王　娣，盧　濤（淮北師范大學數學科學學院，安徽 淮北 235000）

弱完全交既約元及其性質①

王娣，盧濤*
（淮北師范大學數學科學學院，安徽 淮北 235000）

根據格上交既約元、完全交既約元的概念，定義了弱完全交既約元，進而得出完備格上弱交既約元的一些性質及相關結論，并給出了完全交既約元的另一種等價定義.

連續(xù)交既約元；完全交既約元；弱完全交既約元

0　引言

交既約元作為格論中的一種特殊元素，具有一些很好的性質，在格論中占有重要地位，許多學者對它進行了研究.王學平、李裕梅分別在完備Brouwerian格和完全分配格上通過交既約元對Fuzzy方程進行了研究并得到了很好的結論.之后祝禎禎、盧濤又對完備格上交既約元作了進一步的研究，并給出了連續(xù)交既約元的概念.本文引入弱完全交既約元的概念，討論了它的一些基本性質，并給出了交既約元的另一個等價定義.

1　預備知識

定義1［4］設P為偏序集，對任意a，b∈P，如果a＜b，且對?x∈P，a＜x＜b不成立，則稱b是a的上鄰.記作b?a

定義2［5］設L為交半格，對于任意x，y，a∈L，當a=x∧y蘊含x=a或y=a，則稱a為L的交既約元.記M（L）=｛a∈L|a為交既約元｝。

定義3［6］設L為完備格，a∈L，如果對于任意S?L由a=∧S可推出a∈S，則稱a為L的完全交既約元.記Q（L）=｛a∈L|a為完全交既約元｝.

定義4設L為定向完備偏序集，（以下均記為dcpo），a∈L，如果對于任意F∈Fil（L），由a=∧F可推出a∈F，則稱a為L的弱完全交既約元.記RQ（L）=｛a∈L|a為弱完全交既約元｝，易見，1?RQ（L）且在完備格中，完全交既約元是弱完全交既約元.

定義5［3］設L為完備格，a∈L為交既約元，如果存在S?L，由a=∧S可推出a?S，則稱a為格L的連續(xù)交既約元.記C（L）=｛a∈L|a為連續(xù)交既約元｝，顯然1∈C（L）.

注1在完備格L中，易知

（1）Q（L）=RQ（L）∩M（L）；

（2）由注（1）可以得到完全交既約元的一個等價定義：

定義3設L為完備格，a∈M（L）.如果對于任意F∈Fil（L），由a=∧F可推出a∈F，則稱a 為L的完全交既約元.

2　弱完全交既約元的性質

引理1設L是交半格，a∈L，如果存在x，y ∈L，使x?a，y?a，但x≠y，則x‖y（表示x與y不可比較），且x∧y=a.

證明因x?a，y?a，則不等x＞y，y＞x式都不會成立，又x≠y，從而x‖y，若x∧y≠a，設x∧y=b，則b＞a，且x≥b＞a，y≥b＞a，所以x=b=y，這與已知矛盾.因此x∧y=a.

引理2設L是交半格.若a∈M（L），a則至多有一個上鄰.

證明設a有兩個上鄰x與y，x≠y，則由引理1知x∧y=a.而x＞a，y＞a，這與已知a∈M（L）矛盾.所以a至多有一個上鄰.

定理1設L是dcpo，a∈L，若a∈RQ（L），則a至少有一個上鄰.

證明設a∈RQ（L），則a≠0且↑a-｛a｝≠?.因L是dcpo，易知↑a-｛a｝也是dcpo，進而∧（↑a-｛a｝）存在，且∧（↑a-｛a｝）≥a.若∧（↑a-｛a｝）=a，因為對任意x∈（↑a-｛a｝），x＞a，結合a∈RQ（L），及定義4，必有↑a-｛a｝不是定向集.進而存在x，y∈↑a-｛a｝，對任意p∈↑a-｛a｝，有x＜p或y＜p，即x，y至少有一個是↑a-｛a｝中的極小元，進而x，y至少有一個是↑a-｛a｝的上鄰.若∧（↑a-｛a｝）＞a.設∧（↑a-｛a｝）=b，若存在x∈L，a＜x＜b，于是x∈↑a-｛a｝，從而x≥∧（↑a-｛a｝），即x≥b，矛盾.所以不存在x∈L，a＜x＜b，從而有∧（↑a-｛a｝）是a的上鄰.故a至少有一個上鄰.

定理2設L是完備格.若a∈M（L）且a有唯一上鄰，則a∈RQ（L）.

證明設a∈M（L），若a有唯一上鄰p，于是p?a.?F∈FilL，若a=∧F，則一定有a∈F.否則，若a?F，則?x∈F，x＞a.而p≥x∧p≥a.如果p＞x∧p，則由p是a的唯一上鄰知a=x∧p.又由a∈M（L）知x=a或p=a，矛盾.因此p= x∧p，即x≥p.從而有，這與a =∧F矛盾.所以?F一定有a∈F.由定義4可知a∈RQ（L）.

由引理2，定理1，定理2可得交既約元是弱完全交既約元的一個內部刻畫：

定理3設L是完備格.若a∈M（L），則a∈RQ（L）的充要條件是a有唯一上鄰.

證明設a∈M（L），若a∈RQ（L），則由引理2及定理1得，a有唯一上鄰.由定理3及注1（1）得：

推論1設L是完備格.若a∈M（L），則a∈ Q（L）的充要條件是a有唯一上鄰.

定理4設L是完備格.若a∈M（L），a≠0，則a?RQ（L）的充要條件是a沒有上鄰.

證明"必要性"設a∈M（L），若a沒有上鄰，則由定理3得a?RQ（L）."充分性"設a?RQ（L），若a有上鄰，則由a∈M（L）及引理2知a有唯一上鄰.設p?a.由a?RQ（L），則存在F∈FilL，使a=∧F但a?F.從而?x∈F，x＞a又p?a，類似于定理2的證明過程知x≥p，因此由x的任意性知，∧F≥p?a，這與a=∧F矛盾.所以a沒有上鄰.

引理3設a∈M（L），a≠0，則a∈C（L）的充分必要條件是a沒有上鄰.

定理5L交半格，若M（L）不為空集，則M（L）=RQ（L）∪C（L）.

證明顯然由注1.1-（3）知RQ（L）∪C（L）?M（L），且對任意a∈M（L），由引理2知，a至多有一個上鄰.若a有唯一上鄰，由引理3知，a∈C（L），所以a∈RQ（L）∪C（L），從而M（L）?RQ（L）∪C（L）.即證M（L）=RQ（L）∪C（L）.

［1］Wang Xueping.Infinite fuzzy relational equation in a complete Brouwerian lattice［J］.Indian J Pure Appl Math，2002，33（1）：87.

［2］李裕梅.完備Brouwerian格上Fuzzy關系方程的極大解存在的一些條件［D］.成都：四川師范大學.2003.

［3］盧濤，祝禎禎.完備格上交既約元的性質［J］.江蘇師范大學學報（自然科學版），2014，32（2）：50-52.

［4］Birkhoff G.Lattic theory［M］.3rd ed.New York：Amer Math Soc Colloq Public，1979：10-35.

［5］ 鄭崇友，樊磊，崔宏斌.Frame與連續(xù)格［M］.北京：首都師范大學出版社，2000.

［6］Crawley P，Dilworth R P.Algebraic theory of lattic［M］.Englewood Cliffs：Prentice Hall，1973：3-20.

Weak Complete Intersection Irreducible Elements and Some Properties

WANG Di， LU Tao

（Institute of Mathematics，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，China）

According to the definition of intersection irreducible elements and completely intersection irreducible elements，the definition of weak complete intersection irreducible elements were given.Some properties and conclusions of weak complete intersection irreducible elements were obtained.An equivalent notion of complete intersection irreducible elements was given.

continuous intersection irreducible element；complete intersection irreducible element；weak complete intersection irreducible element

O189

A

1008-1402（2015）06-0837-02

2015-10-12

國家自然科學基金項目（11171156）；安徽省自然科學研究項目（KJ2012Z358）.

王娣（1991-），女，安徽安慶人，淮北師范大學數學科學學院碩士研究生.研究方向：格上拓撲學.通訊作者：盧濤（1974-），男，山東諸城人，博士，副教授.研究方向：拓撲學，范疇論.