基于內(nèi)插外推的隨機(jī)頻率步進(jìn)信號(hào)旁瓣抑制

劉俊豪， 付朝偉

（上海無(wú)線電設(shè)備研究所，上海200090）

0 引言

頻率步進(jìn)（Stepped Frequency，SF）信號(hào)具有瞬時(shí)窄帶和合成寬帶的優(yōu)點(diǎn)，因此在高分辨雷達(dá) 中 廣 泛 應(yīng) 用［1］。隨 機(jī) 頻 率 步 進(jìn)（Random Stepped Frequency，RSF）信號(hào)兼具頻率步進(jìn)信號(hào)優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)［2］，具有理想的“圖釘形”模糊函數(shù)，且具有優(yōu)良的低截獲概率、電磁兼容性以及抗射頻干擾等特性。同時(shí)，RSF 信號(hào)易于工程實(shí)現(xiàn)，能與普通雷達(dá)信號(hào)體制兼容［3］，已受到雷達(dá)領(lǐng)域的廣泛關(guān)注。

但是，RSF信號(hào)的隨機(jī)性導(dǎo)致合成高分辨距離（High Resolution Range，HRR）圖像具有較高的隨機(jī)調(diào)制噪聲。同時(shí)，在有些應(yīng)用中，如頻帶斷續(xù)［4-6］、阻塞式干擾或波形周期受限的寬帶信號(hào)等情況［7］，由于其頻帶不連續(xù)的影響，導(dǎo)致距離旁瓣電平進(jìn)一步抬高，容易引起弱目標(biāo)淹沒在強(qiáng)目標(biāo)旁瓣中，或多目標(biāo)旁瓣疊加形成虛假目標(biāo)等現(xiàn)象。

目前，對(duì)于RSF信號(hào)的旁瓣抑制，文獻(xiàn)［5，6］從信號(hào)設(shè)計(jì)的角度，通過(guò)跳頻編碼的設(shè)計(jì)抑制匹配濾波后的旁瓣，但在頻帶缺失時(shí)該方法的旁瓣抑制性能有限。文獻(xiàn)［8，9］采用CLEAN 算法逐次去除強(qiáng)目標(biāo)旁瓣對(duì)其他目標(biāo)的影響，得到旁瓣抑制效果，但該方法適用于距離單元相互獨(dú)立的情況，因此在高分辨雷達(dá)應(yīng)用中受到限制。文獻(xiàn)［10］通過(guò)設(shè)計(jì)失配濾波器實(shí)現(xiàn)距離旁瓣抑制，但存在SNR 損失，并且當(dāng)處理窗邊緣處存在目標(biāo)時(shí)，邊緣效應(yīng)會(huì)嚴(yán)重影響處理窗內(nèi)的旁瓣抑制效果。

內(nèi) 插 外 推 法（Interpolation and Extrapolation，IE）由Sacchi和Ulrych等人提出，用于提高譜估計(jì)的精度［11］。

本文在IE算法原理的基礎(chǔ)上，由隨機(jī)跳頻編碼設(shè)計(jì)相關(guān)矩陣，利用柯西-高斯模型先驗(yàn)信息的貝葉斯準(zhǔn)則進(jìn)行最大后驗(yàn)（Maximum a Posterior，MAP）概率函數(shù)的最小化，從而得到具有內(nèi)插外推的高分辨離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）矩陣，并通過(guò)迭代算法實(shí)現(xiàn)，最后仿真分析驗(yàn)證了其旁瓣抑制性能和參數(shù)估計(jì)精度。

1 信號(hào)模型

假設(shè)RSF信號(hào)一個(gè)波形周期由M 個(gè)脈沖組成，每個(gè)脈沖的步進(jìn)量從頻率集｛0，Δf，…，（N-1）Δf｝（N ＞M）中隨機(jī)抽取，即第m（m ＝0，1，…，M-1）個(gè)脈沖頻率為Fm＝fc+fm，其中fc為載頻，fm＝cmΔf，cm∈｛0，1，…，N-1｝為頻率跳變編碼，則一個(gè)波形周期發(fā)射信號(hào)可以表示為

式中：Tp為脈沖寬度；Tr為脈沖重復(fù)間隔（Pulse Repetition Interval，PRI）；rect（·）為 矩 形 窗函數(shù)。

由于fm隨機(jī)變化，如圖1所示，因此RSF信號(hào)具有良好的低截獲概率和抗射頻干擾特性。

圖1 RSF信號(hào)頻率步進(jìn)示意圖

設(shè)原始距離分辨單元（即脈寬Tp對(duì)應(yīng)的距離）內(nèi)有K 個(gè)目標(biāo)，則對(duì)RSF回波信號(hào)在每個(gè)子脈沖上進(jìn)行一次采樣，得到對(duì)目標(biāo)距離像的頻域非均勻采樣，其中第m 個(gè)采樣點(diǎn)表示為

式中：c為光速；Rk和γk分別對(duì)應(yīng)第k 個(gè)目標(biāo)的距離和幅度。

因此，一個(gè)波形周期采樣序列向量可表示為

一個(gè)波形周期采樣序列匹配接收后的合成距離像記為x∈CN×1，其中CN×1為N×1維的復(fù)數(shù)集合，并受到方差為σ的高斯白噪聲n的影響，即n～N（0，σIM），其中IM為M 維單位矩陣，則該過(guò)程表示為

式中：相關(guān)DFT 矩陣A ∈CM×N表示為

式中：Δr為距離分辨率

其中：

對(duì)于式（4），需要從采樣序列s中恢復(fù)出距離像x，其最小二乘解為

式中：（·）H表示共軛轉(zhuǎn)置。

式（6）又稱為相關(guān)處理（Coherent Process-ing，CP）方法，由于頻域采樣序列s頻點(diǎn)缺失，因此恢復(fù)出的距離像旁瓣較高。

同時(shí)，由于DFT 矩陣A 的秩rand（A）＝M ＜N，因此不能得到穩(wěn)定的解。

下面通過(guò)貝葉斯準(zhǔn)則，利用距離像的頻譜特性等先驗(yàn)信息，對(duì)缺失的頻點(diǎn)通過(guò)內(nèi)插外推的迭代過(guò)程得到高分辨距離像。

2 內(nèi)插外推算法原理

對(duì)于式（4）表示的線性欠定方程，存在多個(gè)解，為求取其唯一解，構(gòu)造正則化目標(biāo)函數(shù)為

式中：正則化矩陣Φ（x）對(duì)解的特征進(jìn)行約束；‖·‖2表示2范數(shù)。

對(duì)于n～CN（0，σ2nIM）的復(fù)高斯白噪聲，采樣序列的條件概率密度分布函數(shù)為

如果x 的先驗(yàn)概率密度函數(shù)與參量σx有關(guān)，即表示為p（x｜σx），則似然函數(shù)表示為

因此，對(duì)于給定的σx和σn，當(dāng)p（x｜s，σx，σn）最大時(shí)，得到MAP的估計(jì)值。

假設(shè)復(fù)變量xn服從柯西分布，即表示為

式中：σx為尺度參數(shù)。

因此，柯西分布的正則化矩陣Φ（x）為

故正則化目標(biāo)函數(shù)式（7）可表示為

式（12）的解為

式中：λ＝σ2n／σ2x；Q ∈CN×N為對(duì)角矩陣，對(duì)角線上元素為

3 IE算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程

式（13）表示的解與最小二乘解類似，但是對(duì)角矩陣Q 是非線性的，并且與xn有關(guān)，因此需要構(gòu)造一種迭代的方法來(lái)求解x。

利用恒等式

得到式（13）表示的最優(yōu)解還可表示為

令b＝（λIN+AQ AH）-1s，迭代過(guò)程數(shù)學(xué)形式為

因此，根據(jù)式（17）～式（18）得到內(nèi)插外推法的迭代過(guò)程。

步驟1：

a）根據(jù)距離分辨率、距離范圍等參數(shù)構(gòu)造相關(guān)矩陣A；

b）初始化x（0）＝AHs，其中x（0）即為匹配接收結(jié)果；

c）由初始解x（0）得到矩陣Q（0）；帶入式（17）和式（18）得到x（1），此時(shí)k＝1。

步驟2：由解x（k）得到矩陣Q（k）；k＝k+1；由式（17）～式（18）得到x（k+1）。

步驟3：判斷迭代終止，如果滿足式（19）則終止迭代，否則轉(zhuǎn)到步驟2。

式中：ε為接近于0的常數(shù)。一般迭代次數(shù)在10次以內(nèi)即可滿足要求。

4 仿真與分析

仿真參數(shù)設(shè)置：

a）載頻fc＝10GHz；

b）脈沖寬度Tp＝0.1μs；

c）脈沖重復(fù)間隔Tr＝2μs；

d）最小頻率步進(jìn)量Δf＝5 MHz；

e）可用頻點(diǎn)數(shù)N＝512；

f）頻率編碼在0～511 內(nèi)隨機(jī)抽取M ＝64點(diǎn)，并且仿真過(guò)程中加入SNR 為20dB的高斯白噪聲。

RSF信號(hào)合成成像過(guò)程中，通過(guò)少的頻點(diǎn)合成全頻帶對(duì)應(yīng)的高分辨距離像。為了驗(yàn)證本文IE算法對(duì)旁瓣的抑制性能，仿真過(guò)程中目標(biāo)參數(shù)設(shè)置分兩種情況：

一是檢測(cè)窗內(nèi)單個(gè)目標(biāo)，距離為100m 且目標(biāo)幅度為1；

二是檢測(cè)窗內(nèi)存在多個(gè)強(qiáng)弱目標(biāo)，且其距離分別為100，101，102，110，115 m，目標(biāo)幅度分別為1，1，0.3，0.3，1。

常規(guī)相關(guān)處理（CP）方法和本文IE 旁瓣抑制算法仿真結(jié)果，如圖2所示。其中，當(dāng)處理窗內(nèi)只有一個(gè)目標(biāo)時(shí)，如圖2（a）所示，CP結(jié)果存在較高旁瓣基底，且主旁瓣電平（Peak Sidelobe Level，PSL）為10dB；而IE處理對(duì)缺失的頻點(diǎn)進(jìn)行內(nèi)插外推并進(jìn)行距離合成，其主旁瓣比明顯提高，圖中可以看出進(jìn)行旁瓣抑制的IE 算法比CP 方法的旁瓣電平降低近30dB。

圖2 基于IE的RSF信號(hào)旁瓣抑制仿真結(jié)果

當(dāng)檢測(cè)窗內(nèi)存在多個(gè)目標(biāo)時(shí)，CP處理結(jié)果和IE旁瓣抑制結(jié)果如圖2（b）所示，由于多個(gè)目標(biāo)的共同作用，導(dǎo)致相關(guān)處理結(jié)果旁瓣電平提高，此時(shí)強(qiáng)目標(biāo)的PSL為5dB，使得弱目標(biāo)在CP處理后較難識(shí)別。

IE處理結(jié)果雖然旁瓣電平有所提高，但旁瓣電平在-30dB附近，5個(gè)目標(biāo)在處理窗內(nèi)能夠清晰辨別。

對(duì)于單目標(biāo)情況，加入不同SNR 的高斯白噪聲，進(jìn)行200次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)得到相關(guān)處理方法和IE旁瓣抑制方法距離像恢復(fù)重建的均方誤差曲線，如圖3 所示，圖中同時(shí)給出了不同SNR 對(duì)應(yīng)的克拉美-羅下限（Cramer-Rao Lower Bound，CRLB）。

圖3 距離像重建的均方誤差曲線

圖中可以看出，IE 方法的估計(jì)精度遠(yuǎn)優(yōu)于CP方法，且IE 旁瓣抑制后的估計(jì)精度逼近CRLB且一致性較好。

5 總結(jié)

本文提出采用內(nèi)插外推算法進(jìn)行隨機(jī)頻率步進(jìn)雷達(dá)信號(hào)旁瓣抑制，利用柯西-高斯模型的先驗(yàn)信息得到具有內(nèi)插外推性質(zhì)的DFT 矩陣，從而得到RSF信號(hào)在缺失頻點(diǎn)情況下高分辨距離像的恢復(fù)。

理論分析和數(shù)值仿真表明，所采用的方法能夠進(jìn)行有效的RSF信號(hào)距離旁瓣抑制，并且參數(shù)估計(jì)精度接近CRLB。

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