趙 寧，秋朋園，劉貴立

(西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，陜西西安 710072)

人字齒輪傳動(dòng)具有承載能力高、工作平穩(wěn)性好、自平衡軸向力等優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用于航空、航天、船舶等領(lǐng)域。國(guó)外先進(jìn)直升機(jī)已將人字齒輪傳動(dòng)應(yīng)用于其主減速器，以實(shí)現(xiàn)大功率的“分扭-并車”傳動(dòng)。

高重合度人字齒輪副在嚙合傳動(dòng)過程中，同時(shí)參與嚙合的齒數(shù)至少有兩對(duì)，單對(duì)齒上承受的載荷較小。Sivakumar［1］等對(duì)高重合度齒輪與普通齒輪進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果顯示高重合度齒輪無論在使用壽命、可靠性還是承載能力方面都具有較大的優(yōu)勢(shì)。但高重合度齒輪對(duì)誤差激勵(lì)、剛度激勵(lì)及嚙合沖擊激勵(lì)也較為敏感，因此，在對(duì)人字齒輪進(jìn)行高重合度設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，綜合考慮齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)性能，對(duì)人字齒輪副進(jìn)行綜合性能優(yōu)化就顯得尤為重要。

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)齒輪傳動(dòng)的靜態(tài)性能優(yōu)化設(shè)計(jì)研究得較多，理論較為成熟，對(duì)于動(dòng)態(tài)性能的優(yōu)化設(shè)計(jì)則研究得較少。杜雪松、朱才朝等考慮齒輪副的時(shí)變嚙合剛度、嚙合阻尼及輪齒的綜合誤差［2］，建立了船用齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，以齒輪的振動(dòng)加速度和質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)對(duì)船用齒輪的齒數(shù)、螺旋角及變位系數(shù)進(jìn)行了多目標(biāo)動(dòng)態(tài)優(yōu)化。張慶偉等考慮時(shí)變嚙合剛度、嚙合誤差以及風(fēng)速變化引起的外載荷波動(dòng)，建立了風(fēng)力發(fā)電機(jī)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的集中參數(shù)模型，以各構(gòu)件的振動(dòng)加速度和系統(tǒng)體積/質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)［3］，設(shè)計(jì)齒輪的齒數(shù)、模數(shù)、齒寬。Wusanpan［4］分析了斜齒輪的螺旋角、壓力角、齒頂高系數(shù)等對(duì)齒輪傳動(dòng)重合度及動(dòng)態(tài)應(yīng)力的影響，以齒輪的幾何尺寸緊湊及動(dòng)態(tài)應(yīng)力最小為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)輪齒參數(shù)進(jìn)行了設(shè)計(jì)。Reagor［5］分析了不同載荷作用下斜齒輪副的變形及齒輪傳動(dòng)誤差，設(shè)計(jì)輪齒的齒廓修形量來優(yōu)化齒輪副的傳動(dòng)誤差。但目前為止，動(dòng)態(tài)優(yōu)化的研究對(duì)象多為斜齒輪，對(duì)人字齒輪的動(dòng)態(tài)特性優(yōu)化還鮮有相關(guān)的研究。

本文提出的人字齒輪動(dòng)態(tài)特性的優(yōu)化基于人字齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方面已經(jīng)取得了很多成果，但對(duì)人字齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究一般將人字齒輪簡(jiǎn)化為直齒輪考慮，忽略兩端軸向力，且在建模過程中未全面考慮人字齒輪左右端斜齒輪之間的相互影響及輪齒的安裝及制造誤差等因素。大量研究指出，對(duì)斜齒圓柱齒輪進(jìn)行齒廓修形和齒向修形可大大降低齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，有效地改善齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但目前對(duì)考慮修形的人字齒輪動(dòng)力學(xué)分析還未有深入研究。因此，建立和完善人字齒輪齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)的理論和方法，進(jìn)一步提高齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的綜合傳動(dòng)性能水平有重要意義。

本文在對(duì)航空人字齒輪進(jìn)行高重合度設(shè)計(jì)分析的前提下，基于拋物線修形人字齒輪副承載接觸分析技術(shù)，綜合考慮了時(shí)變嚙合剛度、誤差激勵(lì)和嚙合沖擊激勵(lì)等因素的影響，針對(duì)人字齒輪傳動(dòng)中主動(dòng)小齒輪軸向浮動(dòng)安裝的特點(diǎn)，應(yīng)用集中質(zhì)量法建立了人字齒輪副彎-扭-軸耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型，考慮了人字齒輪軸向浮動(dòng)和左右兩輪間相互作用對(duì)人字齒輪傳動(dòng)性能的影響，求解得到了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。針對(duì)傳統(tǒng)遺傳算法在解決該類復(fù)雜的工程問題時(shí)適應(yīng)值計(jì)算費(fèi)時(shí)的缺點(diǎn)，提出了一種具有適應(yīng)值預(yù)測(cè)機(jī)制的遺傳算法(Fitness Approximation Genetic Algorithm，F(xiàn)AGA)，大大提高了優(yōu)化的效率。基于動(dòng)態(tài)特性的分析結(jié)果，采用改進(jìn)的遺傳算法對(duì)人字齒輪傳動(dòng)的重合度及動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化所得結(jié)果是一個(gè)非劣解。最終在人字齒輪減振降噪試驗(yàn)臺(tái)上對(duì)優(yōu)化前后的人字齒輪進(jìn)行了帶載試驗(yàn)，對(duì)比了優(yōu)化前后齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)中的噪音分貝值。

1 人字齒輪傳動(dòng)高重合度設(shè)計(jì)分析

重合度越大，意味著同時(shí)參與嚙合的輪齒對(duì)數(shù)越多，對(duì)提高齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性和承載能力有著重要意義。圓柱齒輪傳動(dòng)的重合度計(jì)算公式可參考文獻(xiàn)［6］。齒頂高系數(shù)及螺旋角對(duì)重合度的影響比較顯著，增加齒頂高系數(shù)可以得到較大的端面重合度εα，但齒頂高系數(shù)的增加必然會(huì)導(dǎo)致齒頂厚的減小。

人字齒輪可以看作是由兩個(gè)旋向相反的斜齒輪構(gòu)成，小齒輪采用浮動(dòng)結(jié)構(gòu)，可自相平衡傳動(dòng)時(shí)產(chǎn)生軸向力，因此可以采用較大的螺旋角來增大齒輪傳動(dòng)的軸向重合度 εβ，一般取 25°～40°之間。

變位系數(shù)對(duì)齒輪重合度有一定的影響，本文主要針對(duì)航空人字齒輪進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，考慮到航空用人字齒輪對(duì)結(jié)構(gòu)緊湊性的要求，本文在設(shè)計(jì)過程中，對(duì)人字齒輪采用等變位齒輪傳動(dòng)，小齒輪采用正變位，大齒輪采用負(fù)變位，在控制齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)幾何尺寸的同時(shí)提高齒輪傳動(dòng)的承載能力。

2 人字齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析

機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)和噪聲大部分來源于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)工作時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)，齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為對(duì)齒輪裝置的整體性能有著重要的影響。

2．1 齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)激勵(lì)

系統(tǒng)輸入激勵(lì)的確定是進(jìn)行系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析的先決條件，也是正確計(jì)算系統(tǒng)振動(dòng)和噪聲的關(guān)鍵問題之一。

2．1．1 剛度激勵(lì)

一般情況，齒輪嚙合的重合度不是整數(shù)，因而，齒輪嚙合的綜合剛度是隨時(shí)間周期變化的。

本文將有限元法、柔度矩陣及非線性規(guī)劃等相結(jié)合，基于有限元綜合柔度矩陣的非線性規(guī)劃法，針對(duì)人字齒輪均載傳動(dòng)的特點(diǎn)，建立了考慮拋物線修形的人字齒輪承載接觸仿真模型［7-12］，利用人字齒輪承載接觸分析，計(jì)算得到一個(gè)嚙合周期內(nèi)不同嚙合位置的接觸力和接觸變形，從而得到該位置的嚙合剛度。將計(jì)算得到的嚙合剛度的離散值通過多項(xiàng)式擬合及Fourier級(jí)數(shù)變換轉(zhuǎn)化為周期函數(shù)的形式。航空人字齒輪由于其特殊應(yīng)用，傳動(dòng)較為平穩(wěn)，計(jì)算得到的剛度激勵(lì)幅值較小。

2．1．2 誤差激勵(lì)

輪齒嚙合誤差是由輪齒加工誤差和安裝誤差引起的。本次人字齒輪的動(dòng)力學(xué)建模過程中考慮齒輪嚙合輪齒間的齒形誤差及基節(jié)誤差。根據(jù)齒輪加工精度等級(jí)，通過查齒輪手冊(cè)相關(guān)誤差，從而合成系統(tǒng)的等效誤差。航空人字齒輪制造及安裝等級(jí)要求較高，系統(tǒng)等效誤差較小。

2．1．3 嚙合沖擊激勵(lì)

齒輪嚙合過程中，由于齒輪的誤差和受載彈性變形，使一對(duì)輪齒在進(jìn)入及退出嚙合時(shí)，其嚙入點(diǎn)和嚙出點(diǎn)偏離嚙合線上的理論嚙合點(diǎn)，引起嚙合沖擊。由于輪齒嚙入沖擊的影響明顯大于嚙出沖擊，因此本文著重考慮嚙入沖擊激勵(lì)。根據(jù)齒輪嚙合原理和機(jī)械動(dòng)力學(xué)理論，確定初始嚙合位置、沖擊速度及嚙入沖擊力，最終得到一個(gè)嚙合周期內(nèi)人字齒輪副的嚙入沖擊激勵(lì)。

2．2 人字齒輪副嚙合耦合型振動(dòng)模型

根據(jù)人字齒輪均載傳動(dòng)的特點(diǎn)，大人字齒輪采用固定安裝，主動(dòng)小輪采用軸向浮動(dòng)安裝。建模過程中考慮了人字齒輪軸向浮動(dòng)及人字齒輪左右兩輪間的相互影響作用［13］。其中傳動(dòng)軸、軸承和箱體的支撐剛度和阻尼均用組合等效值代替。采用集中參數(shù)法建立了人字齒輪副彎-扭-軸耦合的振動(dòng)分析模型如圖1所示。

不考慮齒面摩擦的影響，該系統(tǒng)為12自由度動(dòng)力學(xué)模型，系統(tǒng)的廣義位移列陣{δ}可表示為，

式中，yij，zij和)分別為主、從動(dòng)人字齒輪左右端斜齒輪的中心點(diǎn)Op1，Op2和Og1，Og2在y向，z向的平移振動(dòng)位移和轉(zhuǎn)角振動(dòng)位移。

圖1 人字齒輪彎-扭-軸耦合的振動(dòng)分析模型Fig．1 Bending-torsional-axial coupling dynamic model

圖 1 所示的模型中:kp1y，kp2y，kg1y，kg2y為組合等效支撐剛度;cp1y，cp2y，cg1y，cg2y為組合等效支撐阻尼;kg1z，kg2z為大齒輪的軸向支撐剛度;cg1z，cg2z為大齒輪的軸向支撐阻尼。kgz，kpz為大小齒輪軸的軸向拉伸(壓縮)剛度;cgz，cpz為軸的軸向拉伸(壓縮)剛度。

根據(jù)牛頓力學(xué)定律，圖1所示的人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為:式中:mp，mg，Ip1，Ip2，Ig1，Ig2分別為人字齒輪左右端小齒輪和大齒輪的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Rp1，Rp2，Rg1，Rg2為人字齒輪左右端小齒輪和大齒輪的分度圓半徑;Fyp1，F(xiàn)yp2，F(xiàn)z1，F(xiàn)yg1，F(xiàn)yg2，F(xiàn)z2分別為人字齒輪左右端斜齒輪的輪齒嚙合切向及軸向動(dòng)態(tài)嚙合力。

將齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程進(jìn)行合并，定義量綱時(shí)間t=τωn，同時(shí)引入一個(gè)人為設(shè)定的位移標(biāo)稱尺度bc，對(duì)上述人字齒輪運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行無量綱化處理，可得系統(tǒng)的無量綱化運(yùn)動(dòng)微分方程如下所示。

2．3 人字齒輪耦合振動(dòng)模型求解

齒輪振動(dòng)以輪齒的嚙合周期為周期，為了便于利用數(shù)值積分方法來求解運(yùn)動(dòng)微分方程，對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程組進(jìn)行降階處理。本文采用MATLAB的ODE45數(shù)值方法進(jìn)行求解，根據(jù)降階處理后的一階微分方程組，編寫計(jì)算導(dǎo)數(shù)的ODE函數(shù)文件，該方法采用的數(shù)值積分方法是四階～五階Runge-Kutta算法。

初始位移由平均負(fù)載下的系統(tǒng)靜態(tài)變形確定，初始速度由系統(tǒng)的理論轉(zhuǎn)速確定，這里將初始速度置“0”。靜變形的位移條件較接近穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的彈性變形，速度初值置“0”，剔除了系統(tǒng)中的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)成分，只剩下振動(dòng)分量，因此能較好地求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

考慮初始計(jì)算值的不穩(wěn)定性，將開始計(jì)算獲得的數(shù)百個(gè)周期的響應(yīng)略去。為使得求解結(jié)果更為直觀，將計(jì)算得到的無量綱結(jié)果還原為實(shí)際的計(jì)算結(jié)果，求解獲得人字齒輪副在嚙合周期內(nèi)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

3 動(dòng)態(tài)性能優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

3．1 設(shè)計(jì)變量

設(shè)計(jì)變量的選取中，首先應(yīng)考慮所選取的設(shè)計(jì)變量應(yīng)對(duì)齒輪的動(dòng)態(tài)性能影響較大;其次，結(jié)合本文第一節(jié)關(guān)于航空人字齒輪的高重合度設(shè)計(jì)的分析，考慮航空齒輪減重降噪的特殊要求。因此，本次優(yōu)化設(shè)計(jì)中，采用增加齒頂高系數(shù)、增大螺旋角的方法來提高人字齒輪傳動(dòng)總重合度εγ，同時(shí)采用等變位齒輪傳動(dòng)，小齒輪采用正變位，大齒輪采用負(fù)變位，既控制了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的幾何尺寸，同時(shí)也提高了齒輪傳動(dòng)的承載能力。

大量研究指出，剛度激勵(lì)和沖擊激勵(lì)是引起輪齒嚙合線方向振動(dòng)的主要因素，對(duì)斜齒圓柱齒輪進(jìn)行齒廓修形和齒向修形可大大降低齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。在動(dòng)力學(xué)分析中主要表現(xiàn)為對(duì)齒輪進(jìn)行修形，改變了齒輪傳動(dòng)過程中的嚙合剛度及沖擊激勵(lì)，從而有效地改善齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

考慮到輪齒的修形是通過改變刀具切削刃的形狀實(shí)現(xiàn)的，刀具的拋物線齒廓易于加工，且試驗(yàn)證明對(duì)漸開線圓柱齒輪采取拋物線形齒廓修形能有效改善齒輪嚙合性能［14-15］，因此，本文在齒廓修形設(shè)計(jì)中，齒條齒廓采用拋物線代替直線齒廓。齒條齒廓拋物線修形方程的表達(dá)式為:

A，B為齒條齒廓拋物線修形的二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，即確定齒廓修形的修形程度及修形頂點(diǎn)。

為了改善工作狀態(tài)下的齒面載荷分布不均，齒向采用沿分度圓螺旋線方向的拋物線修形。齒向拋物線修形方程的表達(dá)式為:

C為人字齒輪齒向拋物線修形二次項(xiàng)系數(shù)，修形頂點(diǎn)齒向位于單側(cè)斜齒輪齒寬中點(diǎn)處。

同時(shí)考慮到設(shè)計(jì)制造的經(jīng)濟(jì)性，將嚙合齒輪的變形量都集中反映在小齒輪上，僅對(duì)小齒輪進(jìn)行齒廓及齒向的拋物線修形。實(shí)際加工中，若不采用改變刀具切削刃的形狀進(jìn)行修形，只要將修形參數(shù)換算為相同的輪齒齒廓及齒向修形量，即可達(dá)到預(yù)期的效果［16-17］。綜上所述，本次優(yōu)化設(shè)計(jì)所選擇的設(shè)計(jì)變量為:

其中:β為螺旋角;xn1為法面變位系數(shù);h*an為法面齒頂高系數(shù)。

3．2 目標(biāo)函數(shù)

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)噪聲與振動(dòng)加速度的均方根值成正比，它反映齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。研究表明齒輪副嚙合線上相對(duì)振動(dòng)加速度和齒輪軸向振動(dòng)加速度是引起齒輪振動(dòng)噪聲的主要原因［17］。通過對(duì)人字齒輪動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行求解分析，可知人字齒輪左右兩端齒輪副的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線具有相似的形式，計(jì)及人字齒輪的特殊結(jié)構(gòu)及兩端齒輪副的相互影響，動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線僅有微弱的差別。本文采用人字齒輪左側(cè)齒輪在一個(gè)嚙合周期內(nèi)齒輪沿嚙合線方向振動(dòng)加速度的均方根值作為齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能最優(yōu)設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù):

3．3 約束條件

為了保證齒輪副傳動(dòng)的連續(xù)性與平穩(wěn)性，防止發(fā)生邊緣接觸時(shí)齒輪副運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)振動(dòng)性，對(duì)人字齒輪進(jìn)行強(qiáng)度約束，膠合約束及滑動(dòng)率約束等。同時(shí)，對(duì)最大動(dòng)載荷、輪齒剛度變化幅值等動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)均進(jìn)行約束。將齒輪傳動(dòng)的設(shè)計(jì)重合度放在約束條件中，保證優(yōu)化過程中重合度提高。

3．4 優(yōu)化方法

本次優(yōu)化方案中，優(yōu)化變量為齒輪副的設(shè)計(jì)參數(shù)，優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為人字齒輪副傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)求解結(jié)果，兩者之間無法直接建立解析表達(dá)式，且該優(yōu)化問題在優(yōu)化所得的解空間內(nèi)存在多個(gè)局部最優(yōu)解，因此傳統(tǒng)的優(yōu)化算法對(duì)于此類問題的求解并不適用。

遺傳算法是一種借鑒生物界自然選擇和自然遺傳機(jī)制的人工智能型方法［18］。對(duì)于一些用傳統(tǒng)優(yōu)化算法難以有效解決的問題，應(yīng)用遺傳算法是一個(gè)卓有成效的新途徑。

由于本文優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算過程復(fù)雜，包括人字齒輪承載接觸分析，非線性動(dòng)力學(xué)微分方程的求解等，應(yīng)用傳統(tǒng)的遺傳算法導(dǎo)致尋優(yōu)過程中計(jì)算適應(yīng)值極其耗時(shí)。因此，本文提出了一種具有適應(yīng)值預(yù)測(cè)機(jī)制的遺傳算法(Fitness Approximation Genetic Algorithm，F(xiàn)AGA)。該算法包含一種基于可信度概念的適應(yīng)值預(yù)測(cè)模型，可以根據(jù)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度自適應(yīng)地調(diào)整預(yù)測(cè)的時(shí)機(jī)和頻率，在預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度和預(yù)測(cè)頻率之間反復(fù)博弈，最終獲得二者之間的平衡，從而在保證結(jié)果準(zhǔn)確性的前提下，最大程度上減少真實(shí)適應(yīng)值的計(jì)算次數(shù)，提高計(jì)算效率。

3．4．1 基于可信度的適應(yīng)值預(yù)測(cè)模型

1)可信度及適應(yīng)值共享半徑

對(duì)于種群中的每一個(gè)個(gè)體i，都有其對(duì)應(yīng)的適應(yīng)值fitness(i)以及該適應(yīng)值的可信度R(i)。當(dāng)fitness(i)是真實(shí)計(jì)算的適應(yīng)值時(shí)，其可信度R(i)=1;當(dāng)fitness(i)是預(yù)測(cè)的值時(shí)，其可信度0≤R(i)＜1。

如圖2所示，對(duì)于種群中的每一個(gè)個(gè)體i，指定其適應(yīng)值共享半徑rshare，解空間中到個(gè)體i的無量綱歐氏距離不大于適應(yīng)值共享半徑rshare的區(qū)域稱作個(gè)體i的適應(yīng)值共享區(qū)域，記作Ωi。

圖2 適應(yīng)值共享區(qū)域Fig．2 Shared region of fitness

本文在計(jì)算中采用一種自適應(yīng)的適應(yīng)值共享半徑計(jì)算方法，具體公式參考文獻(xiàn)［19］。

2)適應(yīng)值計(jì)算方法

假設(shè)個(gè)體i的適應(yīng)值共享區(qū)域Ωi中包含m個(gè)其他個(gè)體，這m個(gè)個(gè)體組成集合S={s1，s2，…，sm}。則個(gè)體i的適應(yīng)值fitness(i)計(jì)算方法如下:

首先按式(28)計(jì)算個(gè)體 i的預(yù)測(cè)可信度R(i)。

式中:sj表示Ωi中包含的一個(gè)個(gè)體，R(sj)表示sj的可信度，ω(sj)表示sj對(duì)個(gè)體i可信度的貢獻(xiàn)權(quán)重。設(shè)集合S中每個(gè)個(gè)體到個(gè)體i的無量綱歐氏距離分別為ˉd1，ˉd2，…，ˉdm，則ω(sj)可由式(29)計(jì)算得到。

式中:α為權(quán)重放縮系數(shù)。

如圖3所示，判斷可信度R(i)是否超過信任閾值R*，若R(i)≥R*，則按照式(30)預(yù)測(cè)個(gè)體i的適應(yīng)值;否則R(i)＜R*，計(jì)算個(gè)體i的真實(shí)適應(yīng)值，并將其適應(yīng)值可信度R(i)置為1。

3)歷史種群更新及可信度流失

為了防止歷史種群信息的規(guī)模過于龐大而導(dǎo)致空間復(fù)雜度和計(jì)算量的增大，每一代進(jìn)化完成后，需要剔除冗余的數(shù)據(jù)，因此引入種群個(gè)體冗余度的概念來判別數(shù)據(jù)是否冗余。數(shù)據(jù)庫中某個(gè)個(gè)體i的冗余度Ir定義為:

圖3 適應(yīng)值預(yù)測(cè)模型Fig．3 Predictionmodel of fitness

式(31)中Δˉxk(i)表示在設(shè)計(jì)空間的第k維上，個(gè)體i的前一個(gè)投影點(diǎn)與后一個(gè)投影點(diǎn)的坐標(biāo)差值(取絕對(duì)值)。當(dāng)某個(gè)體的冗余度小于給定閾值I*r時(shí)，該個(gè)體即被剔除。此外，隨著種群的逐代進(jìn)化，具有預(yù)測(cè)適應(yīng)值的個(gè)體可信度應(yīng)該逐漸下降。設(shè)具有預(yù)測(cè)適應(yīng)值的個(gè)體i在第t代的可信度為R(i，t)，則第t+1代的可信度R(i，t+1)可由式(32)更新得到。

式中，β稱作可信度流失速率因子，且0＜β＜1

當(dāng)個(gè)體的可信度R(i，t)下降到低于閾值R0時(shí)，該適應(yīng)值不再可信，須從歷史種群數(shù)據(jù)庫中剔除。

4)適應(yīng)值預(yù)測(cè)算法流程

S1:初始化歷史種群數(shù)據(jù)庫，初始種群置空，適應(yīng)值置0，可信度置0;

S2:對(duì)于個(gè)體i，劃定其適應(yīng)值共享區(qū)域Ωi，在歷史種群數(shù)據(jù)庫中找出Ωi包含的個(gè)體的集合S;

S3:按照式(28)計(jì)算個(gè)體i的適應(yīng)值預(yù)測(cè)可信度R(i)，判斷若R(i)≥R*，則按照式(28)預(yù)測(cè)個(gè)體i的適應(yīng)值;否則，計(jì)算個(gè)體i的真實(shí)適應(yīng)值，并置其適應(yīng)值可信度R(i)為1;

S4:將個(gè)體i添加到歷史種群數(shù)據(jù)庫中;

S5:判斷當(dāng)前種群中是否每個(gè)個(gè)體都已經(jīng)計(jì)算了適應(yīng)值，是則轉(zhuǎn)S6，否則轉(zhuǎn)S2;

S6:對(duì)歷史種群數(shù)據(jù)庫進(jìn)行如下更新:1)計(jì)算所有個(gè)體的冗余度Ir，剔除所有冗余個(gè)體;2)對(duì)于所有具有預(yù)測(cè)適應(yīng)值的個(gè)體，按照式(32)更新其可信度R，剔除所有不可信個(gè)體。

3．4．2 算法的有效性驗(yàn)證

數(shù)值實(shí)驗(yàn)的目的為:測(cè)試算法的有效性，即測(cè)試該算法能多大程度地減少真實(shí)適應(yīng)值的評(píng)價(jià)次數(shù)。采用文獻(xiàn)［20］中的 3個(gè)基準(zhǔn)函數(shù):(f1)Goldstein-Price，(f2)Six-Hump Camel-Back，(f3)Shekel’s Foxholes，對(duì)其進(jìn)行測(cè)試。每個(gè)問題獨(dú)立運(yùn)行20次，測(cè)試結(jié)果如表1所示。

表1 算法有效性測(cè)試結(jié)果Tab．1 Validity test of algorithm

其中:“Max．Num”和“Eval．Num”分別表示真實(shí)適應(yīng)值的最大可能計(jì)算次數(shù)和實(shí)際計(jì)算的平均次數(shù)，“Percentage”表示真實(shí)適應(yīng)值計(jì)算的平均比例。

由表1可知，本文提出的預(yù)測(cè)模型大大減少真實(shí)適應(yīng)值的計(jì)算次數(shù)，三個(gè)測(cè)試函數(shù)分別減少了64．162%，62．197%和 63．940%的適應(yīng)值平均計(jì)算次數(shù)。這意味著，在適應(yīng)值函數(shù)計(jì)算非常耗時(shí)的情況下，應(yīng)用FAGA節(jié)省了大約2/3的計(jì)算時(shí)間。

圖4為高重合度人字齒輪動(dòng)態(tài)特性優(yōu)化流程圖。

圖4 高重合度人字齒輪動(dòng)態(tài)特性優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖Fig．4 Flow chart of optimization for dynamic performance of double helical gearswith high contact ratio

4 優(yōu)化實(shí)例及結(jié)果分析

考慮某航空用單級(jí)人字齒輪傳動(dòng)，大、小齒輪材料相同，滲碳淬火，5級(jí)精度。齒輪基本參數(shù)如表2所示。

遺傳算法參數(shù)設(shè)置如下:種群大小為100，最大進(jìn)化代數(shù)為50代，交叉概率為0．8，變異概率為0．3，共享半徑壓縮因子為0．2，可信度閾值為0．6，冗余度閾值為1E-7。

遺傳算法全局優(yōu)化后得到適應(yīng)度值曲線圖如圖5所示。

圖5 遺傳算法全局優(yōu)化適應(yīng)度值Fig．5 Fitness value of genetic algorithm optimization

圖5 中，單代平均適應(yīng)度值是指優(yōu)化進(jìn)行每一代所有個(gè)體適應(yīng)度值的平均值，它反映了這一代所有個(gè)體與全局最優(yōu)解的趨近程度，單代最大適應(yīng)度值則代表了本代個(gè)體適應(yīng)度值的最大值，它反映了一代內(nèi)的局部最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值。

觀察適應(yīng)度值曲線可以看出，兩曲線在總體變化趨勢(shì)上基本保持了一致性，優(yōu)化開始單代平均適應(yīng)度值與單代最大適應(yīng)度值迅速增加，優(yōu)化至25代后，平均適應(yīng)度值與最大適應(yīng)度值均不再提高，迭代過程快速收斂，表明了本文提出的改進(jìn)遺傳算法——FAGA的有效性。

將優(yōu)化所得方案與原始設(shè)計(jì)進(jìn)行對(duì)比，具體參數(shù)如表2所示。

表2 優(yōu)化前后齒輪參數(shù)Tab．2 Comparison of gear parameters before and after optimization

優(yōu)化前后人字齒輪副沿嚙合線方向及軸向的振動(dòng)加速度響應(yīng)曲線分別如圖6和圖7所示。

圖6 優(yōu)化前后人字齒輪振動(dòng)加速度響應(yīng)(圓周方向)Fig．6 Comparison of vibration acceleration response before and after optimization(circumferential direction)

圖7 優(yōu)化前后人字齒輪振動(dòng)加速度響應(yīng)(軸向)Fig．7 Comparison of vibration acceleration response before and after optimization(axial direction)

由表2可以看出，通過本次優(yōu)化設(shè)計(jì)，人字齒輪的總重合度較優(yōu)化前提高了約14．6%，端面重合度較優(yōu)化前提高了23．4%，齒輪傳動(dòng)較之前更加平穩(wěn)。觀察優(yōu)化前后人字齒輪的振動(dòng)加速度響應(yīng)曲線圖可以看出，經(jīng)動(dòng)態(tài)特性優(yōu)化后，齒輪傳動(dòng)的沿嚙合線方向及軸向的振動(dòng)加速度值明顯降低，說明同時(shí)采用齒廓修形和齒向修形降低了齒輪傳動(dòng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和軸向振動(dòng)。優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)即人字齒輪副沿嚙合線方向的振動(dòng)加速度均方根值下降了約33%。

5 人字齒輪傳動(dòng)動(dòng)態(tài)試驗(yàn)

由于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)噪聲與振動(dòng)加速度的均方根值成正比。因此，本文對(duì)優(yōu)化后的兩組齒輪進(jìn)行了噪音水平檢測(cè)。

將加工的齒輪在高速齒輪減振降噪試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行帶載試驗(yàn)，試驗(yàn)臺(tái)采用功率開放型齒輪試驗(yàn)裝置，由原動(dòng)機(jī)、受試驗(yàn)的齒輪裝置和耗能負(fù)載裝置三部分組成，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，操作簡(jiǎn)便。試驗(yàn)臺(tái)的主要技術(shù)參數(shù)如下:直流調(diào)速電機(jī)的額定功率為200kW;直流調(diào)速電機(jī)的轉(zhuǎn)速范圍為300～1200r/min;試驗(yàn)臺(tái)的最大封閉功率為2200kW;傳動(dòng)齒輪箱速比為 1∶3．322。

噪聲測(cè)試分析系統(tǒng)主要包括傳聲器、放大器、噪聲采集系統(tǒng)、聲級(jí)計(jì)和磁帶記錄儀等。分析系統(tǒng)組成如圖8所示。

圖8 噪聲測(cè)試分析系統(tǒng)組成框圖Fig．8 Block diagram of noise test and analysis system

在試驗(yàn)齒輪箱的右側(cè)及箱體后方距離測(cè)量表面1m處，共布置6個(gè)傳聲器，分別測(cè)量了動(dòng)態(tài)性能優(yōu)化前后在2000N·m及1000N·m扭矩作用下，電機(jī)轉(zhuǎn)速分別為 500r/min，750r/min，1000r/min時(shí)，6個(gè)測(cè)點(diǎn)上人字齒輪試驗(yàn)箱的空氣噪音分貝值，將每個(gè)測(cè)點(diǎn)上獲得的三組噪聲測(cè)量值取平均值，計(jì)算得到兩種扭矩作用下噪音均值分別如表3、表4所示。

表3 優(yōu)化前后齒輪副噪音水平(2000N·m)Tab．3 Comparison of gear noise value before and after optimization(2000N·m)

表4 優(yōu)化前后齒輪副噪音水平(1000N·m)Tab．4 Comparison of gear noise value before and after optimization(1000N·m)

對(duì)比人字齒輪副動(dòng)態(tài)性能優(yōu)化前后的噪音分貝值，可以看出兩種扭矩作用下，優(yōu)化后齒輪傳動(dòng)的平均噪音水平下降了約5～7dB，試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步說明了對(duì)人字齒輪副進(jìn)行動(dòng)態(tài)性能優(yōu)化設(shè)計(jì)取得了良好的減振降噪效果。

6 結(jié)論

1)綜合考慮了齒輪傳動(dòng)時(shí)變嚙合剛度、誤差激勵(lì)和嚙合沖擊激勵(lì)等因素，基于人字齒輪副承載接觸分析技術(shù)，針對(duì)人字齒輪主動(dòng)齒輪軸向浮動(dòng)的特點(diǎn)，應(yīng)用集中質(zhì)量法建立了考慮修形的人字齒輪副彎-扭-軸耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型，求解得到了人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)加速度響應(yīng)。

2)針對(duì)傳統(tǒng)遺傳算法在計(jì)算復(fù)雜工程問題時(shí)適應(yīng)值計(jì)算費(fèi)時(shí)的缺點(diǎn)，提出了一種具有適應(yīng)值預(yù)測(cè)機(jī)制的遺傳算法——FAGA，以適應(yīng)值的共享預(yù)測(cè)取代真實(shí)適應(yīng)值的計(jì)算，提高了優(yōu)化效率。

3)在對(duì)齒輪進(jìn)行高重合度設(shè)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，以人字齒輪左側(cè)齒輪沿嚙合線方向的振動(dòng)加速度均方根值作為最優(yōu)設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)，采用FAGA對(duì)齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。實(shí)例表明，對(duì)人字齒輪進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性優(yōu)化后，齒輪傳動(dòng)重合度增大的同時(shí)，齒輪嚙合線方向的振動(dòng)加速度均方根值降低了約33%。

4)通過試驗(yàn)，對(duì)比優(yōu)化前后兩種扭矩作用下齒輪的噪音分貝值，可以看出優(yōu)化后噪音分貝值下降了5～7dB，進(jìn)一步說明了本文提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對(duì)改善人字齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)性能，減小齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)及噪音具有一定的意義。

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