●曹鳳山(余杭高級中學(xué)浙江杭州311100)

對數(shù)學(xué)高考一題多空填空題命制的探討

●曹鳳山(余杭高級中學(xué)浙江杭州311100)

填空題被稱為數(shù)學(xué)高考命題的“試驗田”，其命題形式、內(nèi)容等方面都處在不斷變革和完善之中，一題多空是命題技術(shù)創(chuàng)新的形式之一.2004年北京市數(shù)學(xué)高考試卷中開始出現(xiàn)一題兩空，一些省市(如湖南、湖北、廣東、天津等)相繼引入這種題型.

1 一題多空是對填空題題型功能的進(jìn)一步優(yōu)化與完善

填空題通過提供一個不完整的敘述，讓考生根據(jù)要求填寫空缺的部分(定量或者定性)，形成一個正確的命題，填寫內(nèi)容可以是條件，也可以是結(jié)論，命題形式比較靈活，主要考查基本概念、基本技能.

填空題與選擇題同屬客觀題，題型的特點與功能都很突出.如試題形式簡潔，考查針對性強(qiáng)、單題立意鮮明;評分客觀、快捷，定量化的試題還可以考慮計算機(jī)輔助閱卷;單題知識點有效控制，一組試題又有比較理想的知識覆蓋率等.

相比選擇題，填空題沒有備選項，既沒有提示，又避免了干擾，能更真實地反映學(xué)生的客觀水平，顯示出這種題型在考查雙基方面的優(yōu)勢.相對于解答題，由于不顯示解題步驟，沒有過程分，一筆失誤與根本不會的結(jié)果沒有任何區(qū)別，填空題也成為考生最頭疼的題型之一，得分率相對較低，區(qū)分度也受到一定影響.另外，一題一空的填空形式，命題時考查的知識點數(shù)量與考查深度必須嚴(yán)格控制，如求解的過程宜短，不宜超過3步，否則難以保證信度，也勢必降低區(qū)分度.一題多空形式在發(fā)揮一題一空題型優(yōu)勢的同時，設(shè)立“中間站”，體現(xiàn)局部結(jié)果，部分彌補(bǔ)了填空題的不足:一方面可以增加考查內(nèi)容，擴(kuò)大知識覆蓋面，一個主題下分解成2個(或者更多)答題點，考查更多的雙基，考生可以更加“知無不言”，避免沒有步驟造成考生一筆寫錯，整體失分，更真實地反映客觀水平;另一方面，對于難度較大的試題，一些學(xué)生“分步得分”，體現(xiàn)考生之間的差異，在送出一定分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，提高一些試題的考查深度，既豐富了命題形式，又可以提高試卷的區(qū)分度，從而更好地完成高考在人才選拔中的任務(wù).

2 一題多空填空題的數(shù)量、試題位置及評分標(biāo)準(zhǔn)豐富了試卷模式

整卷整體在布局，單題重在立意.由于沒有選擇項提示，在解法上，填空題直接求解較多，一些間接方法的使用遠(yuǎn)不如選擇題有效、準(zhǔn)確，解題速度明顯低于選擇題.在一張試卷中填空題的數(shù)量要充分考慮考生的實際，合理安排，使用太多會給考生造成心理負(fù)擔(dān)，使用過少則不能顯示其在調(diào)整區(qū)分度、體現(xiàn)選拔等方面的作用.

續(xù)表1

從表1可以看出:各省市使用一題多空(基本都是一題兩空)試題的數(shù)量都不一樣，同一省市不同年份的試卷中試題數(shù)量也有區(qū)別;從試題位置來看，同樣不固定，根據(jù)選材、內(nèi)容等特點，靈活擺放其位置，命題人一般根據(jù)素材的類型和難度預(yù)設(shè)、預(yù)估，按照難度次序從易到難排列，有些與一題一空混合排列，有些則集中出現(xiàn)，沒有固定次序.試卷模式每年都可能有變化，打破“八股”模式，靈活構(gòu)筑令人耳目一新的高考試卷.

從評分的角度看，一題多空豐富了評分模式.如一些省份一道一題兩空(共5分)的選擇題，根據(jù)試題難度、考查目的、功能定位等，可以前空2分后空3分，或者前空3分后空2分，或者只對一空得2分、2空都對得5分，更客觀地體現(xiàn)了“按勞取酬、優(yōu)工優(yōu)酬、體現(xiàn)側(cè)重”的原則.

3 一題多空填空題的設(shè)計示例

在一題一空填空題的基礎(chǔ)上，一題多空試題設(shè)計形式更加多樣.根據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)分為不同的類型，當(dāng)然，這些分類不是絕對的，沒有絕對的零點、分界線.

3.1 從考查目的看

可以分為概念型、計算型、推理型以及閱讀理解型等.概念型填空題，一般是通過實例檢測學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解是否正確，一題多空可以在一個主干知識下考查幾個相關(guān)的知識點，使主干知識的考查更加突出，避免蜻蜓點水式的點到為止.同樣，計算型填空題通過一些運(yùn)算，檢測對算理、公式、性質(zhì)的理解和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，一題多空可以有簡單的計算，也可以有一定程度的推演與算理考查;推理型填空題主要通過推理能力的訓(xùn)練與考查，檢測學(xué)生是否熟練掌握推理能力，是否熟練掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)，一題多空一般前特殊后一般，步步推進(jìn);閱讀理解型又稱新定義問題，通過給出的材料“命題作文”，一題多空可以更真實地反映考生的閱讀理解以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能.

例1已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標(biāo)為______，漸近線方程為______.

(2010年北京市數(shù)學(xué)高考試題第13題)

分析本題屬概念型問題.主要考查雙曲線離心率、焦點、漸近線、橢圓的焦點等基本概念，基本沒有計算量，體現(xiàn)“會即對”的特點.雙曲線焦點即為橢圓焦點，不難算出焦點坐標(biāo)為(±4，0)，又雙曲線的離心率為2，即，c=4，故a=2，，漸近線方程為

類題再現(xiàn)從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高(單位:厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖1所示).由圖1中的數(shù)據(jù)可知a= ______.若要從身高在［120，130)，［130，140)，［140，150］這3組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在［140，150］內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為______(答案:0.030，3).

圖1

(2010年北京市數(shù)學(xué)高考試題第11題)

例2設(shè)f(x)是定義在(0，+∞)上的函數(shù)，且f(x)＞0.對任意a＞0，b＞0，若經(jīng)過點(a，f(a))，(b，－f(b))的直線與x軸的交點為(c，0)，則稱c為a，b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù)，記為Mf(a，b).例如，當(dāng)f(x)=1(其中x＞0)時，可得，即Mf(a，b)為a，b的算術(shù)平均數(shù).

1)當(dāng)f(x)=______(其中x＞0)時，Mf(a，b)為a，b的幾何平均數(shù);

2)當(dāng)f(x)=______(其中x＞0)時，Mf(a，b)為a，b的調(diào)和平均數(shù)

(以上2空各只需寫出1個符合要求的函數(shù)即可.)

(2014年湖北省數(shù)學(xué)高考試題第14題)

分析本題屬于閱讀理解型(新定義)，這類問題常出現(xiàn)教材中沒有學(xué)過的一些概念、運(yùn)算、符號，要求考生讀懂題意并結(jié)合已有的知識加以理解，根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理.閱讀理解型問題一般文字?jǐn)⑹鲚^長，信息量較大，各種關(guān)系錯綜復(fù)雜，考查的知識也靈活多樣，既考查學(xué)生的閱讀能力，又考查學(xué)生的解題能力等.如果一題一空則顯得題干大而無當(dāng)，利用率太低，一題兩空可以充分顯示考生的理解深度.

本題中，定義了c為a，b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù)，實際上本題還考查了直線的相關(guān)知識.同時，試題結(jié)論呈現(xiàn)開放性，考生可以根據(jù)自己的理解與熟練程度選擇不同的函數(shù)形式.過點(a，f(a))，(b，－f(b))的直線的方程為

類題再現(xiàn)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22，121，3 443，94 249等.顯然2位回文數(shù)有9個:11，22，33，…，99，3位回文數(shù)有90個:101，111，121，…，191，202，…，999，則

1)4位回文數(shù)有______個;

2)2n+1(n∈N+)位回文數(shù)有______個.

(答案:90，9×10n.)

(2012年湖北省數(shù)學(xué)高考試題第13題)

例3已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如圖2所示.若EX=1，DX=1，則a= ______，b =______.

圖2

(2009年廣東省數(shù)學(xué)高考試題第12題)

分析本題屬于計算型問題.主要考查利用離散型隨機(jī)變量的分布列、方差、數(shù)學(xué)期望的相應(yīng)公式與性質(zhì)，通過建立方程組，求解方程組解決問題，顯示了一個完整的問題形式.由題意知

(2011年北京市數(shù)學(xué)高考試題第11題)

例4如圖3放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動.設(shè)頂點P(x，y)的軌跡方程是y=f(x)，則f(x)的最小正周期為______;y=f(x)在其2個相鄰零點間的圖像與x軸所圍區(qū)域的面積為______.

圖3

(2010年北京市數(shù)學(xué)高考試題第14題)

說明“正方形PABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負(fù)方向滾動.沿x軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點B落在x軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù).類似地，正方形PABC可以沿x軸負(fù)方向滾動.

分析本題屬于探索型問題.探索型問題可以是條件探索型，也可以是結(jié)論探索型，或者存在型.與閱讀理解問題類似，一題多空有利于題目設(shè)計的完整性、考查的深刻性.

不難想象，從某一個頂點(比如點A)落在x軸上時開始計算，到下一次點A落在x軸上，這個過程中4個頂點依次落在了x軸上，而每2個頂點間距離為正方形的邊長1，因此該函數(shù)的周期為4.

下面考察點P的運(yùn)動軌跡.不妨考察正方形向右滾動，點P從x軸上開始運(yùn)動的時候，首先是圍繞點A運(yùn)動(軌跡是一個圓)，該圓半徑為1;然后以點B為中心，滾動到點C落地，期間是以BP為半徑，旋轉(zhuǎn)90°;然后以點C為圓心，再旋轉(zhuǎn)90°，這時候的圓以CP為半徑，因此最終構(gòu)成圖像如圖4所示:

圖4

因此不難算出這塊區(qū)域的面積為π+1.

類題再現(xiàn)設(shè)N=2n(其中n∈N*，n≥2)，將N個數(shù)x1，x2，…，xN依次放入編號為1，2，…，N的N個位置，得到排列P0=x1x2…xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應(yīng)的前個位置，得到排列P1=x1x3…xN－1x2x4…xN，將此操作稱為C變換，將P1分成2段，每段個數(shù)，并對每段作C變換，得到P2;當(dāng) 2≤i≤n－2時，將Pi分成2i段，每段個數(shù)，并對每段作C變換，得到Pi+1.例如，當(dāng)N=8時，P2= x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置.

1)當(dāng)N=16時，x7位于P2中的第______個位置;

2)當(dāng)N=2n(其中n≥8)時，x173位于P4中的第______個位置.

(答案:6，3×2n－4+11.)

(2012年湖南省數(shù)學(xué)高考試題第16題)

3.2 從層次結(jié)構(gòu)看

可以分為并列型、遞進(jìn)型.并列型的多空問題之間知識內(nèi)容、思維層次沒有前后關(guān)系，各自獨立求解，只是增加考查知識的覆蓋面;遞進(jìn)型，前一空的解決是后一空解決的必需，第1空的解決為第2空作鋪墊，難度拾階而上，既有區(qū)分度又讓一些學(xué)生得到部分分?jǐn)?shù).

例5如圖5，雙曲線(其中a＞0， b＞0)的2個頂點為A1，A2，虛軸2個端點為B1，B2，2個焦點為F1，F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點分別為A，B，C，D，則

圖5

1)雙曲線的離心率e= ______;

2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值=______.

(2012年湖北省數(shù)學(xué)高考試題第14題)

分析本題屬于遞進(jìn)型問題.主要考查雙曲線中離心率及實軸虛軸的相關(guān)定義，以及一般平面幾何圖形的面積計算.其中，第2空的解決要依靠第1空的結(jié)果.

1)由于以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，因此點O到直線F2B2的距離為a，又由于虛軸2個端點為B1，B2，因此OB2的長為b.在△F2OB2中，由三角形的面積公式知

又c2=a2+b2，聯(lián)立可得

2)設(shè)∠F2OB2=θ，顯然∠F2A2O=∠AOB2=θ，因此

在△F2OB2中，求得

菱形F1B1F2B2的面積S1=2bc，再根據(jù)第1)小題中求得的e值可以得出

類題再現(xiàn)橢圓的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若|PF1|=4，則|PF2|=______;∠F1PF2的大小為______(答案:2，120°).

(2009年北京市數(shù)學(xué)高考試題第12題)

例6已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為______的最大值為______.

圖6

(2012年北京市數(shù)學(xué)高考試題第13題)

分析本題屬于并列型問題，2個問題同一題干，前后沒有因果關(guān)系，可以獨自求解，難度上一般是依次遞增.根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式

類題再現(xiàn)已知數(shù)列{an}滿足:a4n－3=1，a4n－1=0，a2n=an(其中n∈N*)，則a2009= ______，a2014=______(答案:1，0).

(2009年北京市數(shù)學(xué)高考試題第14題)

對于一題多空填空題的求解，與一題一空類似，主要是采用直接推演，即由因?qū)Ч?，它是解填空題的基本方法.根據(jù)填空題的題設(shè)條件，通過定義、公理、定理、公式等經(jīng)過計算、變形、分析、推理或判斷，得出正確的結(jié)論.只是一題多空要注意前后填寫內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系，采取分步得分、跳步得分、階梯得分等策略，當(dāng)然，在一定條件下，也要注意特殊化方法、數(shù)形結(jié)合方法等特殊解法的運(yùn)用.

［1］教育部考試中心.高考數(shù)學(xué)測量理論與實踐［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［2］曹鳳山，趙冬梅.高考數(shù)學(xué)試題是如何考查繼續(xù)學(xué)習(xí)潛能的［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬，2011(11):45-48.