式取hn＝n－12（s－2）時，有

將（2.14）式和（2.15）式代入（2.13）式，結論（2）成立.注2.1 當λ→1，s→∞時可任意接近O（n－1）.

引理2.2 令R（G）和Rn分別由（1.12）和（2.4）式給出，則

證明可見文獻［1］的引理1.

3 EB檢驗函數的大樣本性質

定理3.1 設δn（x）由（2.3）式給出，其中X1，X2，…，Xn為iid樣本序列.假定條件（A）和（B）成立，s≥5，s∈N＊，r＝0，1，2.若：

（1）｛hn｝為正數遞減序列

（3）f（r）（x）為x的連續(xù)函數.

證明由引理2.2可知

記Bn（x）＝｜α（x）｜P（｜αn（x）－α（x）｜≥｜α（x）｜），顯見Bn（x）≤｜α（x）｜.

由（1.8）式和Fubini定理得

由控制收斂定理，可知

再由引理2.1（1）可知，對x∈χ，當r＝0，1，2時，

將（3.3）式代入（3.2）式，定理得證.

定理3.2 設δn（x）由（2.3）式定義，其中X1，X2，…，Xn為iid樣本，且假定（A）和（B）成立.若0＜λ＜1，有

證明由引理2.2及Markov不等式得

由引理2.1（2）的條件可知：χ

將（3.5）—（3.7）式代入（3.4）式，定理得證.

注3.1 當λ→1，s→∞時可任意接近

4 例子

在（1.1）式中，令m＝1，則

取θ的先驗分布為

a與b為已知常數且a＞0，b＞0，故有

因此

故：

（?。┯桑?.2）式可知f（x）為x任意階可導函數，導函數連續(xù)，一致有界，即f（x）∈Cs，α.

由于，a＞0，b＞0，這一積分為第1類廣義積分，當（b＋1）（1－λ）＞1時，即（ⅲ）式收斂.

由（?。?，（ⅱ）和（ⅲ）知，定理3.1與定理3.2的條件都滿足，故結論成立.

［1］ JOHNS MV JR VAN RYZIN J.Convergence rates in empirical bayes two－action problems 2：continuous case［J］.Ann Math Statisrt，1972，42：937－947.

［2］ VAN HOUWELINGEN J C.Monotone empirical Bayes test for the continuous one－parameter exponential family［J］.Ann Statist，1976（4）：981－989.

［3］ LIANG TACHEN.On empirical Bayes tests in a positive exponential family［J］.Journal of Statistical Planning and Inference，2002（3）：169－181.

［4］ LIANG TACHEN.On optimal convergence rate of empirical Bayes tests［J］.Statistics ＆Probability Letters，2004，68：189－198.

［5］ 韋來生.刻度指數族參數的經驗Bayes檢驗問題NA樣本情形［J］.應用數學學報，2000，23（3）：403－412.

［6］ 周雁，韋來生.刻度指數族參數的經驗Bayes檢驗函數收斂速度的改進［J］.高校應用數學學報，2008，23（2）：219－226.

［7］ 陳家清，劉次華.線性指數分布族參數的經驗Bayes檢驗問題［J］.系統(tǒng)科學與數學，2008，28（5）：616－626.

［8］ 黃金超，凌能祥.威布爾分布族參數的經驗Bayes檢驗［J］.合肥工業(yè)大學學報：自然科學版，2012，35（6）：860－864.

［9］ 樊家琨.概率密度函數及其導數遞歸核估計的強相合性［J］.河南大學學報：自然科學版，1992，22（2）：67－71.

［10］ 彭家龍，袁瑩.一類連續(xù)型單參數指數族參數的經驗Bayes檢驗問題［J］.高校應用數學學報，2012，27（4）：415－424.

Empirical Bayes two－sided test for the parameter of Weibull distribution families

HUANG Jin－chao1，YANG Ying－ying1，LING Neng－xiang2

（1.Basic Course Department，Chuzhou Vocational Technology College，Chuzhou 239000，China；2.School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

the Empirical Bayes（EB）two－sided test of scale parameter for Weibull distribution families was discussed and under weighted square loss function，at first，By using recursive kernel－type density estimation.The Empirical Bayes two－sided test rules are constructed.The asymptotically optional property and convergence rates for the proposed EB test rules are obtained.Finally an example about the main results of this paper is given.

the recursive kernel estimation of density function；the Empirical Bayes test；asymptotically optimality；convergence rates；two－sided test

O 212.1 ［學科代碼］ 110·67 ［

］ A

（責任編輯：陶理）

1000－1832（2015）01－0037－06

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.008

2013－08－24

安徽省高校自然科學基金資助項目（KJ2013Z252）；國家統(tǒng)計局統(tǒng)計科學研究計劃項目（2012LY080）.

黃金超（1974—），男，碩士研究生，副教授，主要從事應用統(tǒng)計與風險決策研究.