趙強松 葉永強 徐國峰 竺明哲 潘 雪

(1.南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院 南京 2100162.中原工學(xué)院電子信息學(xué)院 鄭州 450007)

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改進(jìn)重復(fù)控制在低采樣頻率逆變器中的應(yīng)用

趙強松1，2葉永強1徐國峰1竺明哲1潘 雪1

(1.南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院 南京 2100162.中原工學(xué)院電子信息學(xué)院 鄭州 450007)

針對低采樣頻率逆變器傳統(tǒng)控制方法控制效果不理想的問題，提出采用分?jǐn)?shù)相位超前補償重復(fù)控制(FPLCRC)策略；在分析傳統(tǒng)重復(fù)控制存在問題的基礎(chǔ)上，給出相位超前補償提高控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的原理，根據(jù)逆變器穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差的要求，分別設(shè)計補償環(huán)節(jié)的陷波器、低通濾波器和分?jǐn)?shù)超前拍次，并采用拉格朗日插值方法予以實現(xiàn)；最后通過MATLAB/Simulink進(jìn)行建模和分析，所搭建的逆變器實驗平臺驗證了方法的正確性和可行性。

低采樣頻率 逆變器 重復(fù)控制 分?jǐn)?shù)相位超前補償 拉格朗日插值

0 引言

恒壓恒頻(Constant Voltage Constant Frequency，CVCF)脈寬調(diào)制(Pulse-Width Modulation，PWM)變換器廣泛用于各種工業(yè)場合。非線性負(fù)載及死區(qū)導(dǎo)致的諧波嚴(yán)重影響變換器輸出波形質(zhì)量。

重復(fù)控制(Repettive Control，RC)將重復(fù)信號發(fā)生器作為內(nèi)模置于閉環(huán)系統(tǒng)中，可完全跟蹤周期參考信號或抑制周期擾動信號，實現(xiàn)極低的穩(wěn)態(tài)誤差，目前已應(yīng)用于不間斷電源(UPS)[1，2]、動態(tài)電壓調(diào)節(jié)器(DVR)[3]、有源濾波器(APF)[4]、逆變器[5-8]等場合。

隨著變換器功率等級的提高，為了減少運行損耗，PWM開關(guān)頻率隨之降低，而一般變換器系統(tǒng)的采樣頻率等于或2倍于開關(guān)頻率[9，10]，因此，系統(tǒng)的采樣頻率也會降低。而目前重復(fù)控制在變換器中的良好控制效果都是在高采樣頻率(10 kHz或以上)下取得的[1-8]。但高采樣頻率不僅需要高精度、高速率的傳感器，而且由于控制器需要對采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行實時處理和分析，高采樣頻率還會過多的占用CPU的時間和內(nèi)存資源。因此，如果適當(dāng)降低采樣頻率也能夠取得良好控制效果，將大大節(jié)約系統(tǒng)成本。但采樣頻率的降低將會嚴(yán)重影響變換器輸出波形質(zhì)量，甚至導(dǎo)致重復(fù)控制器不穩(wěn)定。

相位超前補償重復(fù)控制(Phase Lead Compensation Repetitive Control，PLCRC)可補償相位滯后、增加控制帶寬、提高系統(tǒng)跟蹤精度和誤差收斂速度[8，11，12]。但在低采樣頻率變換器中，傳統(tǒng)整數(shù)超前相位補償重復(fù)控制將不能滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的需要。

本文以獨立逆變器為例，針對其低采樣頻率時存在系統(tǒng)不穩(wěn)定的問題，分析整數(shù)相位超前補償重復(fù)控制在低采樣頻率情況下過補償或欠補償?shù)娜毕?，從而引入分?jǐn)?shù)相位超前補償環(huán)節(jié)。進(jìn)而對分?jǐn)?shù)相位超前重復(fù)控制器重新設(shè)計，并給出其設(shè)計步驟和依據(jù)。采用拉格朗日插值理論實現(xiàn)了分?jǐn)?shù)超前拍次的相位補償。最后通過Matlab/Simulink進(jìn)行仿真和分析，并搭建了一臺單相獨立逆變器實驗樣機，驗證了方法的正確性和可行性。

1 單相逆變器數(shù)學(xué)模型

單相獨立逆變器數(shù)學(xué)模型如圖1所示。

圖1 重復(fù)控制逆變器系統(tǒng)

圖1中L為濾波電感，C為濾波電容，r為考慮死區(qū)時間及電感電阻等因素的等效電阻，R為線性負(fù)載，Lr、Cr和Rr構(gòu)成整流負(fù)載，io為輸出電流，iL為電感電流，iC為電容電流，Ed為直流母線電壓，vinv為逆變器輸入電壓。以電感電流和電容電壓為狀態(tài)變量，其連續(xù)狀態(tài)空間方程為

(1)

逆變器輸入電壓vinv與輸出電壓vc之間的傳遞函數(shù)GP(s)為

(2)

2 低采樣頻率下傳統(tǒng)PLCRC存在的問題

目前大多數(shù)逆變器重復(fù)控制策略都是在高采樣頻率下取得良好的控制效果，但在某些應(yīng)用場合，采用較低采樣頻率時，傳統(tǒng)整數(shù)PLCRC(超前環(huán)節(jié)zm中m為整數(shù))將難以滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的要求，主要表現(xiàn)在：

1) 設(shè)計重復(fù)控制器的陷波器時，其諧振頻率難以保證在原系統(tǒng)的諧振點上，造成逆變器諧振峰和陷波器難以“完美”對消，可能造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2)設(shè)計重復(fù)控制器超前環(huán)節(jié)的補償器時，可能無法找到合適的補償拍數(shù)，造成相位過補償或欠補償。

圖2為相位補償環(huán)節(jié)在采樣頻率分別為10 kHz、5 kHz和2.5 kHz時的相頻特性曲線。由圖2可知，不同的采樣頻率，z的相位隨角頻率變化的速度不同。因為z=ejωT，T為采樣周期，相角θ=ωT=ω/f，則采樣頻率越小，相角增長越快。超前環(huán)節(jié)zm中m取整數(shù)時在低采樣頻率下的相位角補償變快，會對GP(s)造成過補償或欠補償，從而使系統(tǒng)魯棒性變差或不穩(wěn)定。

圖2 3種采樣頻率下的相位超前補償環(huán)節(jié)的相頻特性

3 PCLRC的原理

PLCRC系統(tǒng)控制框圖如圖3所示。PLCRC與傳統(tǒng)RC的不同在于被控對象P(z)前引入了補償環(huán)節(jié)S(z)，以補償P(z)的相位滯后以及系統(tǒng)參數(shù)變化等引起的系統(tǒng)不穩(wěn)定。

圖3 PLCRC系統(tǒng)控制圖

圖3中，為了設(shè)計S(z)中相位超前環(huán)節(jié)，將RC內(nèi)模的延時環(huán)節(jié)z-N移到前向通道上。其中kr為重復(fù)控制增益，Q(z)為增強系統(tǒng)穩(wěn)定性而設(shè)計的零相位低通濾波器或常數(shù)。系統(tǒng)的誤差表達(dá)式為

(3)

則系統(tǒng)的穩(wěn)定條件為

(4)

由式(4)可知，相位超前補償環(huán)節(jié)S(z)、增益kr和Q(z)影響系統(tǒng)穩(wěn)定。補償環(huán)節(jié)S(z)分為相位超前補償zm、陷波器S1(z)和低通濾波器S2(z)三部分。設(shè)計S(z)時，先根據(jù)P(z)的幅頻特性選取S1(z)和S2(z)，然后根據(jù)S1(z)S2(z)P(z)的相頻特性選取超前拍次m，使zmS1(z)S2(z)P(z)在中低頻段接近于零相位和零增益。

為了設(shè)計相位超前補償環(huán)節(jié)zm，令

G(z)=S1(z)S2(z)P(z)

則有

S(z)P(z)=zmS1(z)S2(z)P(z)=zmG(z)

(5)

式中G(eiωT)=Mg(eiωT)exp[iθg(eiωT)]， 其中Mg(eiωT)和θg(eiωT)分別為G(eiωT)的幅頻特性和相頻特性。由于Q(z)為零相位，所以Q(eiωT)=Mq(eiωT)。 由式(4)可得

(6)

對式(6)兩邊平方后，整理得

(7)

(8)

由于0≤Mq(eiωT)≤1，則式(8)中右邊的第一項為非負(fù)值，于是kr滿足式(9)。

(9)

只要kr滿足式(9)，就一定滿足式(8)。式(9)成立，則必須滿足

(10)

式(9)和式(10)分別給出了參數(shù)kr和m的選擇范圍。

文獻(xiàn)[11]指出相位補償環(huán)節(jié)對RC系統(tǒng)的整體性能影響最多，因而補償器S(z)=zmS1(z)S2(z)是重復(fù)控制策略設(shè)計的重點，其中zm是設(shè)計的核心。

在傳統(tǒng)相位超前補償重復(fù)控制中，采樣頻率較高，一般在10 kHz以上，此時為了提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，常采用超前相位補償環(huán)節(jié)補償m拍，m為整數(shù)。而當(dāng)采樣頻率降低時，超前補償拍數(shù)m可能變?yōu)榉謹(jǐn)?shù)，此時傳統(tǒng)PLCRC將不能取得良好控制效果。

4 分?jǐn)?shù)相位超前RC的設(shè)計

當(dāng)采樣頻率降低時，高采樣頻率下傳統(tǒng)PLCRC整數(shù)超前補償環(huán)節(jié)zm中的m將變?yōu)榉謹(jǐn)?shù)。本文將這種控制方法稱為分?jǐn)?shù)相位超前重復(fù)控制(Fractional Phase Lead Compensation Repetitive Control，F(xiàn)PLCRC)。

FPLCRC主要有3個參數(shù)需要設(shè)計：增益kr、內(nèi)模參數(shù)Q、分?jǐn)?shù)相位超前補償環(huán)節(jié)。

文獻(xiàn)[13]認(rèn)為kr取值范圍為0

Q犧牲系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差來增加系統(tǒng)穩(wěn)定性，可以為低通濾波器或小于1的常數(shù)。根據(jù)經(jīng)驗取Q=0.95，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差較小且魯棒性好[14]。

分?jǐn)?shù)相位超前補償環(huán)節(jié)設(shè)計分為3步：①陷波器S1(z)設(shè)計；②低通濾波器S2(z)設(shè)計；③超前拍次m設(shè)計。

獨立逆變器的濾波器電感L=1.35 mH，電感等效電阻r=0.1 Ω，濾波電容C=60 μF，采樣周期T=250 μs(即采樣頻率f=4 kHz)時，逆變器在不同線性負(fù)載下的幅頻特性曲線如圖4所示。

由圖4可知，幅頻特性在560 Hz左右存在諧振峰，且不隨負(fù)載阻值的變化而變化。阻值越大諧振峰越尖銳。顯然系統(tǒng)空載時諧振峰最大，此時系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(11)

采用ZOH方法將其離散化，變?yōu)?/p>

(12)

圖4 逆變器在不同負(fù)載時的幅頻特性

4.1 陷波器的設(shè)計

陷波器的目的是用來抵消系統(tǒng)諧振頻率特性的諧振峰。陷波器一般選梳狀濾波器，本質(zhì)為零相位低通濾波器，其表達(dá)式為

(13)

由于系統(tǒng)的諧振頻率為fr=560 Hz，對應(yīng)角頻率ωr=2πfr=3 518 rad/s。由于z=eiωT=eiθ， 則

(14)

令S1(θ)=0， 解得2cosrθ+a=0。 令a=2， 則rθ=π， 所以

為方便實現(xiàn)，r取整數(shù)4。此時，陷波器S1(z)為(z4+2+z-4)/4， 其頻率特性為在頻率fr附近幅值迅速衰減，其他頻率處幅值無衰減或衰減很小，而相頻特性為0，不會引入相位滯后。

4.2 低通濾波器的設(shè)計

低通濾波器S2(z)用于對高頻信號的衰減以增強系統(tǒng)的抗擾動能力。S2(z)引入的相位滯后可用超前環(huán)節(jié)補償。通常選用二階低通濾波器，形式為

(15)

式中：阻尼比ζ選為1；ωn最好選在諧振頻率處，由于整流負(fù)載會帶來奇數(shù)次諧波，所以本文中ωn選在4 084 ras/s處，即13次諧波處。此時

(16)

此時，P(z)得到補償，補償后的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(z)=S1(z)S2(z)P(z)，其伯德圖如圖5所示。由圖5可知，補償后系統(tǒng)的幅頻特性得到提高，諧振峰消失了，高頻處幅值快速衰減，抑制高頻諧波能力增強。補償引起的相位滯后可用相位超前補償環(huán)節(jié)zm改善。

圖5 補償前后系統(tǒng)的bode圖

4.3 分?jǐn)?shù)超前環(huán)節(jié)設(shè)計

由式(10)可知，系統(tǒng)的理想情況是θg(eiωT)+mωT=0， 即補償后的系統(tǒng)zmG(z)的相位為零。根據(jù)實際系統(tǒng)，可確定m的范圍為3～5。當(dāng)m分別為3、4、5時，zmG(z)的奈氏曲線如圖6所示。

圖6 zmG(z)的奈氏曲線(m=3，4，5)

由圖6可知，m分別為3、4、5時對應(yīng)的奈氏曲線都不完全在特征圓(以(1，0)為圓心，1為半徑的圓)內(nèi)。如果m取4和5之間的數(shù)，zmG(z)的奈氏曲線可能完全在特征圓內(nèi)，保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

式(6)中，kr=1，得到

(17)

定義1 如果Qmax表示Q能取得的最大值，式(17)中的Q的穩(wěn)定裕度為Δ，那么

(18)

Δ的意義在于滿足式(18)的所有Q，都能使得系統(tǒng)穩(wěn)定條件(式(6))成立。且Δ大于零，系統(tǒng)穩(wěn)定，穩(wěn)定裕度隨Δ的增大而增大；Δ小于零，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

超前補償環(huán)節(jié)zm中m為分?jǐn)?shù)時，數(shù)字系統(tǒng)無法實現(xiàn)，因此采用拉格朗日插值法利用整數(shù)拍次近似分?jǐn)?shù)拍次。對于m為分?jǐn)?shù)的超前環(huán)節(jié)zm，其N階拉格朗日插值實現(xiàn)公式為

(19)

式中h(n)為系數(shù)，可表示為

(20)

當(dāng)D→N/2，即插值點D靠近采樣數(shù)據(jù)的中心位置時，插值效果最好[15]；N為階次，N越大精度越高，但計算量變大，本文中N取5，此時可得到m=4.1～4.9時zm的拉格朗日插值實現(xiàn)。

圖幅頻特性曲線

根據(jù)式(18)可知

(21)

5 仿真及實驗結(jié)果分析

5.1 仿真

為驗證FPLCRC分析的正確性，在Matlab/Simulink環(huán)境下搭建仿真平臺，參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)仿真參數(shù)Tab.1 Main parameters of simulation system

圖8和圖9為逆變器在空載情況下超前環(huán)節(jié)zm中m分別為4和5時的系統(tǒng)輸出誤差。圖10為相位超前補償z4.5時的誤差響應(yīng)曲線。

圖8 m=4時系統(tǒng)空載輸出誤差

圖9 m=5時系統(tǒng)空載輸出誤差

圖10 m=4.5時系統(tǒng)空載輸出誤差

可見，空載運行時，在整數(shù)相位超前補償環(huán)節(jié)m分別為4和5的情況下逆變器輸出電壓誤差發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定，而在分?jǐn)?shù)相位超前補償環(huán)節(jié)m為4.5時逆變器輸出誤差經(jīng)過約0.2 s變的很小。

圖11為分?jǐn)?shù)超前補償時逆變器在阻性負(fù)載下輸出電壓誤差。此時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差小于2 V，THD僅為0.95%，而且逆變器由空載狀態(tài)到阻性負(fù)載狀態(tài)過渡過程中誤差在0.05 s內(nèi)快速收斂至穩(wěn)定狀態(tài)。

圖11 阻性負(fù)載下誤差響應(yīng)

圖12和圖13分別為逆變器系統(tǒng)接整流負(fù)載時，開環(huán)控制下逆變器輸出電壓和電流波形及電壓波形的FFT分析。由圖13可知，輸出電壓的THD為6.18%，且3、5、7、9、11等奇數(shù)次諧波含量較多。

圖12 無重復(fù)控制時(整流負(fù)載)電壓電流波形

圖13 無重復(fù)控制時輸出電壓FFT分析

圖14和圖15分別為FPLCRC時，逆變器輸出波形和輸出電壓的FFT分析。此時，輸出電壓的THD降為1.28%，且低次諧波明顯得到抑制。

圖14 FPLCRC(整流負(fù)載)電壓電流波形

圖15 FPLCRC(整流負(fù)載)輸出電壓FFT分析

5.2 實驗

為進(jìn)一步驗證FPLCRC理論分析的正確性及有效性，搭建了基于TMS320F2812的數(shù)字處理器的單相逆變器實驗樣機。參考電壓幅值100 V，母線電壓200 V，整流負(fù)載電容1 000 μF，電感0.1 mH，電阻100/6 Ω。

空載情況下，F(xiàn)PLCRC閉環(huán)控制逆變器輸出電壓波形如圖16所示，THD為1.94%。

阻性負(fù)載情況下，F(xiàn)PLCRC逆變器閉環(huán)輸出電壓電流波形如圖17所示。

整流負(fù)載逆變器輸出波形帶來奇次諧波，引起輸出電壓波形畸變。逆變器開環(huán)無重復(fù)控制時，其輸出電壓電流波形如圖18所示，輸出電壓波形波峰處有明顯凹陷，13次及以下奇次諧波大量存在。輸出電流波形為間斷的脈沖狀。

圖16 空載情況下FPLCRC逆變器輸出波形

圖17 阻性負(fù)載情況下FPLCRC逆變器輸出波形

圖18 逆變器開環(huán)控制輸出波形

為減小非線性負(fù)載引起的輸出電壓波形畸變，逆變器加入相位超前補償重復(fù)控制。圖19和圖20為相位超前補償拍數(shù)m分別為4和5時，逆變器輸出波形。

圖19 m=4時逆變器輸出波形

圖20 m=5時逆變器輸出波形

由圖19和圖20可知，由于實驗系統(tǒng)模型與理想模型存在參數(shù)誤差，逆變器系統(tǒng)在整數(shù)PLCRC下是穩(wěn)定的。盡管此時的電壓波形比無重復(fù)控制時有所改善，但逆變器輸出電壓波形仍然畸變較大。

圖21為加入FPLCRC后逆變器輸出電壓電流波形。由圖可知，采用分?jǐn)?shù)相位超前補償重復(fù)控制后，逆變器輸出電壓波形明顯改善，波形畸變率明顯減小，各次諧波含量大幅降低，THD=3.27%。

圖21 m=4.5時逆變器輸出波形

由仿真及實驗結(jié)果可知，無論線性負(fù)載還是非線性負(fù)載，采用FPLCRC時低次奇次諧波大大降低，達(dá)到了理想的控制效果。

6 結(jié)論

針對低采樣頻率時整數(shù)拍數(shù)超前重復(fù)控制導(dǎo)致控制系統(tǒng)不穩(wěn)定的問題，提出了一種改進(jìn)的分?jǐn)?shù)相位超前重復(fù)控制策略。引入了分?jǐn)?shù)相位超前補償環(huán)節(jié)，將相位超前補償拍數(shù)由傳統(tǒng)只能為整數(shù)的情況擴(kuò)大至分?jǐn)?shù)。詳細(xì)分析了分?jǐn)?shù)相位超前補償原理，并給出了控制器的設(shè)計過程。仿真和實驗結(jié)果驗證了所提出控制策略能夠提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，并能有效抑制整流負(fù)載產(chǎn)生的奇次諧波。

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Application of Improved Repetitive Control Scheme to Inverter with Low Sampling Frequency

ZhaoQiangsong1,2YeYongqiang1XuGuofeng1ZhuMingzhe1PanXue1

(1.College of Automation Engineering Nanjing University of Aeronautics &AstronauticsNanjing 210016 China 2.School of Electronic Information Zhongyuan University of Technology Zhengzhou 450007 China)

For the less effectiveness of conventional control methods，this paper proposes the fractional phase lead compensation repetitive control (FPLCRC) scheme.At the basis of analyzing the problems of conventional repetitive control at low sampling frequency，the principle that phase lead compensation can improve the stability of inverter is provided.The notch filter，the low pass filter，and the fractional phase lead compensator are designed，respectively to meet the requirement of the inverter stability and the steady error.Fractional phase lead compensator can be implemented by Lagrange interpolation.MATLAB/Simulink is the model and simulation platform and an inverter experimental platform is used to validate the effectiveness of the proposed control strategy.

Low sampling frequency，inverter，repetitive control，fractional phase lead compensation，Lagrange interpolation

國家自然科學(xué)基金(61473145)、中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金和江蘇省研究生培養(yǎng)創(chuàng)新工程(KYLX_0279)、河南省高等學(xué)校重點科研項目計劃(15A413020)資助。

2014-12-22 改稿日期2015-08-02

TM464

趙強松 男，1982年生，博士研究生，研究方向為逆變器控制，重復(fù)控制理論。

葉永強 男，1972年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為電力電子控制及應(yīng)用控制理論。(通信作者)