李洪濤 陳 誠 曾文浩 朱曉華

（南京理工大學電子工程與光電技術(shù)學院，江蘇南京210094）

基于導向矢量估計的魯棒自適應波束形成算法

李洪濤 陳 誠 曾文浩 朱曉華

（南京理工大學電子工程與光電技術(shù)學院，江蘇南京210094）

針對在導向矢量存在誤差情況下自適應波束形成算法性能嚴重下降的問題，提出一種基于導向矢量估計的魯棒自適應波束形成（Steering Vector Estimation Based Robust Adaptive Beamforming，SVE-RAB）算法.算法用導向矢量不確定范圍估計真實導向矢量，利用范數(shù)約束通過二階錐規(guī)劃技術(shù)提高波束形成的魯棒性.算法可在導向矢量存在誤差的情況下，對期望信號保持最大增益并有效抑制干擾，且有效提高了波束形成輸出的信干噪比（Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR）.仿真結(jié)果驗證了算法的有效性和優(yōu)越性.

波束形成；魯棒性；導向矢量

引 言

自適應波束形成技術(shù)作為陣列信號處理的重要分支之一，在雷達、聲納、無線通信、射電天文等諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應用［1］.但在陣列導向矢量存在誤差、接收信號包含期望信號或在快拍數(shù)較少的情況下使用信號協(xié)方差矩陣代替理想?yún)f(xié)方差矩陣時，自適應波束形成器會出現(xiàn)魯棒性明顯下降的問題［2］.

并且可以證明［3］，在低快拍數(shù)下使用信號協(xié)方差矩陣造成的誤差，可以等同于信號導向矢量誤差.因此，波束形成魯棒性的研究主要集中在信號導向矢量誤差以及接收信號中包含期望信號等方面.

為了提高波束形成對上述各種情況下的適應性，近年來出現(xiàn)了大量針對波束形成魯棒性的研究［3－16］：特征空間波束形成（Eigenspace Based Beamforming，ESB）算法［3－4］對導向矢量誤差具有良好的魯棒性，但其接收信號中必須包含較強真實信號且需要子空間維數(shù)的先驗信息或估計；基于對角加載類的魯棒波束形成算法［5－12］對各種情況下的誤差均具有一定的適應性，但在導向矢量存在誤差的情況下無法對真實目標信號保持最大增益，波束形成輸出的信干噪比（Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR）會受到一定程度的損失；基于幅度約束的魯棒波束形成算法［13－14］通過在波束主瓣內(nèi)形成平頂響應，對導向矢量誤差具有良好的魯棒性，但其需要主瓣寬度的先驗信息且在其主瓣范圍內(nèi)會引入額外的干擾及噪聲.

針對上述問題，首先根據(jù)導向矢量不確定范圍估計真實導向矢量，利用范數(shù)約束通過二階錐規(guī)劃技術(shù)提高波束形成的魯棒性，提出基于導向矢量估計的魯棒自適應波束形成（Steering Vector Estimation Based Robust Adaptive Beamforming，SVERAB）算法.算法通過估計真實導向矢量，令波束形成主瓣對準真實信號，可在接收信號中包含或者不包含真實信號的情況下保持對真實信號的最大增益，并利用范數(shù)約束提高算法的魯棒性.

1 ESB魯棒波束形成算法

考慮M個遠場窄帶非相干信號入射到陣元個數(shù)為N的等距線陣（Uniform Linear Array，ULA）上，則陣列接收數(shù)據(jù)x（t）可表示為

式中：A＝［a（θ1），a（θ2），…，a（θM）］為陣列流型矩陣；s（t）＝［s1（t），s2（t），…，sM（t）］T為t時刻信號的復包絡；n（t）為高斯白噪聲矢量.

陣列輸出總功率為

式中：ω為陣列加權(quán)矢量；Rx＝E｛x（t）xH（t）｝是接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，E｛·｝表示數(shù)學期望.

與常規(guī)自適應波束形成算法不同的是，ESB算法在當陣列接收回波數(shù)據(jù)中包含較強真實信號時，通過將理想導向矢量向?qū)x進行特征分解得到的信號子空間Us投影，可得真實導向矢量的估計值［4］

但在陣列接收回波數(shù)據(jù)中不包含真實信號或在真實信號的信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）較低的情況下，信號子空間不包含真實信號分量，此時估計得到的真實導向矢量將向干擾導向矢量空間收斂，導致波束形成指向錯誤［4］.

2 本文算法

由上面的分析可知，ESB算法對導向矢量誤差具有良好適應性的前提是在其接收回波數(shù)據(jù)中包含較強的真實信號，否則其信號子空間將不包含真實信號分量，導致波束指向錯誤.針對這個問題，提出根據(jù)導向矢量不確定范圍確定合適的信號子空間，估計陣列真實導向矢量.

設真實導向矢量與理想導向矢量之間存在有限的誤差［6］，即

式中ε0為導向矢量不確定約束因子，由系統(tǒng)設計陣元間距誤差、通道間幅相不平衡、互耦等因素決定，可由實際系統(tǒng)設計估計得到.

則由式（3）確定的真實導向矢量必須滿足式（4）的約束，將式（3）代入式（4），得到

整理可得

或

式中Un為對Rx進行特征分解得到的噪聲子空間.

式（7）表明：陣列理想導向矢量向接收信號噪聲子空間投影的2范數(shù)不能大于約束因子ε0，即理想導向矢量的分量主要集中在信號子空間.

若式（7）不成立，則表明理想導向矢量在噪聲子空間的分量過大，噪聲子空間含有過多的理想導向矢量分量，估計的真實導向矢量不滿足式（4）的約束，此時需要重新搜索子空間，因此，定義子空間維度函數(shù)為

式中＾Us（k）∈CN×k為維數(shù)是N×k的信號子空間.

將Rx的特征矢量按特征值大小依次排列，則信號子空間維數(shù)k∈［1，N］，令k在其取值范圍內(nèi)由小到大依次搜索，直到子空間維度函數(shù)滿足

此時搜索得到的信號子空間包含理想導向矢量絕大部分的分量，利用理想導向矢量向搜索到的信號子空間投影估計的真實導向矢量與理想導向矢量的誤差滿足式（4）的約束.

利用經(jīng)過上述搜索估計得到的導向矢量進行Capon波束形成，得到式（10）的波束形成器可估計真實導向矢量，避免導向矢量指向誤差造成的波束形成器性能的下降，同時為了增加其魯棒性，對式（10）添加提高波束魯棒性的范數(shù)約束，提出SVE-RAB算法：

式中ζ0為范數(shù)約束因子，Li等學者［8］已給出其具體求解方法.

對Rx進行Cholesky分解可得

將式（12）帶入式（11），并整理得到

式（13）可以轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題，采用內(nèi)點算法求解.劉聰鋒等學者［17］也提出了不同的求解方法.

綜上所述，SVE-RAB算法求解步驟如下：

1）將對Rx進行特征分解得到的特征向量按特征值大小依次排列；

2）根據(jù)式（9）搜索信號子空間，求解滿足子空間維度函數(shù)最小k值對應的信號子空間；

3）利用得到的信號子空間估計真實導向矢量；

4）根據(jù)式（13），求解SVE-RAB算法加權(quán)矢量.

SVE-RAB算法中對Rx進行特征分解的運算量為O（N3），求解式（13）的SOCP內(nèi)點方法的運算量為O（ρN3），其中ρ為迭代次數(shù)，一般取ρ＝10.SVE-RAB算法運算量約為O（11×N3）.對角加載類魯棒波束形成算法［5－12］的運算量為O（N3），基于幅度約束的魯棒波束形成算法［13－14］的運算量為O（8 ×N3）.SVE-RAB算法的運算量略高于上述魯棒波束形成算法的運算量.

SVE-RAB算法可在陣列接收回波信號中不包含真實信號或真實信號SNR較低的情況下估計真實導向矢量，并利用范數(shù)約束提高波束形成的魯棒性，是一種魯棒自適應波束形成算法.

3 計算機仿真

本節(jié)通過在不同誤差情況下比較SVE-RAB算法與ESB算法、范數(shù)約束Capon波束形成（Norm Constained Capon Beamformer，NCCB）算法、采用采樣協(xié)方差矩陣求逆（Sample Matrix Inversion，SMI）算法以及采用對角加載SMI（Loading SMI，LSMI）算法的性能.仿真中，采用陣元間距d＝λ／2，陣元個數(shù)N＝10的ULA陣.LSMI算法的加載噪聲級（Load to White Noise Ratio，LNR）為10dB.噪聲為高斯白噪聲.所有實驗均為500次蒙特卡羅實驗仿真的結(jié)果.

仿真實驗1 設空間存在2個互不相干的干擾信號，入射角分別為－20°和10°，干擾的干噪比（Interference to Noise Ratio，INR）均為40dB，期望信號方向為0°，快拍數(shù)為10×N＝100.

圖1（a）為當陣列接收回波信號中存在真實信號，且真實信號方向為0°，導向矢量不確定因子ε0＝0.1時，子空間維度函數(shù)f（k）隨子空間維數(shù)k的變化曲線.從圖1（a）可看出：當真實信號的輸入SNR大于0dB以上時，k＝3對應f（k）的值小于ε0＝0.1，子空間維數(shù)為10×3，子空間的選擇與ESB算法相同，估計的真實導向矢量＾a（θ0）＝UsUHsa（θ0）；當真實信號的輸入SNR小于0dB時，子空間維度函數(shù)滿足式（9）約束的維數(shù)k＝10，即子空間維數(shù)為10×10，估計的真實導向矢量＾a（θ0）＝a（θ0）.即理想導向矢量.SVE-RAB算法通過式（4）的約束解決了ESB算法指向錯誤的問題.在輸入SNR較高的情況下，SVE-RAB算法與ESB算法相同，可以正確估計真實導向矢量；在輸入SNR較低的情況下，SVERAB算法通過式（4）的約束，使估計的真實導向矢量收斂于理想導向矢量.從上面的分析可以得出：SVE-RAB算法可在輸入信號的SNR較高的情況下，正確估計真實導向矢量；在輸入信號的SNR較低的情況下，避免估計的導向矢量向干擾導向矢量空間收斂的問題.同時，在陣列接收回波信號SNR較低的情況下，由于信號子空間已經(jīng)無法正確選擇，在未知期望信號真實導向矢量的情況下，理想導向矢量是最好的選擇，這正是SVE-RAB算法的物理意義.

圖1（b）為真實信號方向為2°，導向矢量不確定因子ε0＝0.3時，子空間維度函數(shù)f（k）隨k的變化曲線.從圖1（b）可看出，當陣列接收回波信號的SNR大于0dB以上時，k＝3對應的子空間維度函數(shù)滿足式（9），子空間維數(shù)為10×3，子空間選擇與ESB算法的相同；當陣列接收回波信號的SNR小于0dB時，子空間維度函數(shù)滿足式（9）的維數(shù)k＝10，子空間維數(shù)為10×10，此時子空間選擇與ESB算法不同，真實導向矢量的估計為＾a（θ0）＝a（θ0）.

仿真實驗2 設空間存在兩個互不相干的干擾，其入射角分別為20°和－40°，干擾的INR均為50dB，期望信號方向為0°.真實輸入信號方向為2°，輸入信號的SNR為10dB.圖2（a）為快拍數(shù)為20× N＝200時，幾種算法輸出方向圖對比.從圖2（a）中可以看出：SVE-RAB算法的波束指向為2°，并可在干擾處形成較深的零陷；ESB算法在高輸入SNR下的性能與SVE-RAB算法接近；NCCB算法波束指向為0°，因此無法對真實信號保持最大增益.LSMI算法由于期望信號與真實信號角度存在誤差，波束性能嚴重下降.圖2（b）為快拍數(shù)為2×N＝20時，幾種算法輸出方向圖對比.從圖2（b）中可以看出：在低快拍下SVE-RAB算法的波束指向為2°，并可有效抑制干擾；其他算法的性能均有一定程度的下降.

仿真實驗3 設空間存在兩個互不相干的干擾，其入射角分別為20°和－40°，兩個干擾的INR均為50dB，期望信號方向為0°.真實信號方向為2°，輸入SNR為－20dB.圖3（a）為快拍數(shù)為20×N＝200時，幾種算法輸出方向圖對比.從圖3（a）中可以看出：SVE-RAB算法波束指向的估計值為0°；ESB算法在低SNR下無法形成有效波束指向；NCCB及LSMI算法在低SNR均可形成有效波束.圖3（b）為快拍數(shù)為2×N＝20時，幾種算法輸出方向圖對比.從圖3（b）可看出：在低快拍下SVE-RAB算法的波束指向為0°，并可有效抑制干擾.NCCB算法在這種情況下具有與SVE-RAB算法相同的性能.

從仿真2、3中可以看出：SVE-RAB算法在低信噪比下解決了ESB算法失效的問題，且與NCCB算法性能基本相同；在高信噪比條件下，SVE-RAB算法與ESB算法性能基本相同，但比NCCB算法具有更為優(yōu)越的性能.因此，SVE-RAB算法可以應用于任意信噪比下，比ESB、NCCB算法具有更為廣泛的應用前景.

仿真實驗4 設空間存在兩個互不相干的干擾，其入射角分別為10°和－60°，兩個干擾的INR均為50dB，真實信號方向為1°，仿真快拍數(shù)為20× N＝200.圖4為幾種算法輸出SINR隨輸入SNR的變化曲線.從圖4可看出：SVE-RAB算法輸出SINR隨輸入SNR增加而增加，且輸出SINR高于另外幾種算法；由于可以保持對真實信號的最大增益，因此ESB算法輸出SINR高于其他幾種算法；SMI算法由于期望信號相消現(xiàn)象，輸出SINR隨輸入SNR的增加先增加后減??；LSMI算法輸出SINR優(yōu)于SMI算法，但其對角加載值是固定值，因此隨著輸入SNR的增加，仍然出現(xiàn)信號相消現(xiàn)象.

仿真實驗5 設空間存在兩個互不相干的干擾，其入射角分別為30°和40°，兩個干擾的INR均為50dB，期望信號方向為0°，輸入信號與期望信號角度誤差由0°到5°變化，且輸入信號的SNR為25 dB，快拍數(shù)為20×N＝200.圖5為幾種算法輸出SINR隨輸入信號角度變化曲線.從圖5可看出：SVE-RAB算法輸出SINR隨輸入信號角度與期望信號角度誤差的增大而略有下降；ESB算法性能比SVE-RAB算法稍差；因無法保持對輸入信號的高增益，NCCB算法輸出SINR呈現(xiàn)出較為明顯的下降趨勢；SMI以及LSMI算法在輸入信號與期望信號方向偏離一定角度后產(chǎn)生信號相消現(xiàn)象，因此輸出SINR隨角度誤差增大急劇下降.

4 結(jié) 論

針對在導向矢量存在誤差情況下波束形成魯棒性下降的問題，提出SVE-RAB算法.算法首先利用導向矢量不確定范圍估計真實導向矢量，然后利用范數(shù)約束增強波束形成的魯棒性.SVE-RAB算法可在低快拍及導向矢量存在誤差的情況下保持對期望信號的最大增益，有效提高波束形成的輸出SINR，并解決ESB算法在接收數(shù)據(jù)中不包含期望信號或期望信號的SNR較低的情況下失效的問題，是一種魯棒的波束形成算法.

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Steering vector estimation based robust adaptive beamforming algorithm

LI Hongtao CHEN Cheng ZENG Wenhao ZHU Xiaohua
（School of Electronic Optical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing Jiangsu 210094，China）

To solve the degradation of robustness against array steering vector error in the adaptive beamformer，a novel steering vector estimation based robust adaptive beamforming（SVE-RAB）is proposed.The presented algorithm estimates the real steering vector according to the uncertainty of the array steering vector.Then，the robustness of the new beamforming is enhanced by using norm constraint on the array weight vector.The algorithm can keep the desired signal with the maximum gain with the interference being well suppressed in case of array steering vector error，thus considerable improving the output signal to interference plus noise ratio（SINR）.Simulation results confirm the validity and superiority of the proposed algorithm.

beamforming；robust；steeringvector estimation

TN958.93

A

1005-0388（2015）01-0188-07

李洪濤 （1979－），男，江蘇人，南京理工大學電子工程與光電技術(shù)學院講師，博士，研究方向為陣列信號處理、自適應信號處理及壓縮感知等.

陳 誠 （1987－），男，江蘇人，博士研究生，研究方向為雷達信號處理、噪聲雷達體制、稀疏陣列信號處理.

曾文浩 （1990－），男，河南人，博士研究生，研究方向為陣列信號處理、雷達成像.

朱曉華 （1966－），男，江蘇人，南京理工大學電子工程與光電技術(shù)學院教授，博士，博士生導師，研究方向為雷達系統(tǒng)理論與技術(shù)、雷達信號理論與應用及高速實時數(shù)字信號處理等.

李洪濤，陳 誠，曾文浩，等.基于導向矢量估計的魯棒自適應波束形成算法［J］.電波科學學報，2015，30（1）：188-193＋200.

10.13443／j.cjors.2014021301

LI Hongtao，CHEN Cheng，ZENG Wenhao，et al.Steering vector estimation based robust adaptive beamforming algorithm［J］.Chinese Journal of Radio Science，2015，30（1）：188-193＋200.（in Chinese）.doi：10.13443／j.cjors.2014021301

2014-02-13

國家自然科學基金（61301022）聯(lián)系人：李洪濤E-mail：floodlee＠126.com