蘇志剛，聶 瑩，吳仁彪

SU Zhigang1，2,NIE Ying2,WU Renbiao2

1.中國民航大學(xué) 中歐航空工程師學(xué)院，天津300300

2.中國民航大學(xué) 智能信號(hào)與圖像處理天津市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300300

1.Sino-European Institute of Aviation Engineering,Civil Aviation University of China,Tianjin 300300,China

2.Tianjin Key Laboratory for Advanced Signal Processing,Civil Aviation University of China,Tianjin 300300,China

1 引言

民用航空運(yùn)輸作為一種快捷安全的交通方式，得到世界各國的高度關(guān)注，世界各主要經(jīng)濟(jì)體的民用航空發(fā)展速度均高于其經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度。為確保民航航空的安全性，地面管制人員需要全面掌握所關(guān)注空域內(nèi)全部航班的動(dòng)態(tài)信息及相應(yīng)的管制信息，特別是在航班密集空域。為精細(xì)準(zhǔn)確地確定飛行器在空間的位置，飛行器四維航跡（即用加入時(shí)間約束的三維空間坐標(biāo)表示的飛行器航跡）的研究成為當(dāng)前空中交通管理領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題，這也是實(shí)現(xiàn)新一代空中交通管理系統(tǒng)（NextGen，SESAR）的關(guān)鍵技術(shù)[1]。國內(nèi)外圍繞四維航跡的預(yù)測、規(guī)劃、顯示等技術(shù)展開了深入的研究[2-4]。2012 年2 月AirBus 公司完成從圖盧茲到哥本哈根的全球首次基于四維航跡技術(shù)的試驗(yàn)飛行任務(wù)。

傳統(tǒng)空管自動(dòng)化系統(tǒng)采用二維平面綜合顯示地圖輔助管制員了解空域內(nèi)飛行器的動(dòng)態(tài)信息，飛行器的高度信息由相應(yīng)的標(biāo)牌指示。然而，新一代空中交通管理系統(tǒng)中，為提高機(jī)場容量，采用持續(xù)下降進(jìn)近或持續(xù)上升離場，傳統(tǒng)的二維平面綜合顯示地圖已經(jīng)無法滿足管理員對(duì)空域中飛行器高度變化的掌控[5]?；谌S地理信息的二維投影技術(shù)成為四維航跡的推薦顯示方式。飛行器四維航跡的動(dòng)態(tài)顯示需利用三維地理信息搭建可投影到二維顯示屏上的三維場景，其支撐技術(shù)為透視投影。20世紀(jì)初，透視基礎(chǔ)理論的兩個(gè)重大成果，Kruppa定理和Beskin 定理，揭示了透視投影問題的基本規(guī)律[6]。文獻(xiàn)[7]給出Kruppa 定理的解析形式，隨后，在此基礎(chǔ)上從[7]射影幾何角度完善了透視投影理論[8-10]。隨著計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的發(fā)展，透視投影衍衍生出以物體坐標(biāo)系、視點(diǎn)坐標(biāo)系以及畫面坐標(biāo)系為基礎(chǔ)的透視投影技術(shù)[11-13]。

以物體坐標(biāo)系、視點(diǎn)坐標(biāo)系以及畫面坐標(biāo)系為基礎(chǔ)的透視投影技術(shù)，需要建立三個(gè)坐標(biāo)系并且實(shí)現(xiàn)相互之間的轉(zhuǎn)換，難以適用于空管自動(dòng)化系統(tǒng)的顯示要求。因此本文在透視投影的規(guī)律下，利用計(jì)算機(jī)圖形基礎(chǔ)建立三維地理坐標(biāo)系與投影坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)與幾何關(guān)系，分別得到方位角、傾角以及視點(diǎn)、投影平面與地圖基準(zhǔn)面的相對(duì)位置對(duì)投影的影響因子，從而得到透視投影算法。并將所提出的透視投影算法應(yīng)用于三維地圖軟件搭建的三維背景中，實(shí)現(xiàn)三維空間中飛行器標(biāo)牌定位。

2 問題描述

空管自動(dòng)化系統(tǒng)中飛行器的四維航跡顯示平臺(tái)利用三維地理信息數(shù)據(jù)，通過對(duì)三維空間的抽象描述，使系統(tǒng)平面位置綜合顯示器上的二維圖像呈現(xiàn)出景深、透視度等三維顯示特征[14-15]。通過三維空間觀測方位、傾角的變化形成對(duì)關(guān)注空域不同方位、不同傾角的二維多視角顯示[16]?？展茏詣?dòng)化系統(tǒng)所采用的三維空間顯示通常是基于兩點(diǎn)透視投影形成的，即假設(shè)三維空間為一個(gè)長方體，投影平面與長方體的所有面相交，且至少與長方體的某一條邊平行[17]。

以空管自動(dòng)化系統(tǒng)中心O點(diǎn)的水平面ABCD作為地圖基準(zhǔn)面，并以此點(diǎn)為原點(diǎn)構(gòu)建三維坐標(biāo)系OXYZ，其中平面XOY與水平面ABCD重合。將基準(zhǔn)面ABCD分別沿Z軸和X軸旋轉(zhuǎn)角度α和φ，形成如圖1 所示的三維投影結(jié)構(gòu)。在圖1 中平面X′O′Y′為投影平面，其與平面XOY平行，點(diǎn)P(0,0,zp) 為視點(diǎn)，三維空間中點(diǎn)V(xV,yV,zV)是點(diǎn)隨基準(zhǔn)面ABCD旋轉(zhuǎn)后的 位 置。點(diǎn)Vp(x′V,y′V) 是 點(diǎn)V(xV,yV,zV) 在 投 影 平 面X′O′Y′ 上的投影點(diǎn)，且(x′V,y′V) 是該點(diǎn)在投影平面的坐標(biāo)。

圖1 三維地圖投影示意圖

基于上述假設(shè)，空管自動(dòng)化系統(tǒng)中兩點(diǎn)透視投影問題可以描述為點(diǎn)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)V(xV,yV,zV)在投影平面上的投影點(diǎn)Vp(x′V,y′V)的坐標(biāo)獲取問題。

3 旋轉(zhuǎn)變換

其中，Mz(α)為3×3 的方位旋轉(zhuǎn)矩陣：

用于反映基準(zhǔn)面ABCD繞Z軸旋轉(zhuǎn)角度α的情況，Mx(φ)為3×3 的傾斜旋轉(zhuǎn)矩陣：

用于反映基準(zhǔn)面ABCD繞X軸旋轉(zhuǎn)角度φ的情況。

4 投影變換

投影點(diǎn)Vp(x′V,y′V)與點(diǎn)V(xV,yV,zV)之間的關(guān)系如圖2 所示。

圖2 XOZ 平面投影點(diǎn)與像點(diǎn)位置關(guān)系圖

視點(diǎn)P(0,0,zp)經(jīng)點(diǎn)V(xV,yV,zV)在平面XOY上的投影點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系可得：

因?yàn)閦p＞＞zv，式（4）可簡化為：

由于空間信息在平面X′O′Y′上的投影是在平面XOY上投影的等比例縮放，所以假設(shè)縮放因子為k，則

定義

為投影矩陣，其反映了相應(yīng)的三維空間向二維平面的投影關(guān)系。

5 透視投影

如前所述，空管自動(dòng)化系統(tǒng)的三維空間通過旋轉(zhuǎn)變換和投影變換形成二維圖像顯示，所獲得的二維圖像具有景深、透視度等三維特征。因此，當(dāng)對(duì)空間進(jìn)行旋轉(zhuǎn)或縮放操作時(shí)，原空間坐標(biāo)變換為投影面上投影點(diǎn)Vp(x′V,y′V)的過程由式（1）與式（6）所確定，即

根據(jù)參數(shù)α、φ及k可以控制三維空間點(diǎn)的投影點(diǎn)位置。

6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文利用三維地圖軟件Google Earth 構(gòu)建三維空管自動(dòng)化系統(tǒng)的顯示平臺(tái)，以天津空域飛機(jī)的位置信息作為投影映射的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證本文提出的投影映射方法的有效性。

某一時(shí)刻天津空域內(nèi)飛行器的分布情況如圖3所示，所呈現(xiàn)的是傳統(tǒng)空管自動(dòng)化系統(tǒng)二維顯示模式。飛行器標(biāo)識(shí)旁顯示內(nèi)容為該飛行器對(duì)應(yīng)的標(biāo)牌，飛行器后的曲線為10 s內(nèi)飛行器的歷史位置軌跡。圖中場景信息與飛行器位置信息由Google Earth 形成，而標(biāo)牌位置由外掛系統(tǒng)根據(jù)飛行器三維位置信息變換的投影坐標(biāo)決定。由圖可見，標(biāo)牌與相應(yīng)飛行器的位置對(duì)應(yīng)關(guān)系一致。

圖3 傳統(tǒng)顯示模式下飛行器分布圖

圖4（a）與（b）為同一空域內(nèi)，不同方位角及傾角下的飛行器顯示情況。與圖3 相比，圖4（a）與（b）明顯地呈現(xiàn)出透視度和景深等三維顯示特征。由圖4（a）與（b）可見，在非傳統(tǒng)顯示模式下利用本文算法所求得的標(biāo)牌位置仍能與相應(yīng)飛行器位置相匹配，說明本文方法可以有效解決三維場景的透視投影問題。

圖4 不同視角下飛行器分布圖

7 結(jié)論

依據(jù)空管自動(dòng)化系統(tǒng)四維航跡有效顯示的需求，針對(duì)三維空間向二維平面透視投影問題，給出適用于空管自動(dòng)化系統(tǒng)三維顯示特點(diǎn)的方位旋轉(zhuǎn)矩陣、傾斜矩陣及投影矩陣。在基于三維地圖軟件Google Earth 構(gòu)建的三維顯示平臺(tái)中，隨著場景旋轉(zhuǎn)與縮放，標(biāo)牌與空域飛行器顯示位置變化一致，表明本文所提出的透視投影算法可以有效地與第三方地圖系統(tǒng)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)三維透射投影的操控顯示。

[1] van Marwijk B J A，Borst C，Mulder M，et al.Supporting 4D trajectory revisions on the flight deck：design of a human-machine interface[J].The International Journal of Aviation Psychology，2011，21（1）：35-61.

[2] 張險(xiǎn)峰，周其忠，王長青.基于航跡片段樹的快速四維航跡規(guī)劃方法[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，39（3）：310-314.

[3] Porretta M，Dupuy M D，Schuster W，et al.Performance evaluation of a novel 4D trajectory prediction model for civil aircraft[J].The Journal of Navigation，2008，33（3）：393-420.

[4] 曲玉玲，韓松臣.四維航跡同一進(jìn)場航線碰撞風(fēng)險(xiǎn)模型[J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，42（5）：601-606.

[5] 呂小平.基于GNSS 的終端區(qū)精密進(jìn)近系統(tǒng)應(yīng)用分析[J].中國民用航空，2010，118：70-74.

[6] 陳谷新.論別斯金定理[J].北京農(nóng)業(yè)工程大學(xué)學(xué)報(bào)，1990，10（3）：89-95.

[7] Odaka S.Fundamental equation of perspective projeetion and its application[C]//Proceedings International Conference on Descriptive Geometry，1978：95-97.

[8] 趙正魁.三維到二維的射影變換與透視投影[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，1991（2）：8-14.

[9] 陳自強(qiáng).透視投影研究[J].華東理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，26（2）：201-205.

[10] Guo Yang.A note on the number of solutions of the coplanar P4P problem[C]//Proceedings of the 12th International Conference on Control，Automation，Robotics& Vision，Guangzhou，China，5-7 December，2012.

[11] 吳迪，黃文騫，王瑩.3維地形景觀模擬中的透視投影變換[J].測繪通報(bào)，2003，49（6）：27-28.

[12] 王淵，龍華，邵玉斌，等.一種圖形透視投影矩陣的推導(dǎo)及編程實(shí)現(xiàn)[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào)，2011，23（4）：127-129.

[13] Hearn D，Baker M P，Carithers W R.Computer graphics with OpenGL[M].4th ed.Beijing：Publishing House of Electronics Industry，2005：303-382.

[14] Singh S P，Jain P K，Mandla Dr V R.Design and calibration of multi camera setup for virtual 3D city modeling[J].International Journal of Engineering Research & Technology，2013，2（5）：1373-1376.

[15] Qulasvirta A，Estlander S，Nurminen A.Embodied Interaction with a 3D versus 2D mobile map[J].Personal and Ubiquitous Computing，2009，13（4）：303-320.

[16] 任鵬，向南平，胡金星.多視角三維仿真城市地圖的實(shí)現(xiàn)方法[J].地理與地理信息科學(xué)，2011，27（3）：34-37.

[17] 楊燕燕，茍秉宸，于隋懷，等.基于透視反求的基本體素三維重構(gòu)關(guān)鍵技術(shù)研究[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2006，12（11）：21-24.