章 玲，曾 燕，陳國慶*，周 愛

(1.江南大學理學院，無錫214122;2.哈爾濱工程大學理學院，哈爾濱150001)

引 言

隨著光纖器件技術(shù)［1-2］的成熟和應用，人們開始深入研究微納光纖及不同端面結(jié)構(gòu)的光纖特性［3-6］。特殊的微納光纖尖端結(jié)構(gòu)能夠被應用于高靈敏度的光纖傳感器、光纖分配器與特種光纖耦合器［7-9］。以往對微納光纖端面結(jié)構(gòu)特性的研究主要集中在錐形微納光纖［10-13］，而對其它形狀的端面結(jié)構(gòu)特性只有粗略的闡述。楔形是光纖端面典型的形狀之一，在半導體激光器與單模光纖的耦合中，楔形端頭能夠抵消半導體激光器輸出橢圓形光斑而導致的高耦合損耗。對楔形微納光纖的詳細研究，將為其在光纖傳感器、光纖耦合器等領(lǐng)域的應用打下基礎(chǔ)。

基于此，本文中應用COMSOL軟件對楔形微納光纖的特性進行了仿真模擬與數(shù)值計算，獲得了楔形微納光纖的能量分布和傳輸特性，以及楔形微納光纖發(fā)生耦合時的能量分布與耦合效率。

1 楔形微納光纖模型

1.1 模型結(jié)構(gòu)

楔形微納光纖是光纖端面和光纖軸線呈某一角度，光纖的纖芯直徑將沿著軸線方向逐漸的減小，其模型如圖1a所示。作為本文中的研究對象，設(shè)纖芯的材料為二氧化硅，其折射率n1=1.45，直徑 Φ =1μm，包層材料設(shè)為無限大的空氣層，其折射率n2=1。微納光纖的圓柱形部分長度L2=7.5μm，楔形部分長度為L1=7.5μm。D(0μm≤D≤1μm)為微納光纖楔形部分的斜面到纖芯邊沿的長度，定義為微納楔形光纖楔形部分的有效直徑。z=0μm為光纖的纖芯軸線位置。光場從光纖的左端入射，入射光波長為1.55μm。

Fig.1 Model of wedge-shaped micro/nano fiber and coupling structure

兩根楔形微納光纖進行耦合的模型如圖1b所示，這兩根光纖的參量與前述單根楔形微納光纖的一致，兩根光纖之間的軸向位移為a，徑向位移為r，β為楔形微納光纖的楔角，光場從左端輸入，右端輸出。

1.2 基礎(chǔ)方法

對于普通光纖，通常用弱波導近似分析其光學傳輸特性，而研究纖芯與包層的折射率相差較大的微納光纖，弱波導近似解不再適用。對于微納光學，其理論基礎(chǔ)仍然是麥克斯韋電磁理論［14］，所以楔形微納光纖的仿真數(shù)學本質(zhì)仍然是對麥克斯韋方程組的精確求解，而COMSOL正是基于有限元算法的偏微分方程求解數(shù)值軟件。本文中就是利用COMSOL仿真軟件中射頻(radio frequency，RF)模塊來完成楔形微納光纖的仿真模擬。

在COMSOL的RF模塊計算中，令:

式中，j為電流密度，σ為電導率，μr是相對磁導率，E是電場矢量，H是磁場矢量，εr是相對介電常數(shù)，ε0是真空介電常數(shù)，k0是真空波數(shù)。研究中設(shè)置端口邊界條件和散射邊界條件分別為:

式中，β'為光纖的傳播常數(shù)，k是波數(shù)，n為電場法線矢量，kdir為入射波矢量，r'為光纖z-x面半徑矢量。在n×E=0進行楔形微納光纖的頻域分析和模式分析。

在得到能量的分布模擬結(jié)果后，本文中主要通過分析光纖中的能量密度情況來研究楔形微納光纖的能量傳輸問題。電場能量和磁場能量的定義為:

式中，T是時間，D是電感強度，B是磁感強度，下標e和m分別對應電場和磁場，可以得到單位時間內(nèi)電場能量和磁場能量為:

由于傳輸過程中必然伴隨著能量損失，通過波印廷定理［15］可得:

式中，S為封閉曲面，V為S所包圍的體積，E×H為波印廷矢量。假設(shè)材料是各向同性和線性的，那么:

式中，ε是介電常數(shù)，μ是磁導率。對(3)式、(4)式進行積分互換與整合可得:

2 模擬計算與結(jié)果分析

2.1 楔形微納光纖傳輸特性

Fig.2 Density distribution of wedge-shape micro/nano fiber

圖2a是在楔形微納光纖的z-x截面中，z=0.24μm，z= －0.24μm兩條與軸線(z=0μm)平行的直線上能量密度與傳輸距離的關(guān)系。橫坐標x為傳輸距離，縱坐標為能量密度，3條曲線分別是楔形光纖z=0.24μm，z=0μm，z= －0.24μm 線上的能量密度變化圖?？梢钥吹?，在傳輸距離x=7.5μm位置之前，即楔形微納光纖的圓柱形部分，由于光纖的對稱性，z=0.24μm時的曲線和z= －0.24μm 時的曲線基本重合，而z=0μm時的曲線則要在z=0.24μm時的曲線和z=－0.24μm時的曲線之上，但曲線形狀幾乎一樣。這說明了在圓柱形光纖部分，其能量分布并未受到楔形部分的影響，即光纖中的能量主要集中在纖芯部分，距纖芯中心等距離處的能量分布幾乎一樣。當傳輸距離x＞7.5μm后，能量開始傳輸進入楔形光纖部分，圖中z=0μm時的曲線和z=0.24μm時的曲線均出現(xiàn)下降趨勢，而z=－0.24μm時的曲線卻是先增大而后才出現(xiàn)下降。這表明能量在剛進入楔形部分時，其分布就發(fā)生了變化，當傳輸距離大于7.5μm時，部分纖芯被切除，于是隨著傳輸距離的增大，z=0.24μm的位置會最先處于包層中，致使其能量值以較快的速度下降。而在光纖軸線z=0μm的下方，開始時纖芯對能量仍有較強的束縛，且纖芯的體積又小于圓柱形光纖纖芯體積，于是能量密度開始是增大，而后，由于楔形部分有效直徑D的減小，光纖束縛光場的能力減弱，能量溢出纖芯產(chǎn)生損耗，導致能量密度出現(xiàn)下降。圖2b是楔形光纖橫截面的光場分布，圖中實線為對應圖2a中傳輸距離x=7.5μm位置，虛線則對應x=11.25μm位置。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，在楔形光纖中，大部分光場能量仍存在于纖芯中，包層中的能量則比較少。由圖中兩根曲線關(guān)系，可以判斷出，光場能量向楔形光纖的楔邊方向靠攏，在進入楔形光纖后，其下方包層中的能量要大于開始端的。

Fig.3 Energy distribution in z-x plane of single wedge-shaped micro/nano fiber

為了更直觀地表明能量在楔形微納光纖中的傳輸，圖3中給出了楔形微納光纖的能量分布圖，可以看到，楔形微納光纖前端對能量的束縛較好，越靠近尖端，能量被束縛在楔形光纖的表面越明顯。因此，對于楔形光纖，受其楔形結(jié)構(gòu)的影響，電場能量主要沿著楔邊向尖角方向集中，但又不是一直集中下去，在某個位置之后會出現(xiàn)纖芯表面的能量要強于纖芯中的情況。隨著楔形部分有效直徑D的減小，光纖對能量的束縛能力是先增大后減小，所以楔形光纖中的能量密度先增大到最大值，之后就一直減少。

2.2 兩根楔形微納光纖的耦合特性

楔形微納光纖的能量耦合結(jié)果如圖4所示。圖4a圖是在光纖z-x截面上的能量分布，圖4b圖是在光纖z-x截面上z=0μm位置處的能量密度變化圖。通過耦合區(qū)域，光場從左邊光纖耦合進了右邊光纖，但也伴隨著能量的損耗。結(jié)合圖4a和圖4b可以看到，在楔形區(qū)域的尖端部分，即在傳播方向x=10μm左右處，能量密度達到最大值，之后，左邊光纖通過楔邊向右邊光纖耦合進能量，在兩楔邊之間的空氣層有能量損失，所以右邊光纖的能量密度要低于左邊。在圖4b中，x在10μm～12μm這個區(qū)域，能量密度有明顯的下降，這是由于左邊光纖的楔端將能量導向下方，在兩光纖的軸線上，能量會明顯地減少，隨后，能量從左邊的楔端部分耦合到了右邊楔端，能量回到軸線上，所以能量密度有一定的增加。

Fig.4 Energy distribution of two wedge-shaped micro/nano fibers coupling

光纖中的耦合效率直接反應楔形微納光纖耦合時的能量損失情況。對耦合效率定義為右邊光纖出射光場的功率Poutput和左邊光纖入射光場的功率Pinput的比值。對于楔形光纖的耦合，由于耦合間隙的存在，在楔形光纖的端面會出現(xiàn)菲涅耳反射對耦合效率的影響。關(guān)于菲涅耳反射對耦合效率的影響，本文中主要從反射系數(shù)與透射系數(shù)［16］而計算出。耦合效率的值在0～1之間，越大表明耦合效果越好，能量損失越少。

首先，研究兩根楔形微納光纖之間軸向位移a對耦合效率的影響。在楔形微納光纖的楔角β=46.8°，徑向位移r=0μm時，軸向位移a的變化對耦合效率的影響如圖5a所示，方點連接的實線1為不考慮菲涅耳反射影響下的耦合效率，三角點連接的虛線2為考慮耦合效率下的耦合效率變化曲線 (下面類似，不再敘述)，可以看到考慮菲涅耳反射后，其耦合效率略低于不考慮下的情況。當軸向位移a處于0μm～2μm時，軸向位移a增大，耦合效率η減小得非?？?軸向位移a在2μm～3.8μm時，耦合效率η減小得相對較緩慢。當a增大到一定值時，楔角的能量基本都已經(jīng)被損失，耦合到右邊光纖的能量是左邊光纖軸線左右的能量在間隙中向前傳播耦合進的，所以隨著a的增大，相對損失量較小，所以耦合效率η減小相對較緩慢。

Fig.5 Impact of axial displacement and radial displacement on coupling efficiency

接著，研究兩根楔形微納光纖之間的徑向位移r對耦合效率的影響。在楔角β=46.8°，軸向位移a=0.5μm時，改變兩根楔形微納光纖之間的徑向位移r，對耦合效率的影響如圖5b所示。可以看到，徑向位移從0μm增大到0.6μm，耦合效率η迅速地減小到了10%，繼續(xù)增大徑向位移r，耦合效率η逐漸趨于0。左邊光纖圓柱形中的能量傳輸?shù)娇拷舛藚^(qū)域時，能量束縛在軸線的下方，當產(chǎn)生徑向位移時，第2根楔形光纖尖端部分區(qū)域很少能接收能量，能量在空氣中被損失掉，徑向位移r越大，沒有光纖接收能量的區(qū)域越多，則損耗越多，導致了徑向位移r的增大，耦合效率η減小比較快。在徑向位移r＞0.6μm后，兩根楔形微納光纖基本已經(jīng)錯開，所以耦合效率η逐漸趨于0。

在光纖直徑不變時，改變楔角，楔形光纖的長度隨之發(fā)生變化，其直接影響楔形光纖耦合的模型結(jié)構(gòu)。在徑向位移r=0μm、軸向位移a=0.5μm 時，改變兩根楔形微納光纖的楔角β，耦合效率的影響如圖6所示?？梢钥吹?，楔角β從0°增加到90°時，耦合效率先減小后增大。楔角β從1°增加到7°時，耦合效率相當大，此時楔形光纖的長度非常大，兩根楔形微納光纖的耦合區(qū)域都相當長，兩根光纖的耦合區(qū)的接觸面積特別大，所以能量損失特別小。楔角β從7°增加到50°，在此楔角范圍下，楔形光纖的長度減小的非?？欤瑑筛饫w耦合區(qū)的接觸面積逐漸減小，導致能量損失越來越多，所以耦合效率迅速的減小。隨著楔角β的繼續(xù)增大，耦合效率卻越來越高，β從50°增大到85°，η從63%增加到了90%左右，其原因是楔角β越大，楔形光纖的長度變得特別短，聚集在光纖楔角的能量越向軸線附近靠近，在楔角頂端方向損失的能量越少，所以耦合效率越來越高。

Fig.6 Impact of wedge angle on coupling efficiency

3 結(jié)論

應用COMSOL Multiphysics仿真軟件模擬研究了楔形微納光纖的能量分布，并對兩根楔形微納光纖的耦合特性和耦合效率進行了數(shù)值分析。在楔形微納光纖中，能量的分布為沿著楔邊向尖端方向集中，但在某一位置時，會出現(xiàn)纖芯表面的能量密度要強于纖芯中的能量密度，之后隨著傳輸距離的增大，纖芯中的能量損失越來越多，越靠近尖端，束縛在纖芯表面的能量越來越強。楔形微納光纖發(fā)生耦合時，軸向位移、徑向位移和楔角對耦合效率都有著較大的影響。軸向位移的增大和徑向位移的增大，都會使得耦合效率先迅速減小，后緩慢減小，而楔角的增大，會使得耦合效率先減小，在大于50°后，耦合效率又逐漸增大。楔形微納光纖可以用來設(shè)計一些光學器件如濾波器，也可以應用于光纖傳感器等光電器件中，對楔形微納光纖特性的理論研究可為其實際應用提供幫助。

［1］ CLOHESSY A M，HEALY N，MURPHY D F.Short low-loss nanowire tapers on single-mode fibers［J］.Electronics Letters，2005，41(17):954-955.

［2］ LI M，JING Y L，ZHI Zh Y，et al.Self-modulated taper drawing of silica nanowires［J］.Nanotechnology，2005，16(9):1445-1448.

［3］ FALCO A D，MASSARI M，SCULLION M G，et al.Propagation losses of slotted photonic crystal waveguids［J］.IEEE Photonic，2012，4(5):1536-1541.

［4］ CUI N D，LIANG J Q，LIANG Zh Zh，et al.Photonic crystals and 2-D photonic crystal waveguides［J］.OME Information，2009，26(10):19-27(in Chinese).

［5］ WEI J，JUN D，HONG W，et al.Design and fabrication of high-efficiency photonic crystal power beam splitters［J］.Optics Letters，2011，36(20):4077-4079.

［6］ RAHIMI S，HOSSEINI A，XU X，et al.Group-index independent coupling to band engineered SOI photonic crystal waveguide with large slow-down factor［J］.Optics Express，2011，19(22):21832-21841.

［7］ LIU Y G，CHE F L，JIA Zh A，et al.Investigation on the characteristics of micro/nano fiber Bragg grating for refractive index sensing［J］.Acta Physica Sinica，2013，62(10):250-255(in Chinese).

［8］ CI J Sh，CHENG D G，YI N，et al.Micro-structure analysis in the coupling region of fiber coupler with a novel electrical micro-heater［J］.Optical Fiber Technology，2011，17(6):541-545.

［9］ BERES C，de NAZARE F V B，de SOUZA N Ch，et al.Tapered plastic optical fiber-based biosensor-tests and application［J］.Biosensors and Bioelectronics，2011，30(1):328-332.

［10］ CASAS-BEDOYA A，HUSKO C，MONAT C，et al.Slow light dispersion engineering of photonic crystal waveguides using selective microfluidic infiltration［J］.Optics Lettters，2012，37(20):4215-4217.

［11］ XIONG Y，ZHU D Q，DUAN Ch F，et al.Small-volume fiber-optic evanescent-wave absorption sensor for nitrite determination［J］.Analytical and Bioanalytical Chemistry，2010，396(12):943-948.

［12］ HONG Z H，LI X W，ZHOU L J，et al.Coupling characteristics between two conical micro/nano fibers:simulation and experiment［J］.Optics Express，2011，19(5):3854-3861.

［13］ JUNG Y M，BRAMBILLA G，RICHARDSON D J.Broadband singlemode operation of standard optical fibers by using a sub-wavelength optical wire filter［J］.Optics Express，2008，16(19):14661-14667.

［14］ LI M T，SUMETSKY M.Subwavelength and nanometer diameter optical fibers［M］.Hangzhou:Zhejiang University Press，2009:44-60.

［15］ CAO Zh Q.Guided wave optical［M］.Beijing:Science Press，2007:4-5(in Chinese).

［16］ LIU Q N.Transmission formula and analysis of TM wave in 1-D photonic crystal［J］.Laser Technology，2014，38(3):325-329(in Chinese).