一類分數(shù)階微分方程初值問題解的存在性①

楊 帥

(中國礦業(yè)大學(北京)理學院，北京100083)

0 引 言

近年來，隨著分數(shù)階微分方程模型廣泛建立于分數(shù)物理學、粘彈性力學、自動控制、生物化學、流體力學、隨機過程等諸多應用科學領(lǐng)域［1］，分數(shù)階微分方程理論引起了許多科研人員的濃厚興趣和積極關(guān)注.關(guān)于分數(shù)階微分方程解的存在性及其求解也取得了豐碩的成果［2～5］.分數(shù)階微分方程初值問題是非線性微分方程的一個重要研究課題［6～9］.Diethelm［3］討論了如下一類分數(shù)階微分方程邊值問題

本文同樣討論上述方程，遵循Diethelm 的核心證明思想，但將其假設條件弱化，應用Schauder 不動點定理證明這類分數(shù)階微分初值問題解的存在性.

1 預備知識

定理1.1 設n ＞0，n ?N，且m=［n］.更設K ＞0，h*＞0，b1，b2，…，bm∈R.定義

G= (x，y)∈R2:0 ≤x ≤h*，y ∈R時{ ，

假定f:G →R 在G 上連續(xù)有界，并且關(guān)于第二個變量滿足Lipschitz 條件，即?L ＞0，s.t.?(x，y1)，(x，y2)∈G，有

定理1.2 在定理1.1 的假設條件下，設h ＞0.y ∈C(0，h］是(1)的一個解當且僅當它是Volterra 積分方程

的一個解.

定理1.1 和定理1.2 分別引自Diethelm［3］定理5.1 和引理5.2.Diethelm 關(guān)于(1)或(2)解的存在性證明見Diethelm［3］引理5.3.

2 主要結(jié)果

定理2.1 在定理1.1 中將假定f 關(guān)于第二個變量滿足Lipschitz 條件去掉后，定理結(jié)論依然成立.也就是說，即使f 關(guān)于第二個變量不滿足Lipschitz 條件，(1)仍然有連續(xù)解y ∈C(0，h］.

證明: 由定理1.2 的證明過程知，將假定f 關(guān)于第二個變量滿足Lipschitz 條件去掉后，(1)與(2)依然等價.

(i)，顯然‖y‖^B≥0，且‖y‖^B=0?y=0.

(ii)?y1，y2∈^B，，有

(iii)?α ∈R，有

接下來，定義集合

證明B 的凸性.?α ∈R，滿足0 ≤α ≤1，?y1，y2∈B，有

現(xiàn)在，在B 上定義算子F:

則求解Volterra 積分方程(2)轉(zhuǎn)化為求算子的不動點問題.

事實上，

則算子F 的不動點問題又可以轉(zhuǎn)化為這樣一個算子H:B →B.

的不動點問題.

分以下幾步來證明:

第一步，由

知，

取?y ∈B，可以得到

即Hy*(x)∈B，于是算子H:B →B.且可以得到Hy*(x)一致有界.

第二步，來討論算子H 的連續(xù)性.?y1?y2∈B，x ∈(0，h］，看到，對于?ε ＞0，由f 在‖y*‖∞≤K 上的一致連續(xù)性知，?δ0＞0 使得當|y1－y2|＜δ0時，有

則H:B →B 連續(xù).

第三步，?y ∈B，?x1，x2∈(0，h］，不妨設0＜x1≤x2≤h.對于?ε ＞0，討論

因為n ＞0，n ?N，所以

(I)當n ＞1 時，

則假定此時存在|x2－x1|＜δ1，有

那么

即δ1=δ1(ε).

(II)當n ＜1 時，有

此時假定存在|x2－x1|＜δ2，則

那么可以推出

即δ2=δ2(ε).

由(I)、(II)，取δ=min{δ1(ε)，δ2(ε)}，則當|x2－x1|＜δ 時，|Hy*(x1)－Hy*(x2)|＜ε.則Hy*等度連續(xù).

由Ascoli－Arzela 定理知Hy*是B 中的相對緊集.因此H:B →B 全連續(xù).根據(jù)Schauder 不動點定理知H 在B 中必有不動點.

綜上，證明了分數(shù)階微分初值問題(1)解的存在性，即(1)必有連續(xù)解y ∈C(0，h］.

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