梯度折射率介質(zhì)對(duì)復(fù)變量sinh-Gaussian光束傳輸?shù)挠绊?/h1>
2015-04-19 02:49:58黃永超張廷蓉
激光技術(shù) 2015年5期
黃永超，張廷蓉
(1.內(nèi)江師范學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院，內(nèi)江641112;2.四川師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，成都610066)
引 言
非線性光學(xué)不僅從理論上豐富了人們對(duì)光與物質(zhì)相互作用的認(rèn)識(shí)，而且已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用。因此，研究非均勻介質(zhì)在激光束作用下產(chǎn)生的非線性現(xiàn)象及其應(yīng)用是一個(gè)非常熱門的課題。梯度折射率介質(zhì)是比較典型的非均勻介質(zhì)，它在光纖耦合器、光通信、光學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)用開發(fā)等方面具有廣泛的應(yīng)用前景。目前人們對(duì)梯度折射率介質(zhì)的特性及其應(yīng)用做了深入的研究［1－5］。梯度折射率介質(zhì)中余弦高斯光束、平頂高斯光束、洛倫茲高斯光束、雙曲正弦高斯光束和空心高斯光束的傳輸特性也有廣泛研究［6－10］。雙曲正弦高斯光束(sinh－Gaussian beams，ShGB)是厄米余弦高斯光束的特例［11］。對(duì)雙曲正弦高斯光束中雙曲正弦函數(shù)的變量取復(fù)數(shù)，稱之為復(fù)變量雙曲正弦高斯光束(elegant sinh－Gaussian beams，EShGB)［12］，雙曲正弦高斯光束在直角坐標(biāo)系下各軸上光強(qiáng)為0，但是各象限中雙曲正弦高斯光束的光強(qiáng)分布具有明顯的對(duì)稱性，并且雙曲正弦高斯光束可看作是具有相同束寬的兩偏心高斯光束合成?；诖耍芯繌?fù)變量雙曲正弦高斯光束具有重要意義。作者將運(yùn)用廣義惠更斯－菲涅耳衍射積分法推導(dǎo)出EShGB在折射率徑向分布介質(zhì)中的傳輸光場(chǎng)，運(yùn)用空間二階矩的定義解出光斑尺寸的的表達(dá)式，并數(shù)值模擬介質(zhì)中EShGB傳輸特性，為其在實(shí)際應(yīng)用中提供一定的理論參考。
1 EShGB通過梯度折射率介質(zhì)的傳輸公式
在z=0mm 的平面上，EShGB 的場(chǎng)強(qiáng)分布［11－12］為:
式中，w0表示EShGB的束腰寬，α和γ為與雙曲正弦函數(shù)項(xiàng)相關(guān)的參量，x0是入射面上的橫向坐標(biāo)，E0是入射面的場(chǎng)分布。EShGB通過梯度折射率介質(zhì)中從源平面到觀察平面z之間的光學(xué)系統(tǒng)用傳輸矩陣表示為［1］:
式中，A，B，C，D為1階光學(xué)系統(tǒng)的變換矩陣元，β為梯度折射率系數(shù)。當(dāng)EShGB通過這一光學(xué)系統(tǒng)的傳輸時(shí)，可由廣義惠更斯－菲涅耳衍射積分描述［13］:
式中，k=2π/λ為波數(shù)，λ為波長(zhǎng)。選取梯度徑向分布的介質(zhì)作為研究對(duì)象，其梯度折射率徑向分布介質(zhì)的折射率可表示為［7］:
式中，n0表示介質(zhì)軸上的折射率。將(1)式帶入(3)式，得EShGB通過梯度折射率介質(zhì)的傳輸場(chǎng)為:
式中，x'=x/w0為相對(duì)坐標(biāo)，a=αw0和b=γw0為光束參量，Z0=πw02/λ為瑞利長(zhǎng)度。將(2)式帶入(5)式，由I(x'，z)=E(x'，z)×E*(x'，z)，可得 EShGB 在梯度折射率徑向分布的介質(zhì)中任意一點(diǎn)的光強(qiáng)分布。其中E*(x'，z)表示E(x'，z)的共軛。
分析(11)式可知，當(dāng)a=0，b=0時(shí)，光斑尺寸在z=0mm平面上取最小值(即束腰寬度)。對(duì)(11)式進(jìn)行微分，可以得到EShGB在梯度折射率介質(zhì)中傳輸時(shí)，在觀察面z上的EShGB的光斑尺寸的變化率:
式中，M=(1+b2+F)/(βz)2－S，S=1+a2+F，H=ab/(Z0β)是為簡(jiǎn)化引入的變量。
2 數(shù)值計(jì)算及分析
運(yùn)用(1)式對(duì)EShGB在z=0mm平面上的光強(qiáng)分布作了數(shù)值模擬(本文中計(jì)算都取λ=632nm，w0=0.96mm)，由圖1可以得出:當(dāng)x=0時(shí)，光強(qiáng)為0，這是由EShGB性質(zhì)所決定的;當(dāng)a=0.2，b=15(a較小，b較大)時(shí)，光強(qiáng)分布具有正弦高斯光束的形狀;當(dāng)a=2，b=0.2(a較大，b較小)時(shí)，光強(qiáng)分布表現(xiàn)出來了雙曲正弦高斯光束特征，這是由于b較小時(shí)，EShGB趨于退化為雙曲正弦高斯光束;當(dāng)a=2，b=15(a，b較大)時(shí)，光強(qiáng)分布既不具有正弦高斯光束性質(zhì)，也不具有雙曲正弦高斯光束特征。
Fig.1 Intensity distributions at the plane z=0mm
運(yùn)用(6)式做數(shù)值模擬，取折射率參量 β=0.1mm－1，圖2中給出了光束在觀察面(z=15mm)上的光強(qiáng)分布，由圖2可知，當(dāng)EShGB在梯度折射率介質(zhì)中傳輸時(shí)，光強(qiáng)分布保持了z=0mm平面上的特征，即梯度折射率介質(zhì)不改變光束的形狀。對(duì)比圖1和圖2可以知道，折射率的空間分布對(duì)光強(qiáng)峰值及光斑有影響。
Fig.2 Intensity distribution at the plane z=15mm
為了進(jìn)一步說明折射率的空間分布對(duì)光束光斑的影響，利用(11)式進(jìn)行數(shù)值模擬，取折射率參量β=0.1mm－1，結(jié)果如圖3所示。當(dāng)EShGB在梯度折射率介質(zhì)中傳輸時(shí)，隨著傳輸距離的增加，光斑尺寸出現(xiàn)周期性變化;隨光束參量a增大，光斑尺寸振蕩幅度增大;隨偏心參量b增大，光斑尺寸振蕩幅度減小。由此可知，光斑尺寸振蕩的幅度由光束參量a和b決定。
Fig.3 Spot size versus propagation distance z
為了進(jìn)一步說明折射率系數(shù)β對(duì)光斑的影響，圖4中給出了當(dāng)折射率系數(shù)β取不同值時(shí)，光斑尺寸隨傳輸距離z變化，由圖4可以知道，光束參量一定(a=2，b=2)，EShGB在梯度折射率介質(zhì)中傳輸時(shí)，隨折射率系數(shù)β的增大，光斑尺寸的振蕩周期性發(fā)生了變化;并發(fā)現(xiàn)，折射率系數(shù)β越大，振蕩周期越小，即隨折射率β的增大，在傳輸方向上周期被壓縮，但是光斑尺寸沒有變化。這表明梯度折射率系數(shù)決定了光斑尺寸變化的周期，但是對(duì)光斑尺寸振蕩的幅度沒有影響。
Fig.4 Spot size versus propagation distance z for different gradient－index parameters β
運(yùn)行(12)式做數(shù)值模擬，取折射率參量 β=0.1mm－1，結(jié)果如圖5所示。當(dāng)EShGB在梯度折射率介質(zhì)中傳輸時(shí)，隨傳輸距離的增加，光斑尺寸變化率在前半個(gè)周期內(nèi)為負(fù)值，由0逐漸減小到最小，后半個(gè)周期突然躍遷到正的最大值再逐步減小到0。這說明前半個(gè)周期光斑尺寸逐漸減小，即光束在聚焦;后半個(gè)周期光斑尺寸在逐漸增大，即光束在發(fā)散。由圖5還可以看出，在同一觀察面上，當(dāng)光束參量a的增大，光斑尺寸變化率的范圍在擴(kuò)展;當(dāng)光束參量b的增大，光斑尺寸變化率的范圍被壓縮。
Fig.5 Change rate of spot size versus propagation distance z
為了進(jìn)一步說明折射率系數(shù)β對(duì)光斑尺寸變化率的影響，圖6中給出了當(dāng)折射率系數(shù)β取不同值時(shí)，光斑尺寸變化率隨傳輸距離z的變化。由圖6可知，光束參量一定(a=0.2，b=0.2)，EShGB 在梯度折射率介質(zhì)中傳輸時(shí)，隨折射率系數(shù)β增加，光斑尺寸變化率的范圍在擴(kuò)展;同時(shí)發(fā)現(xiàn)光斑尺寸變化率的周期被壓縮，表明折射率系數(shù)增大，光束擴(kuò)展或聚焦都將變快。
Fig.6 Change rate of spot size versus propagation distance for different gradient－index parameters β
3 結(jié)論
研究了梯度折射率介質(zhì)對(duì)EShGB傳輸?shù)挠绊懀Y(jié)果表明:當(dāng)復(fù)變量雙曲正弦高斯光束在梯度折射率介質(zhì)中傳輸時(shí)，光束出現(xiàn)了周期性變化，周期由折射率系數(shù)決定，并且光斑尺寸隨傳輸距離的增加，光斑尺寸出現(xiàn)了余弦平方的變化規(guī)律，光斑尺寸振蕩幅度由光束參量確定，當(dāng)隨光束參量a的增大，光斑尺寸振蕩幅度增大;隨偏心參量b的增大，光斑尺寸振蕩幅度減小。因此，通過傳輸控制參量可以得到余弦平方變化的光信號(hào)，從而得到數(shù)字脈沖光信號(hào);同時(shí)發(fā)現(xiàn)，光斑尺寸的變化率隨傳輸距離變化也具有周期性，通過對(duì)比可知，光斑尺寸變化率躍遷的位置就是光斑尺寸最小的位置，在同一觀察面上，當(dāng)光束參量a的增大，光斑尺寸變化率的范圍在擴(kuò)展;當(dāng)光束參量b的增大，光斑尺寸變化率的范圍在被壓縮。在實(shí)驗(yàn)中，EShGB可由厄米－高斯模相干合成而產(chǎn)生，主要用于表征激光器的遠(yuǎn)場(chǎng)分布，因此，對(duì)于描述大功率半導(dǎo)體激光器的光場(chǎng)有著重要的意義。這些結(jié)論有助于大功率半導(dǎo)體激光器等方面的開發(fā)應(yīng)用。
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黃永超，張廷蓉
(1.內(nèi)江師范學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院，內(nèi)江641112;2.四川師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，成都610066)
引 言
非線性光學(xué)不僅從理論上豐富了人們對(duì)光與物質(zhì)相互作用的認(rèn)識(shí)，而且已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用。因此，研究非均勻介質(zhì)在激光束作用下產(chǎn)生的非線性現(xiàn)象及其應(yīng)用是一個(gè)非常熱門的課題。梯度折射率介質(zhì)是比較典型的非均勻介質(zhì)，它在光纖耦合器、光通信、光學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)用開發(fā)等方面具有廣泛的應(yīng)用前景。目前人們對(duì)梯度折射率介質(zhì)的特性及其應(yīng)用做了深入的研究［1－5］。梯度折射率介質(zhì)中余弦高斯光束、平頂高斯光束、洛倫茲高斯光束、雙曲正弦高斯光束和空心高斯光束的傳輸特性也有廣泛研究［6－10］。雙曲正弦高斯光束(sinh－Gaussian beams，ShGB)是厄米余弦高斯光束的特例［11］。對(duì)雙曲正弦高斯光束中雙曲正弦函數(shù)的變量取復(fù)數(shù)，稱之為復(fù)變量雙曲正弦高斯光束(elegant sinh－Gaussian beams，EShGB)［12］，雙曲正弦高斯光束在直角坐標(biāo)系下各軸上光強(qiáng)為0，但是各象限中雙曲正弦高斯光束的光強(qiáng)分布具有明顯的對(duì)稱性，并且雙曲正弦高斯光束可看作是具有相同束寬的兩偏心高斯光束合成?；诖耍芯繌?fù)變量雙曲正弦高斯光束具有重要意義。作者將運(yùn)用廣義惠更斯－菲涅耳衍射積分法推導(dǎo)出EShGB在折射率徑向分布介質(zhì)中的傳輸光場(chǎng)，運(yùn)用空間二階矩的定義解出光斑尺寸的的表達(dá)式，并數(shù)值模擬介質(zhì)中EShGB傳輸特性，為其在實(shí)際應(yīng)用中提供一定的理論參考。
1 EShGB通過梯度折射率介質(zhì)的傳輸公式
在z=0mm 的平面上，EShGB 的場(chǎng)強(qiáng)分布［11－12］為:
式中，w0表示EShGB的束腰寬，α和γ為與雙曲正弦函數(shù)項(xiàng)相關(guān)的參量，x0是入射面上的橫向坐標(biāo)，E0是入射面的場(chǎng)分布。EShGB通過梯度折射率介質(zhì)中從源平面到觀察平面z之間的光學(xué)系統(tǒng)用傳輸矩陣表示為［1］:
式中，A，B，C，D為1階光學(xué)系統(tǒng)的變換矩陣元，β為梯度折射率系數(shù)。當(dāng)EShGB通過這一光學(xué)系統(tǒng)的傳輸時(shí)，可由廣義惠更斯－菲涅耳衍射積分描述［13］:
式中，k=2π/λ為波數(shù)，λ為波長(zhǎng)。選取梯度徑向分布的介質(zhì)作為研究對(duì)象，其梯度折射率徑向分布介質(zhì)的折射率可表示為［7］:
式中，n0表示介質(zhì)軸上的折射率。將(1)式帶入(3)式，得EShGB通過梯度折射率介質(zhì)的傳輸場(chǎng)為:
式中，x'=x/w0為相對(duì)坐標(biāo)，a=αw0和b=γw0為光束參量，Z0=πw02/λ為瑞利長(zhǎng)度。將(2)式帶入(5)式，由I(x'，z)=E(x'，z)×E*(x'，z)，可得 EShGB 在梯度折射率徑向分布的介質(zhì)中任意一點(diǎn)的光強(qiáng)分布。其中E*(x'，z)表示E(x'，z)的共軛。
分析(11)式可知，當(dāng)a=0，b=0時(shí)，光斑尺寸在z=0mm平面上取最小值(即束腰寬度)。對(duì)(11)式進(jìn)行微分，可以得到EShGB在梯度折射率介質(zhì)中傳輸時(shí)，在觀察面z上的EShGB的光斑尺寸的變化率:
式中，M=(1+b2+F)/(βz)2－S，S=1+a2+F，H=ab/(Z0β)是為簡(jiǎn)化引入的變量。
2 數(shù)值計(jì)算及分析
運(yùn)用(1)式對(duì)EShGB在z=0mm平面上的光強(qiáng)分布作了數(shù)值模擬(本文中計(jì)算都取λ=632nm，w0=0.96mm)，由圖1可以得出:當(dāng)x=0時(shí)，光強(qiáng)為0，這是由EShGB性質(zhì)所決定的;當(dāng)a=0.2，b=15(a較小，b較大)時(shí)，光強(qiáng)分布具有正弦高斯光束的形狀;當(dāng)a=2，b=0.2(a較大，b較小)時(shí)，光強(qiáng)分布表現(xiàn)出來了雙曲正弦高斯光束特征，這是由于b較小時(shí)，EShGB趨于退化為雙曲正弦高斯光束;當(dāng)a=2，b=15(a，b較大)時(shí)，光強(qiáng)分布既不具有正弦高斯光束性質(zhì)，也不具有雙曲正弦高斯光束特征。
Fig.1 Intensity distributions at the plane z=0mm
運(yùn)用(6)式做數(shù)值模擬，取折射率參量 β=0.1mm－1，圖2中給出了光束在觀察面(z=15mm)上的光強(qiáng)分布，由圖2可知，當(dāng)EShGB在梯度折射率介質(zhì)中傳輸時(shí)，光強(qiáng)分布保持了z=0mm平面上的特征，即梯度折射率介質(zhì)不改變光束的形狀。對(duì)比圖1和圖2可以知道，折射率的空間分布對(duì)光強(qiáng)峰值及光斑有影響。
Fig.2 Intensity distribution at the plane z=15mm
為了進(jìn)一步說明折射率的空間分布對(duì)光束光斑的影響，利用(11)式進(jìn)行數(shù)值模擬，取折射率參量β=0.1mm－1，結(jié)果如圖3所示。當(dāng)EShGB在梯度折射率介質(zhì)中傳輸時(shí)，隨著傳輸距離的增加，光斑尺寸出現(xiàn)周期性變化;隨光束參量a增大，光斑尺寸振蕩幅度增大;隨偏心參量b增大，光斑尺寸振蕩幅度減小。由此可知，光斑尺寸振蕩的幅度由光束參量a和b決定。
Fig.3 Spot size versus propagation distance z
為了進(jìn)一步說明折射率系數(shù)β對(duì)光斑的影響，圖4中給出了當(dāng)折射率系數(shù)β取不同值時(shí)，光斑尺寸隨傳輸距離z變化，由圖4可以知道，光束參量一定(a=2，b=2)，EShGB在梯度折射率介質(zhì)中傳輸時(shí)，隨折射率系數(shù)β的增大，光斑尺寸的振蕩周期性發(fā)生了變化;并發(fā)現(xiàn)，折射率系數(shù)β越大，振蕩周期越小，即隨折射率β的增大，在傳輸方向上周期被壓縮，但是光斑尺寸沒有變化。這表明梯度折射率系數(shù)決定了光斑尺寸變化的周期，但是對(duì)光斑尺寸振蕩的幅度沒有影響。
Fig.4 Spot size versus propagation distance z for different gradient－index parameters β
運(yùn)行(12)式做數(shù)值模擬，取折射率參量 β=0.1mm－1，結(jié)果如圖5所示。當(dāng)EShGB在梯度折射率介質(zhì)中傳輸時(shí)，隨傳輸距離的增加，光斑尺寸變化率在前半個(gè)周期內(nèi)為負(fù)值，由0逐漸減小到最小，后半個(gè)周期突然躍遷到正的最大值再逐步減小到0。這說明前半個(gè)周期光斑尺寸逐漸減小，即光束在聚焦;后半個(gè)周期光斑尺寸在逐漸增大，即光束在發(fā)散。由圖5還可以看出，在同一觀察面上，當(dāng)光束參量a的增大，光斑尺寸變化率的范圍在擴(kuò)展;當(dāng)光束參量b的增大，光斑尺寸變化率的范圍被壓縮。
Fig.5 Change rate of spot size versus propagation distance z
為了進(jìn)一步說明折射率系數(shù)β對(duì)光斑尺寸變化率的影響，圖6中給出了當(dāng)折射率系數(shù)β取不同值時(shí)，光斑尺寸變化率隨傳輸距離z的變化。由圖6可知，光束參量一定(a=0.2，b=0.2)，EShGB 在梯度折射率介質(zhì)中傳輸時(shí)，隨折射率系數(shù)β增加，光斑尺寸變化率的范圍在擴(kuò)展;同時(shí)發(fā)現(xiàn)光斑尺寸變化率的周期被壓縮，表明折射率系數(shù)增大，光束擴(kuò)展或聚焦都將變快。
Fig.6 Change rate of spot size versus propagation distance for different gradient－index parameters β
3 結(jié)論
研究了梯度折射率介質(zhì)對(duì)EShGB傳輸?shù)挠绊懀Y(jié)果表明:當(dāng)復(fù)變量雙曲正弦高斯光束在梯度折射率介質(zhì)中傳輸時(shí)，光束出現(xiàn)了周期性變化，周期由折射率系數(shù)決定，并且光斑尺寸隨傳輸距離的增加，光斑尺寸出現(xiàn)了余弦平方的變化規(guī)律，光斑尺寸振蕩幅度由光束參量確定，當(dāng)隨光束參量a的增大，光斑尺寸振蕩幅度增大;隨偏心參量b的增大，光斑尺寸振蕩幅度減小。因此，通過傳輸控制參量可以得到余弦平方變化的光信號(hào)，從而得到數(shù)字脈沖光信號(hào);同時(shí)發(fā)現(xiàn)，光斑尺寸的變化率隨傳輸距離變化也具有周期性，通過對(duì)比可知，光斑尺寸變化率躍遷的位置就是光斑尺寸最小的位置，在同一觀察面上，當(dāng)光束參量a的增大，光斑尺寸變化率的范圍在擴(kuò)展;當(dāng)光束參量b的增大，光斑尺寸變化率的范圍在被壓縮。在實(shí)驗(yàn)中，EShGB可由厄米－高斯模相干合成而產(chǎn)生，主要用于表征激光器的遠(yuǎn)場(chǎng)分布，因此，對(duì)于描述大功率半導(dǎo)體激光器的光場(chǎng)有著重要的意義。這些結(jié)論有助于大功率半導(dǎo)體激光器等方面的開發(fā)應(yīng)用。
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