具有自適應(yīng)可調(diào)誤差半徑的魯棒波束賦形算法

張 濤 孫利國

（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)電子工程與信息科學(xué)技術(shù)系，安徽合肥230027）

具有自適應(yīng)可調(diào)誤差半徑的魯棒波束賦形算法

張 濤 孫利國

（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)電子工程與信息科學(xué)技術(shù)系，安徽合肥230027）

傳統(tǒng)的自適應(yīng)波束形成器對各類型的陣列誤差較為敏感尤其是在較大的波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA）誤差存在的情況下，陣列的輸出信干噪比嚴(yán)重下降.為了解決這個問題，文中提出了一種新的具有自適應(yīng)可調(diào)誤差半徑的魯棒波束形成器.每一步迭代都是以經(jīng)典的魯棒Capon波束形成器為基礎(chǔ)，且使用的誤差不確定度都是依據(jù)子空間投影定理推導(dǎo)出的一個二次約束二次規(guī)劃問題的最優(yōu)解.由于估計出的導(dǎo)向矢量不確定度均小于傳統(tǒng)自適應(yīng)波束形成器中使用的誤差量，因此，陣列的輸出性能得以提高.此外，為了能夠擴(kuò)展算法的適用性，引入了可變橢圓不確定集來同時處理多重誤差因素.最終的實驗結(jié)果證明了算法的正確性和有效性.

自適應(yīng)波束形成器；信干噪比；魯棒Capon波束形成器

引 言

自適應(yīng)波束成形在雷達(dá)、聲納、生物醫(yī)學(xué)、射電天文以及無線通信［1－2，23］等領(lǐng)域發(fā)揮了越來越重要的作用.它的主要目的是自適應(yīng)地將陣列天線的最大輻射方向調(diào)整到期望信號的方位上，同時在干擾方向上形成零陷，能夠較好地抑制噪聲.在傳統(tǒng)的自適應(yīng)波束形成器的設(shè)計中，關(guān)于陣列導(dǎo)向矢量的精確先驗信息是必不可少的.例如，經(jīng)典的最小無畸變方差波束形成器（Minimum Variance Distortionless Response，MVDR）.通過在期望的目標(biāo)方位設(shè)置無失真響應(yīng)約束來使得陣列的輸出信干噪比最大化.可是當(dāng)目標(biāo)的方位估計與實際的情況存在誤差時，陣列的性能遭遇了嚴(yán)重的下降.然而，實際中的陣列存在著多種可能的誤差，例如，信號的多徑效應(yīng)、陣元間的電磁互耦、陣元位置誤差、收發(fā)模塊中有源器件造成的幅相誤差等.這些誤差因素都會導(dǎo)致目標(biāo)方位的估計與實際的情況間出現(xiàn)失配［3－6］.此時對期望信號波達(dá)方向的估計可能并不是一個精確的點，而是分布在一個不確定區(qū)間內(nèi).為了處理這類問題，魯棒自適應(yīng)波束賦形應(yīng)運而生［7－18］.這些方法可以分為線性約束法和非線性約束法.

線性約束魯棒波束形成器［6－8］通過在觀察方向不確定區(qū)間內(nèi)設(shè)置一系列無失真響應(yīng)約束，使得陣列響應(yīng)在該不確定區(qū)間內(nèi)均勻一致，以此展寬波束方向圖的主瓣，使其完全覆蓋不確定區(qū)間.但是這類方法因為波束的展寬，帶來了陣列分辨率下降以及主瓣響應(yīng)起伏的問題.另一方面，以魯棒Capon波束形成器［14－15］（Robust Capon Beamformer，RCB）為代表的二次約束法（非線性約束法）使用了關(guān)于陣列導(dǎo)向矢量的球形不確定集來描述陣列誤差引起的導(dǎo)向矢量失配.其中該球形域的中心向量為假定的信號導(dǎo)向矢量，半徑為誤差向量的范數(shù).一般都假設(shè)誤差半徑的上界是已知的［14］.在另外的工作中，又在RCB方法的基礎(chǔ)上引入了一個額外的關(guān)于導(dǎo)向矢量范數(shù)的等式約束，即所謂的雙約束魯棒Capon波束形成器（Doubly Constrainted RCB，DCRCB）［16］.相關(guān)的研究已經(jīng)表明，RCB與DCRCB均屬于對角加載類方法（Loaded Sample Matrix Inverse，LSMI）［12］，傳統(tǒng)的對角加載法中的加載量是算法設(shè)計者自己主觀決定的，并不能保證加載量是最優(yōu)的.而在RCB和DCRCB方法中，加載因子是由當(dāng)前的導(dǎo)向矢量誤差量等因素唯一確定的.但是實際條件下，無論是誤差向量本身，還是誤差半徑都是很難事先獲取的.所以，精確地估計誤差半徑的大小顯得尤為重要.如果最終估計的結(jié)果小于實際的誤差量，則算法收斂不到期望信號方向.如果大于實際的量，又會導(dǎo)致陣列輸出信干噪比下降.因此，S.E.Nai等人提出了一種通過迭代的方式搜索期望信號導(dǎo)向矢量的算法（Iterative RCB with Fixed Uncertainty Level，F(xiàn)U-IRCB）［19］.每一次迭代均以經(jīng)典的RCB方法為基礎(chǔ)，每一步使用一個相同的且相對較小的不確定度.由此保證了陣列的輸出特性.但是以上的諸類方法中，依然無法確定所采用的不確定度是否為最優(yōu)的.

為了獲得最優(yōu)的導(dǎo)向矢量失配度，同時保證陣列的輸出特性.本文研究了一類以RCB波束形成器為基礎(chǔ)的新的迭代處理法.不同于上述迭代處理法，在這個方法中，每一步迭代使用的誤差半徑不是固定的，而是自適應(yīng)可調(diào)的（Iterative RCB with Adaptive Uncertainty Level，AR-RCB）.此方法的關(guān)鍵是對當(dāng)前假定的導(dǎo)向矢量與實際的導(dǎo)向矢量之間誤差量的估計.依據(jù)子空間分解理論，可以通過對采樣數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣做本征值分解得到兩個相互正交的子空間，信號干擾子空間（SIS）和噪聲子空間（NS）.對于實際信號的導(dǎo)向矢量，它完全處于信號干擾子空間之中，且位于信號干擾子空間的投影向量范數(shù)的平方等于陣元數(shù).利用這樣的一個約束條件，可以構(gòu)造出一個二次約束二次規(guī)劃的優(yōu)化方程［21］來估計當(dāng)前導(dǎo)向矢量的失配程度.通過研究發(fā)現(xiàn)，每一步估計出的誤差量與當(dāng)前假定導(dǎo)向矢量與實際導(dǎo)向矢量之間的失配量是成正比的，因此，在迭代起始階段估計出的失配量大于之后步驟中估計出的失配度，隨著迭代的進(jìn)行逐漸減小.每一步中使用的不確定度均小于RCB和DCRCB中使用的誤差量，使陣列的輸出性能得以保全.對于多重誤差同時出現(xiàn)的情形［20－21］，在本文中也進(jìn)行了討論.在原有的迭代處理算法的基礎(chǔ)上，利用新的誤差橢球估計技術(shù)研究了迭代橢球不確定集處理法.在仿真中，DOA估計誤差與陣元位置誤差被同時考慮進(jìn)誤差模型.最終的實驗證明了所提出算法的有效性.

1 問題描述

假設(shè)陣列由M個各向同性的陣元組成，有K個信號入射到陣列上（其中包含一個期望信號和K－1個干擾信號）.在t時刻陣列的輸出數(shù)據(jù)可以表示為

式中：w∈CM×1為陣列的加權(quán)因

子；（·）H為厄米特轉(zhuǎn)置；x（t）∈CM×1為陣列的接收數(shù)據(jù)，它由三部分組成

式中xs（t）、xi（t）、n（t）分別對應(yīng)期望信號、干擾、噪聲分量.不失一般性，假設(shè)所有的信號，干擾與噪聲分量彼此之間是統(tǒng)計獨立的.陣列的輸出信干噪比為

式中：Rin＝CM×M是指干擾噪聲協(xié)方差矩陣；δ1對應(yīng)期望信號的功率；a1為期望信號的導(dǎo)向矢量.

實際情況下Rin是很難得到的，一般都使用采樣數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣替代它

N對應(yīng)采樣數(shù)據(jù)樣本數(shù).通過在期望信號方向上設(shè)置無失真響應(yīng)約束最大化陣列輸出信干噪比來獲得最優(yōu)的加權(quán)向量，對應(yīng)的優(yōu)化方程為

式（6）為經(jīng)典的MVDR波束形成器，式（6）的最優(yōu)解為wopt＝β＾R－1a1，其中參數(shù)β＝（aH1＾R－1a1）－1是一個常數(shù)，它對整個陣列的輸出性能是沒有影響的.將wopt帶入式（3）中，可以得到信號與干擾加噪聲比（Signal to Interference plas Noise Ratio，SINR）的最大值

1.1 RCB方法

MVDR波束形成器對信號導(dǎo)向矢量的精確度十分敏感，如果假定的導(dǎo)向矢量和實際的導(dǎo)向矢量之間存在一定的誤差，陣列輸出性能會急劇下降.所以MVDR不能夠提供足夠的魯棒性對抗各類型誤差因素引起的導(dǎo)向矢量失配.在RCB方法中，引入了一個描述導(dǎo)向矢量失配的球形不確定集｛a，‖a－ˉa‖2≤ε｝，其中ˉa是假定的期望信號導(dǎo)向矢量，ε是誤差量的上界.很顯然，當(dāng)ε＝0時，RCB問題退化為MVDR問題.

利用拉格朗日乘子法可以求得式（8）的最優(yōu)解

其中拉格朗日因子λ由下式?jīng)Q定

當(dāng)不確定集為橢球集時，相應(yīng)的RCB問題為

式中：P是一個M×L（L＜M）的矩陣；u是一個L ×1的向量.設(shè)，利用拉格朗日乘子法可以求得＾u＝－，相應(yīng)的拉格朗日因子可以由下式求得

最終得到的最優(yōu)導(dǎo)向矢量為~a＝ˉa＋P＾u.

1.2 子空間投影定理

式中：Es＝［u1，…，uK］；En＝［uK＋1，…，uM］.矩陣Λs的對角線元素為K個較大的特征值；矩陣Λn的對角線元素為M－K個較小的特征值.依據(jù)子空間分解定理，信號干擾子空間由Es的列向量張成，噪聲子空間由En的列向量張成.定義a1／Es與a1／En分別為a1在信號干擾子空間和噪聲子空間的投影向量，而a1為二者的疊加a1＝a1／Es＋a1／En.因為兩個分量之間相互正交，所以滿足‖a1‖2＝‖a1／Es‖2＋

式中ci（1≤i≤K）是實常數(shù).此外，基于u1≤i≤K與uK＋1≤i≤M之間的正交性，可以得到

這個結(jié)論可以被用來估計當(dāng)前導(dǎo)向矢量的失配度，下節(jié)中將會詳細(xì)討論.

2 可變誤差半徑處理法

2.1 失配量的估計

定義失配向量為e＝a－ˉa，利用導(dǎo)向矢量在信號干擾子空間的投影特性可以估計誤差量的最小值‖e‖2min.利用上一章討論的子空間分解定理，對誤差向量做分解

又因為實際的期望信號導(dǎo)向矢量在噪聲子空間的投影為零向量，所以式（16）可以改寫為

得到如下的導(dǎo)向矢量不確定度估計方程

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

式中λ為朗格朗日因子.對g（as，λ）關(guān)于as求偏導(dǎo)數(shù)，并設(shè)，整理得到

將式（21）帶入到式（18），得到拉格朗日因子

整理得到相應(yīng)的誤差矢量和最小失配度的估計

估計出的ε0為a與ˉa之間的最小失配度［24］，與實際的最優(yōu)值之間依然存在著一定的誤差Δε，并且滿足εopt≥ε0，εopt＝ε0＋Δε.為了修正這個誤差，有必要以此為基礎(chǔ)繼續(xù)進(jìn)行估計.最終，經(jīng)過多次估計和反復(fù)迭代收斂到期望信號導(dǎo)向矢量.J.P.Lie等提出了另一種迭代RCB方法［22］，只是在估計不確定度時，假設(shè)期望信號的導(dǎo)向矢量在信號干擾子空間中的投影與真實的信號導(dǎo)向矢量共線.但是這個假設(shè)只是一種特例，并不具備一定的普適性.而本文提出的方法是基于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)優(yōu)化分析得到的.

2.2 可變誤差半徑迭代魯棒波束賦形

根據(jù)之前得到的關(guān)于誤差量的閉式解和相關(guān)的討論，當(dāng)Δε≠0或者較大時，需要進(jìn)一步地對誤差量進(jìn)行再估計.因此，使用該方法發(fā)展了現(xiàn)有的迭代魯棒波束賦形算法.這里需要特別注意的是，在迭代處理算法當(dāng)中，每次迭代中估計出的導(dǎo)向矢量是在逐步地逼近期望信號導(dǎo)向矢量.所以，當(dāng)前迭代中使用的誤差量必然大于之后迭代中估計出的誤差量.也就是說誤差半徑在逐步減小.

定義εig為第i次迭代中使用的不確定度.綜合以上的分析，可以發(fā)現(xiàn)與當(dāng)前的誤差水平是保持一致的，并且隨著迭代的進(jìn)行逐步地減小.每一步迭代結(jié)束后，為了防止定標(biāo)誤差的出現(xiàn)，還需要對估計出的導(dǎo)向矢量做歸一化處理將歸一化之后的＾ai作為第i＋1步迭代中使用的參考矢量.以此類推，整個迭代過程以這樣的方式進(jìn)行下去，直到滿足如下的收斂條件

當(dāng)收斂到實際的導(dǎo)向矢量時，εi趨近于零.在算法設(shè)

g計當(dāng)中，ζ應(yīng)該選取為一個較小的值.對于第i≥2步其中＾ai－1是上一步迭代當(dāng)中計算所得的導(dǎo)向矢量.圖1勾勒出了算法的收斂過程.設(shè)假定的期望信號DOA為ˉθ0，而實際的觀察方向處于不確定區(qū)間［ˉθ0－Δθ／2 ˉθ0＋Δθ／2］內(nèi).兩個邊界向量αsup和ainf分別對應(yīng)方位ˉθ0－Δθ／2和ˉθ0＋Δθ／2，它們在誤差情況下與中心向量a（ˉθ0）是不重合的.參數(shù)ε0為RCB方法中使用的不確定度，明顯比本文的方法中使用的不確定度大.同時可以發(fā)現(xiàn)，隨著迭代的進(jìn)行，誤差半徑逐步縮小，最終收斂到期望的信號方向上.

2.3 迭代橢球不確定集

為了同時處理多重誤差，R.G.Lorenz提出利用一定的先驗信息構(gòu)造了最平坦橢球不確定集［17］為

式中：ˉa為橢球中心向量；P為橢球的結(jié)構(gòu)矩陣；u為L×1向量.為了拓展AR-RCB的應(yīng)用范圍，嘗試在多重誤差情形下使用可變的橢球不確定集（Iterative RCB with Adaptive Ellipsoid Uncertainty Level，AR-RCBep）.區(qū)別于可變球形集更新中心向量和誤差半徑.在橢球集時，主要是通過更新中心向量和結(jié)構(gòu)矩陣P來實現(xiàn)迭代.在討論如何更新P之前，做如下的分析，對于任一向量αΩ∈Ω，它滿足αΩ－ˉα＝Pu.這個結(jié)論表明誤差向量可以視作矩陣P的列向量的線性組合.在文獻(xiàn)［15］中提出使用矩陣Psmall來構(gòu)造最小橢球集.

式（23）已經(jīng)估計出了誤差向量的解析形式.使用Psmall和式（23）初始化第一步迭代中使用的結(jié)構(gòu)矩陣P［22］1

同樣，設(shè)置如下的迭代終止條件

式中η可以設(shè)置為一個很小的值.基于以上分析，算法的主要步驟歸納如下：

定義＾asi，＾aei分別對應(yīng)采用球形不確定集和橢球不確定集時在第i次迭代中估計出來的最優(yōu)導(dǎo)向矢量.

1）對＾R做特征值分解得到Es，并設(shè)＾a0＝ˉa；

2）對于球形不確定集：

對于橢球形不確定集：

在第i＝1次，利用式（23）估計出當(dāng)前的誤差向量＾e0，定義結(jié)構(gòu)矩陣

4）如果式（25）和式（30）滿足，迭代終止，得到最優(yōu)導(dǎo)向矢量；如果不滿足返回第2步.

3 仿真結(jié)果

假設(shè)陣列包含10個各向同性的陣元，相鄰陣元間距為半波長.系統(tǒng)中的噪聲為零均值單位方差的加性高斯白噪聲，入射信號包括一個期望信號和兩個干擾信號，均為平面波入射，其中兩個干擾信號的入射方向分別為30°和－25°，對應(yīng)的信噪比（SNR）均為20dB.在如下的仿真中，期望信號的入射方向為6°，但是假設(shè)無法精確確定期望信號的DOA，只能獲得一個關(guān)于它的不確定區(qū)間［－7° 7°］，則相應(yīng)的方位不確定度為Δθ＝14°，同時假定的期望信號DOA為0°.為了能夠充分驗證AR-RCB的有效性，另外三種波束形成器被拿來與之做比較，分別是：1）采樣矩陣求逆（SMI）；2）對角加載（LSMI）；3）魯棒Capon（RCB）.在以下的實驗中，一些關(guān)鍵性的參數(shù)選取如下：1）在LSMI中使用的對角加載因子設(shè)為5；2）RCB方法中視同的最優(yōu)不確定度為εrcb＝8.5［12］；在實驗中，DOA誤差與陣元位置誤差同時一起處理，每個陣元都假設(shè)從原有位置出現(xiàn)了錯位，導(dǎo)致陣列的導(dǎo)向矢量出現(xiàn)了一定的偏差為

實驗一中，比較了四種波束形成器的歸一化陣因子.采樣數(shù)據(jù)快拍數(shù)和期望信號信噪比分別為200dB和5dB.通過圖2，可以看到采樣矩陣求逆（Sampled Matrix Invert，SMI）、LSMI、RCB方法得到的陣因子的主瓣對準(zhǔn)的都是假定的信號方向，而不是期望的信號方向.只有AR-RCB得到的波束方向圖的最大輻射方向?qū)?zhǔn)了期望的信號方向，同時在兩個干擾方向－25°和30°上分別形成了零點.實驗二中的實驗條件與實驗一基本一致，采樣數(shù)據(jù)快拍數(shù)和期望信號信噪比分別為200dB和5dB.這里著重比較這四類方法對DOA估計誤差大小的敏感度.如圖3所示，將DOA誤差θ－ˉθ從1°變化到9°，通過觀察輸出信干噪比的變化，可以發(fā)現(xiàn)AR-RCB針對DOA誤差具備更高的魯棒性，尤其是在較大的DOA誤差情況下，它的優(yōu)越性體現(xiàn)得更明顯.

下面的兩個實驗主要是關(guān)注算法的輸出特性與快拍數(shù)和輸入信號信噪比之間的關(guān)系.在實驗三中，輸入信號的SNR為5dB，快拍數(shù)從20變化到200，通過圖4可以觀察到，RCB和LSMI方法的輸出特性隨著快拍數(shù)的增加提升得不明顯，說明這兩類方法針對較大DOA誤差的魯棒性不強(qiáng).而SMI方法的輸出性能則隨著快拍的增加下降，因此它針對較大DOA誤差完全不具備魯棒性.總體來說，ARRCB的輸出性能是最好的，其輸出性能隨著快拍數(shù)的增加趨于穩(wěn)定，且在穩(wěn)態(tài)情況下的輸出SINR達(dá)到13.5dB，與最優(yōu)情況只有約1.5dB的差距.在實驗四中，快拍數(shù)設(shè)為200，通過圖5可以發(fā)現(xiàn)在較大DOA誤差條件下，SMI與LSMI方法的輸出性能均較低，魯棒性較低.而RCB方法在輸出性能方面則優(yōu)于它們，具備一定的魯棒性.較之于以上的三類方法，AR-RCB始終保持了較高的輸出性能，魯棒性較強(qiáng).只是在較低的輸入SNR情況下，與RCB法的輸出特性較為接近.主要是因為在較低SNR情形下，信號子空間與噪聲子空間發(fā)生了混疊.實驗五中，比較了AR-RCB與FU-IRCB［17］的收斂性.在此實驗中，F(xiàn)U-IRCB采用了兩個不同的不確定度εfu－rcb＝0.05和εfu－rcb＝0.2.同時為了直觀地比較兩類算法收斂的快慢，其中的算法收斂條件均被移除.圖6顯示AR-RCB達(dá)到最優(yōu)輸出性能只需要3步迭代就夠了，而FU-IRCB消耗了6步，并且最終的輸出性能與FU-IRCB相當(dāng).因此，AR-RCB在保證了較高的輸出性能的同時，還提高了算法的收斂性.實驗六中，DOA誤差和陣元位置誤差被同時進(jìn)行處理.在處理之前，先定義陣元位置誤差量，滿足如下的均勻分δm～［－0.05 0.05］，以波長為度量.為了充分地比較在多誤差情形下AR-RCBep的有效性，另外兩類算法被拿來與之比較，分別為具有最小橢圓不確定集的RCB法（RCB with Ellipsoid Uncertainty Level，RCBep）［15］，以及具有固定橢圓不確定集的迭代RCB法（Iterative RCB with Fixed Ellipsoid Uncertainty Level，F(xiàn)u-IRCBep）［19］.在文獻(xiàn)［15］中，作者提出了如下的最小橢圓不確定集，重寫如下：

4 結(jié) 論

本文研究了一種新的通過迭代搜索期望信號導(dǎo)向矢量的方式來提高系統(tǒng)抗誤差性能的魯棒波束形成器.在該方法中，每一步迭代使用的誤差半徑都是基于特定的優(yōu)化準(zhǔn)則估計出來的.這類波束形成器較之傳統(tǒng)的方法在多個方面均表現(xiàn)出了優(yōu)異的性能.此外，估計的誤差量隨著迭代的進(jìn)行逐步地減小，最終迭代的次數(shù)也隨之減小，在保持輸出性能的同時加快了收斂的速度.另一方面，該方法被擴(kuò)展用來處理多重誤差，每一步迭代更新的是橢圓不確定集合.最終的實驗證明了本文方法無論是針對特定的某一類誤差還是多種誤差，都具有較好的魯棒性.

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Robust adaptive beamforming algorithm with adjustable error radiuses

ZHANG Tao SUN Liguo
（Department of Electronic Engineering and Information Science，University of Science and Technology of China，Hefei Anhui 230027，China）

The traditional adaptive robust beamformer is sensitive to various of array imperfections.And the output array performance suffers deterioration，especially in the presence of large direction of arrival（DOA）mismatch.To overcome performance degradation，a new iterative robust beamformer is introduced with adjustable error radiuses.Each radius is the optimal solution of a quadratically constrained quadratic program（QCQP）problem，which is derived from based on the subspace principle.Additionally，the output signal to noise and interference（SINR）is improved on the fact that all the estimated mismatch levels are smaller than the ones used in the conventional methods.Moreover，the proposed method is extended to tackle with multiple mismatches together using adjustable ellipsoid uncertainty sets.Finally，the new beamformer is compared with other approaches in the simulations.And its superiority is demonstrated.

adaptive beamformer；signal-to noise and interference；robust capon beamformer

TN911

A

1005-0388（2015）01-0049-08

張 濤 （1987－），男，安徽人，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士研究生，主要研究方向為陣列天線綜合以及自適應(yīng)波束成形等.

孫利國 （1960－），男，安徽人，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為射頻集成技術(shù).

張 濤，孫利國.具有自適應(yīng)可調(diào)誤差半徑的魯棒波束賦形算法［J］.電波科學(xué)學(xué)報，2015，30（1）：49-56.

10.13443／j.cjors.2014011201

ZHANG Tao，SUN Liguo.Robust adaptive beamforming algorithm with adjustable error radiuses［J］.Chinese Journal of Radio Science，2015，30（1）：49-56.（in Chinese）.doi：10.13443／j.cjors.2014011201

2014-01-12

聯(lián)系人：張濤E-mail：zhtt＠m(xù)ail.ustc.edu.cn