橋軸線擬合的分期回歸方法

徐 兮

(1．重慶電訊職業(yè)學院，重慶630342;2．重慶交通大學，重慶400074)

一、引 言

對歷史悠久的文物橋或“超期服役”的老舊橋進行安全、健康診斷，是一項嚴謹和必需的工作，常規(guī)的措施是將設計、施工資料與變形測量數(shù)據(jù)進行比較分析，提出經(jīng)濟適用的維修養(yǎng)護方案并加以執(zhí)行，以保障橋梁在穩(wěn)定的狀態(tài)下能夠良性運通。而文物橋、老舊橋大多年代久遠，其設計、施工資料因社會變革或戰(zhàn)火動亂大多蕩然無存，這就給相關活動的開展帶來了不小的困難。

民國時期建筑，延用至今的重慶市江津區(qū)SF拱橋，設計施工資料全部缺失，設計壽命無法查得，為保障運通的安全，從20世紀80年代起，每10年對該橋進行了一次全面監(jiān)測。在SF橋最近一次的健康診斷工作中，筆者負責數(shù)據(jù)處理分析工作，期間，在原始資料缺乏的情況下采用分期回歸方法，完成了該橋的變形分析判斷任務。

二、測量方法與觀測數(shù)據(jù)

分別建立以三孔左拱腳為原點、兩拱腳的連線為x軸、與x軸垂直方向(橋高)為y軸的坐標系(如圖1所示);對3個孔進行變形觀測，但由于3個孔的觀測方法及后續(xù)分析方法等完全相同，本文僅對中孔展開討論。

為了確定中孔拱軸線形態(tài)，按常規(guī)要在中孔拱軸線上預先設定一定數(shù)量的等間隔的標志點，而此項操作卻極其困難。為了不設定這種標志，以及在橋面上便于進行測角、量距，首先在拱腳兩點且與拱腳連線相垂直的直線方向的地面上，任意選C1、C2點，分別安置經(jīng)緯儀，瞄準兩拱腳點，抬高望遠鏡，在橋上定出兩拱腳點的投影點O'、O″，在拱腳線外的任一點C處立標志，測出β1、β2角及O'、O″之距離DO'O″，即可求出C至O'的平距d0。(如圖2(a)所示)。

圖1 坐標示意圖

圖2 觀測示意圖

將DO'O″25等分得25個截面，算出O'至每一截面的平距，即求出了每一截面的x坐標(見表1)。根據(jù)d0、β1和任意截面的xi，可求出以O為后視方向該截面應有的平角ri，以及截面與C點的距離di。在C點安置經(jīng)緯儀，后視O(水平盤歸零)，轉(zhuǎn)動照準部至水平盤得ri值，水平制動后抬高望遠鏡，分別瞄準拱腹、拱背，讀出豎盤讀數(shù)，計算出αi腹、αi背，再采用di值，即可求出yi腹、yi背，取其均值即為該截面與孔軸線之交點的縱坐標值yi(如圖2(b)、(c)所示)，列于表1的x、y。

三、分期回歸建模

1．數(shù)學推演

通過以前對該橋的變形分析已知，橋拱為圓曲線型

式中，(a，b)為圓心坐標;R為半徑。經(jīng)分解變換，得圓一般方程為

式中，D、E、F為參數(shù)。為求D、E、F，分別將(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)代入式(2)，得方程組

表1 數(shù)據(jù)表

應用代入法整理式(3)，求出

通過分解化簡等互換式(1)和式(2)，a、b、R可用D、E、F表示

整理式(1)，得y的計算式

模型有效與否，采用相關性檢驗

殘差算式

2．第一期回歸

將表1第1、2、3點的觀測數(shù)據(jù)分別代入式(4)—式(6)，求出D=－30．87，E=－2．11，F(xiàn)=21．86，將上述值代入式(7)—式(9)，計算出a=15．43，b=1．06，R=14．75，則第一期回歸模型為

應用式(11)求得式(13)的相關性系數(shù)r=0．970，查相關性系數(shù)表得其臨界值ra=0．917，r＞ra，第一期回歸模型成立。

將1、2、3點的x值代入第一期模型即式(13)，分別求出1、2、3點的擬合值y擬;應用式(12)分別求出1、2、3點的殘差，均填入表1相應欄。

3．各期回歸

同理同法，分別以3個點為一期(如3、4、5，5、6、7，7、8、9，…)，將相關數(shù)據(jù)先后代入式(4)—式(9)，擬合出本期模型，之后應用式(11)與相關性系數(shù)表進行檢驗、應用式(12)求出各殘差，并用相關數(shù)據(jù)續(xù)填表1，模型匯總見表2。

表2 模型匯總表

4．擬合曲線

以x為橫標、y為縱標繪制橋拱軸線形態(tài)圖(如圖3所示)。

圖3 橋拱軸線形態(tài)圖

四、分 析

表2中各模型的相關性系數(shù)r值均大于臨界值ra=0．917，表明各期模型均有效，進而證明本例回歸方法正確且滿足精度。

表1中4—9點的殘差Δ較大，最大達到33 cm，而對應的2、3、4期模型的相關性系數(shù)r并未超限，肉眼觀察橋拱4—9點弧段，發(fā)現(xiàn)風化現(xiàn)象，因而基本可以斷定4—9點Δ值偏大的原因，是由于對應弧段風化較嚴重引起，制定維護方案時應注意該問題。

21點的Δ值為9 cm，與前后相鄰數(shù)據(jù)比較顯然存在異常，加之建模時使用了21點的數(shù)據(jù)，使10、11期模型的r值變小，可以認為21點觀測值包含粗差。

綜上分析同時由圖3可看出，本例橋孔不僅依然保持圓弧拱形態(tài)，而且整體穩(wěn)定，無大的形變，略加維修可正常使用。

五、結(jié)束語

本文采用分期回歸理論方法，在設計、施工原始資料不存在的情況下，對老舊橋進行了變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理和分析，建立了回歸分析模型，結(jié)果證明該方法切實可用。

［1］ 周水興．橋梁工程［M］．2版．重慶:重慶大學出版社，2011．

［2］ 張彬．橋梁工程施工速學手冊［M］．北京:中國電力出版社，2009．

［3］ 岳建平，田林亞，變形監(jiān)測技術與應用［M］．北京:國防工業(yè)出版社，2007．

［4］ 白鳳山，么煥民．數(shù)學建模［M］．哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學出版社，2003．

［5］ 王金嶺，陳永奇．論觀測法的可靠性質(zhì)量［J］．測繪學報，1994，23(4):252-258．