☉江蘇省江陰市敔山灣實驗學校 李磊

☉江蘇省江陰市周莊中學許愛珍

創(chuàng)新例習題呈現(xiàn)，發(fā)展批判性思維

☉江蘇省江陰市敔山灣實驗學校 李磊

☉江蘇省江陰市周莊中學許愛珍

近一段時間以來，以《人民教育》為代表的期刊發(fā)表了不少引導(dǎo)關(guān)注“批判性思維”的文章，比如文1對于批判性思維的本質(zhì)進行了澄清和糾偏，并指出“批判性思維，是以理性和開放性為核心的理智美德和思維能力的結(jié)合，是一種謹慎公正的分析、構(gòu)造和發(fā)展的過程．”回看我們的數(shù)學課堂、數(shù)學例習題設(shè)計，與倡導(dǎo)批判思維、開放教學的高要求相比，仍然還有很大的提升空間．作為一名一線教師，也不可能提出多么宏大的努力方向，但是筆者以為，如果我們能立足于教學實踐，把每堂數(shù)學課、每天都要設(shè)計或布置的數(shù)學例習題通過恰當?shù)母木?，也是可以?xùn)練和發(fā)展批判性思維的．下面我們先呈現(xiàn)近期教學過程中收集的一些發(fā)展學生批判性思維的例習題案例，并跟進解讀，與同行研討．

一、發(fā)展“批判性思維”的題例

例1如圖1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，點E、F分別在AB和AC上．

圖1

（1）若∠AED+∠AFD=180°，求證：DE=DF．

（2）若DE=DF，則∠AED+∠AFD=180°是否成立？如果成立，說明理由；如果不成立，舉出反例．

解讀：第（1）問可以利用角平分線上一點到角的兩邊距離相等來添加輔助線獲得思路貫通；然而第（2）問引導(dǎo)學生思考第（1）問的逆命題，并且要舉出反例，倡導(dǎo)批判性思維．教學經(jīng)驗告訴我們，至少有40%的學生對于命題真假的判斷存在疑問，從而出現(xiàn)解題的方向性偏差．

例2如圖2，D、E分別為等邊△ABC的邊BC、AC上的動點，且BD=CE，連接BE、AD交于點F．

圖2

（1）求∠BFD的度數(shù).

（2）過點A作AH⊥BE，垂足為點H．求證：AF=2FH.

（3）小舟練習后，提出一種變式拓展的思考，當點D、E分別在CB、AC的延長線上時，直線BE、AD相交于點F，其余條件不變，請畫出符合要求的圖形，猜想AF與FH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

解讀：前兩問是經(jīng)典考題，第（3）問是經(jīng)過改編之后呈現(xiàn)的問題，有兩個引領(lǐng)意義：其一，要求學生根據(jù)題意畫出圖形變換之后的圖形，考查必要的讀句作圖能力；其二，引導(dǎo)學生學會解后反思、追問，學會從特殊到一般地思考經(jīng)典幾何問題及性質(zhì)．

例3（2015～2016學年北京市交大附中八年級上學期期中卷第24題）已知：如圖3，Rt△ABC中，∠BAC=90°．

圖3

（1）按要求作圖：（保留作圖痕跡）

①延長BC到點D，使CD=BC；

②延長CA到點E，使AE=2CA；

③連接AD，BE，并猜想線段AD與BE的大小關(guān)系.

（2）證明（1）中你對線段AD與BE大小關(guān)系的猜想．

改編題如圖4，△ABC中，∠BAC=90°，延長BC到點D，使CD= BC，延長CA到點E，使EA=2AC．連接AD，BE．

圖4

（1）求證：AD=BE；

（2）小賈同學提出“猜想”：當∠E=60°時，CE=BE．請判斷“猜想”的真假，并說明理由．

解讀：改編題是基于八年級學生訓(xùn)練的重點，應(yīng)該是構(gòu)造、推理證明，所以把作圖語句前置到題干條件中，直接在第（1）問明確提出證明“AD=BE”；而增加了第（2）問，從學生練習的情況來看，班級有四分之一學生求解方向出錯，誤認為猜想是真命題；另有不少學生證明假命題的方法不夠簡化，雖有反證法意識，然而表述繁雜，只有近四分之一優(yōu)秀學生通過設(shè)AC=m，推得AE=2m，BE=4m，從而發(fā)現(xiàn)CE=3m，并不等于BE，否定了命題.可見，增加的第（2）問，需要判斷真、假命題，結(jié)論開放，同時又發(fā)展了學生的批判性思維.

例4如圖5，等腰直角三角形ABC，∠ACB=90°，點D在CB的延長線上，連接DA，作AE⊥AD，且AE=AD，連接BE交AC的延長線于點P.

（1）求證：∠D=∠EAC；

（2）若AC=1，求點E到直線AC的距離；

（3）求證：點P為BE的中點.

圖5

圖6

拓展思考：如圖6，在平面直角坐標系中，A（0，1），B（-1，0），P（p，0），將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到AQ.

（1）當p＜-1時，連接BQ，求證：BQ能被y軸平分.

（2）當p＞0時，BQ是否還能被y軸平分，畫出圖形，簡要說明理由即可.

（3）小涵發(fā)現(xiàn)：點Q在直線x=1上！你怎么看這個發(fā)現(xiàn)？

解讀：例4是個經(jīng)典的幾何問題，在學生成功解題之后，我們給出“拓展思考”，就是對上面的問題進行包裝，放置到平面直角坐標系中，引導(dǎo)學生體會幾何問題的結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練學生洞察問題深層結(jié)構(gòu)的“眼力”.不少學生在解后反思都提到，它們都是一樣的.這里學生對“一樣的”認識正是我們的命題立意所在.

二、進一步的思考

以上摘選了近期教學手記中的一些題例素材，并逐題給出解讀，也可看成是講述教學上的故事；以下再圍繞上述題例所共有的立意——培養(yǎng)批判性思維，闡述筆者進一步的思考.

1.重視發(fā)現(xiàn)問題、提出疑問、辨別是非的思維品質(zhì)訓(xùn)練

文1認為：“思維的批判性，就是善于發(fā)現(xiàn)問題，提出疑問，辨別是非的一種思維品質(zhì).批判性思維是一種實事求是、周到縝密的思維.”正是基于上述認知，筆者在例2、例3中的最后一問明確示范了“提出問題”的角度、方式，既是開展習題訓(xùn)練、鞏固技能，同時又是傳遞善于提問、學會提問、辨別是非的求真品質(zhì).

2.“把數(shù)學問題還原為數(shù)學現(xiàn)象”，培養(yǎng)學生的批判性思維

近讀《數(shù)學通報》，孫四周老師在文2中介紹了近年來基于活動與體驗的例題教學實驗，嘗試了把數(shù)學問題還原為數(shù)學現(xiàn)象，讓學生經(jīng)歷“現(xiàn)象—問題—解決—反思”的全過程.比照孫老師的教學實驗和所例舉的題例，我們在上文中提及的例1中的第（2）問、例2中的第（3）問都屬于將數(shù)學問題還原為數(shù)學現(xiàn)象，把一些問題的客觀事實呈現(xiàn)給學生，作為學生觀察、研究、發(fā)現(xiàn)、決策的素材.雖然“數(shù)學現(xiàn)象”并不是所謂結(jié)構(gòu)優(yōu)良的數(shù)學試題呈現(xiàn)方式，然而以不完美的形態(tài)、不定型的反思，卻給學生提供了批判思維的空間，一定意義上也是追求開放的數(shù)學教學和有深度的教學.

3.立足實踐，以習題改編為出發(fā)點，拓展培養(yǎng)數(shù)學思維批判性的途徑

文3專題論述“數(shù)學教學中思維批判性的培養(yǎng)”，明確指出了培養(yǎng)數(shù)學思維批判性的三個途徑：比如，激發(fā)學生向權(quán)威挑戰(zhàn)，培養(yǎng)質(zhì)疑精神；引導(dǎo)學生辨析錯誤，提高識別能力；讓學生自我糾錯，提高自我評價能力；鼓勵學生構(gòu)造反例，培養(yǎng)反駁能力.對應(yīng)來看，我們在上文中的例1第（2）問則是鼓勵學生構(gòu)造反例，滲透反證意識；例3改編題的第（2）問則是鼓勵學生辨析錯誤，反駁錯誤.

三、寫在最后

華東師大終身教授鐘啟泉教授指出：“知識經(jīng)濟時代是崇尚‘批判性思維’的時代，因為它是推動知識社會前進的主要動力.”［4］鐘教授不無憂慮地指出“我國的‘批判性思維’與‘批判性思維教學’的研究幾乎是一片空白”.希望更多的一線教師能立足實踐，為數(shù)學教學中的批判性思維的訓(xùn)練和研究提供一些實踐性智慧.當然，我們的努力還很初步，微不足道，供有識之士批判.

1.陳金輝.例談數(shù)學思維的批判性［J］.數(shù)學通報，2001（1）.

2.孫四周.把數(shù)學問題還原為數(shù)學現(xiàn)象——談“基于活動與體驗的例題教學”［J］．數(shù)學通報，2015（10）.

3.唐紹友．數(shù)學教學中思維批判性的培養(yǎng)［J］．數(shù)學通報，1996（8）.

4.鐘啟泉．“批判性思維”及其教學［J］．全球教育展望，2002（1）.

5.劉東升．經(jīng)歷問題生成，深刻理解教材——人教八上“每日一題”的命題實踐與思考［J］．中學數(shù)學（下），2014（4）