基于菱形計(jì)盒分維估值計(jì)算的水深綜合方法

王 沫，李鶴元，張曉楠

（1．信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州450000；2．海軍大連艦艇學(xué)院 海洋測繪系，遼寧 大連116018；3．地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安710054）

目前，常用于線狀要素和點(diǎn)群要素分形計(jì)算與性質(zhì)研究的主要方法：計(jì)盒維數(shù)法、信息維數(shù)法、半徑計(jì)數(shù)法和關(guān)聯(lián)維數(shù)法等。維數(shù)計(jì)算通常分為三類［1－4］：一是邊界維數(shù)，采用長度與尺度間的關(guān)系計(jì)算（Batty M，Longley P A，1988～1989）；二是半徑維數(shù)，采用密度與尺度的關(guān)系計(jì)算（Batty M，1991；wnite R，Engelen G，1993）；三是網(wǎng)格維數(shù)，采用非空格網(wǎng)數(shù)目與尺度關(guān)系計(jì)算（Benguigui L，Czamanski D，Marinov M，Port ugali J，2000；De Keers maecker M－L，F(xiàn)rankhauser P，Tho mas I，2003）。計(jì)盒維數(shù)（即格網(wǎng)維數(shù)）是其中應(yīng)用最廣泛的維數(shù)之一，通常又被稱為Kol mogor ov熵、熵維數(shù)、容度維數(shù)、度量維數(shù)、對數(shù)密度和信息維數(shù)等，通常對點(diǎn)群計(jì)盒維數(shù)的計(jì)算一般采用兩種尺度單元去分解地圖目標(biāo)：一是以立方體在二維平面上的投影（正方形）為尺度單元進(jìn)行計(jì)算；二是以d維球體在二維平面上的投影（圓形）為尺度單元進(jìn)行計(jì)算［5，6］。針對解決制圖綜合適用性要求，龍毅提出一種元分維模型［7］，雖然上述研究都可以計(jì)算點(diǎn)群的分維估值，但無法完全適用于海圖水深綜合的特殊要求。

水深數(shù)據(jù)作為點(diǎn)群數(shù)據(jù)的一種，其具有分形的基本特征，即無標(biāo)度性和自相似性。因此，本文針對水深數(shù)據(jù)具有分形基本特征和菱形分布的特點(diǎn)，提出了一種基于菱形計(jì)盒分維估值計(jì)算的水深綜合模型，對尺度單元加以修改，采用菱形體在二維平面上的投影作為尺度單元進(jìn)行分維計(jì)算 得到分維估值，從而確定水深數(shù)據(jù)的綜合壓縮比（綜合后的水深點(diǎn)數(shù)目），并以菱形盒子為菱形選取水深的參考網(wǎng)。

1 水深的菱形分布

在數(shù)字水深選取過程中，需要對水深綜合后水深數(shù)目進(jìn)行確定，為菱形選取水深提供參考?，F(xiàn)有的數(shù)字海圖生產(chǎn)中，大比例尺水深數(shù)據(jù)的選取所采用的資料大部分是水深黑樣，水深黑樣是單波束或多波束數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)相對簡單，依靠傳統(tǒng)菱形網(wǎng)選取模型可以進(jìn)行選??；但對于中小比例尺水深數(shù)據(jù)的綜合，往往是在經(jīng)過水深數(shù)據(jù)綜合后的基礎(chǔ)上，進(jìn)行水深的再綜合，其數(shù)據(jù)源通過人工修整后的數(shù)據(jù)，基本保持了水深的菱形分布特點(diǎn)。

通常等深線與岸線變化趨勢基本相同，基于這一特性布設(shè)測線，水深按照規(guī)則菱形分布，可以更好地反映水下地形，具體的原則：

1）在垂直海岸或等深線的方向上水深選取較密，在平行海岸或等深線的方向上水深選取較稀。水深密度大，表示海底地形詳細(xì)，但影響海圖的易讀性，增加了水深選取的工作量；水深密度小，表示海底地形不夠詳細(xì)，容易出現(xiàn)水深盲區(qū)，對航行安全造成影響。確定密度大小本身是一對矛盾體，經(jīng)過生產(chǎn)實(shí)踐總結(jié)了密度指標(biāo)［8］，如表1所示。

表1 水深密度指標(biāo)

2）菱形短對角線垂直岸線或等深線方向，長對角線平行岸線或等深線方向。

3）菱形在理想狀態(tài)下是規(guī)則的，從岸線向海部延伸。

2 算法思路與流程

2．1 最大非空菱形盒子的確定

2．1．1 點(diǎn)群基于岸線總方向外接矩形的構(gòu)建

1）設(shè)有水深點(diǎn)群A｛（xi，yi）｜i＝1，2，3，…，n｝，首先獲取岸線的總方向線；

2）在點(diǎn)群外接矩形做一條總方向的平行線L，以每個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)作L的垂線，并記錄距離集S｛s1，s2，…，sn．｝，獲取max｛S｝，min｛S｝所對應(yīng)的水深點(diǎn)pmax，pmin；

3）在點(diǎn)群外接矩形做一條總方向的垂線L′，同步驟2，找到距離L′最近和最遠(yuǎn)的水深點(diǎn)p′max，p′min；

4）分別過pmin，pmax做L的平行線l1，l2；過p′min，p′max做L′的平行線l3，l4。l1，l2，l3，l4所形成的矩形為點(diǎn)群基于岸線總方向的外接矩形，如圖1所示。

圖1 點(diǎn)群基于岸線總方向的外接矩形（虛線）

2．1．2 最大非空菱形盒子的構(gòu)建

1）獲取點(diǎn)群，基于岸線總方向的外接矩形的對角線的交點(diǎn)，確定該交點(diǎn)為最大非空菱形盒子的中心，記為Ao（如圖2（a）所示）；

2）以Ao為原點(diǎn)，岸線的總方向線為X軸，與其垂直方向?yàn)閅軸，構(gòu)造直角坐標(biāo)系；

3）以Ao為菱形中心，構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)菱形，其各邊長r（預(yù)設(shè)值，不宜過小）與短對角線皆相等，標(biāo)準(zhǔn)菱形要保證坐標(biāo)系的四個(gè)分區(qū)（1區(qū)、2區(qū)、3區(qū)、4區(qū)）都有水深點(diǎn)存在；

4）獲取四個(gè)分區(qū)內(nèi)，與該區(qū)標(biāo)準(zhǔn)菱形邊垂直方向 上 距 離 最 遠(yuǎn) 的 點(diǎn)，分 別 為p1，p2，p3，p4，過max｛p1，p2，p3，p4｝作該點(diǎn)所在區(qū)標(biāo)準(zhǔn)菱形邊的平行線，得到與X，Y軸的交點(diǎn)px，py，然后過兩交點(diǎn)相鄰區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)菱形邊的平行線，得到過px與Y軸的交點(diǎn)p′y；過py與X軸的交點(diǎn)p′x，最后連接p′y與p′x；

5）最后得到的菱形盒子pxpyp′xp′y為最大非空菱形盒子（如圖2（b）所示）。

2．2 計(jì)算菱形計(jì)盒維數(shù)估值

2．2．1 菱形量測尺度的確定

本文采用尺度定長法確定量測尺度，其優(yōu)勢在于自由度較大，首先確定最大非空菱形盒子的邊長為r0，保證每一量測尺度的覆蓋區(qū)大于最大非空菱形盒子，滿足上述條件后，尺度定長法主要有兩種方式。

圖2 最大非空菱形盒子的構(gòu)建

1）級數(shù)定長方式，確定測量尺度上限r(nóng)e為r0／2或者更??；確定下限r(nóng)s為最小菱形盒子邊長，一般為圖上距離1 c m（經(jīng)驗(yàn)值），實(shí)際距離為m（N海圖比例尺分母），規(guī)定一個(gè)整數(shù)M為幾何級數(shù)，保證雙對數(shù)坐標(biāo)上的橫軸具有等間距性，該方法所得量測尺度算法模型為

可改寫為

第一種方式數(shù)值不歸整，為了方便計(jì)盒分維的計(jì)算，本文采用的是第二種定長方式來確定觀測尺度，其優(yōu)點(diǎn)在于方便取整計(jì)算。

2．2．2 菱形計(jì)盒維數(shù)估值方法

分形特征一般描述為

其中，H（r）為分形維數(shù)的測度；r為量測的尺度；C為常數(shù)；D為分形維數(shù)；f（D）為D的函數(shù)。改寫 成［9－12］

其中，log H（r），log r為變量，以－D為斜率的直線方程，針對不同的量測尺度ri（i＝1，2，…，m），求出相應(yīng)的log H（ri），得到線性回歸模型去擬合點(diǎn)對（log ri，log H（ri）），求斜率K，則得到D＝－K。

判斷擬合程度可用線性回歸系數(shù)R2來衡量，R2越接近1，說明擬合度越好，點(diǎn)對趨于一元線性關(guān)系，該分形方法越可行。

2．3 確定綜合后菱形單位尺度內(nèi)的壓縮比

通過計(jì)算得到計(jì)盒維數(shù)估值為D，設(shè)定綜合前后的比例尺分母為ma，mf，綜合前后尺度為r0，ri，綜合前點(diǎn)群總數(shù)為N，通過點(diǎn)群綜合選取的冪律定律，得到綜合后點(diǎn)群壓縮比Co mpassi

2．4 確定菱形盒水深綜合模型

相應(yīng)比例尺尺度ri，非空盒子內(nèi)點(diǎn)數(shù)為Ni，得到每個(gè)盒子應(yīng)選取的點(diǎn)數(shù)Mi

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3．1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)菱形單元尺度選取

以1∶25 000海圖的水深數(shù)據(jù)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，選取尺度范圍為250～3 600 m，菱形單元尺度選取方法：250～500 m區(qū)間以50 m為間隔選取250 m，300 m，350 m，400 m，450 m；500～1 000 m區(qū)間以100 m為間隔選取500 m，600 m，700 m，800 m，900 m，1 000 m；1 000～2 000 m區(qū)間以200 m為間隔 選 取1 000 m，1 200 m，1 400 m，1 600 m，1 800 m；2 000～3 600 m區(qū)間以400 m為間隔選取2 000 m，2 400 m，2 800 m，3 200 m，3 600 m，部分菱形分形的情況如圖3所示。

3．2 菱形計(jì)盒分維估值參數(shù)計(jì)算

首先，統(tǒng)計(jì)每一尺度非空菱形盒子的數(shù)目，計(jì)算分形尺度r、非空菱形盒子數(shù)H（r）的對數(shù)值l og r l og H r 菱形計(jì)盒分維估值參數(shù)如表2所示；其次，繪制菱形計(jì)盒分維估值的分形尺度r與非空菱形盒子數(shù)H（r）的雙對數(shù)函數(shù)關(guān)系圖，如圖4所示 求解出線性回歸方程y＝1．373 3x＋5．683相關(guān)系數(shù)R2＝0．982 7，最后得到菱形計(jì)盒分維估值D＝1．337 3。

圖3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與部分菱形計(jì)盒處理

表2 菱形計(jì)盒估值參數(shù)

3．3 菱形盒水深綜合模型驗(yàn)證

本實(shí)驗(yàn)以1∶25 000海圖為原始數(shù)據(jù)，綜合目標(biāo)為比例尺1∶5萬、1∶10萬、1∶20萬的常用海圖，菱形盒水深綜合選取模型的選取結(jié)果如表3所示。

圖4 菱形計(jì)盒分維估值的分形尺度與非空菱形盒子數(shù)的雙對數(shù)函數(shù)關(guān)系

表3 菱形盒水深綜合選取結(jié)果數(shù)據(jù)表

實(shí)驗(yàn)表明：利用菱形計(jì)盒方法進(jìn)行分維估值計(jì)算，相關(guān)系數(shù)為0．982 7，擬合度高，菱形計(jì)盒分維數(shù)描述水深結(jié)構(gòu)的方法可行。因此，利用該分維值進(jìn)行水深綜合的實(shí)用性和可操作性較強(qiáng)。

4 結(jié)束語

從數(shù)據(jù)上看，得到以下幾點(diǎn)：

1）基于菱形計(jì)盒分維估值計(jì)算方法，考慮到尺度單元與綜合目標(biāo)數(shù)之間的關(guān)系，能快速確定目標(biāo)綜合尺度和菱形盒內(nèi)的保留點(diǎn)數(shù)，確保水深點(diǎn)群綜合的準(zhǔn)確性。

2）該方法生成的菱形網(wǎng)可以為盒內(nèi)綜合選取水深提供菱形分布的參考網(wǎng)。

3）該方法的不足之處是目前的試驗(yàn)只是在開闊海域，且水深點(diǎn)分布均勻的基礎(chǔ)上進(jìn)行驗(yàn)證，針對復(fù)雜海域的驗(yàn)證還沒有進(jìn)行；本文方法確定了菱形盒內(nèi)保留的點(diǎn)數(shù)，而點(diǎn)對之間距離的閾值尚沒有加以約定，還需要人工進(jìn)行微調(diào)。

未來工作中，將對單元盒內(nèi)點(diǎn)的距離進(jìn)行定量約束，并使用該方法對多種海域的水深數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

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