張芨強 李曉平 羅 誠 袁 淋 杜知洋

1.中海石油(中國)有限公司湛江分公司， 廣東 湛江 524057；2.西南石油大學油氣藏地質及開發(fā)工程國家重點實驗室， 四川 成都 610500；3.中國石油川慶鉆探工程公司地質勘探開發(fā)研究院， 四川 成都 610056;4.中國石化西南油氣分公司川東北采氣廠， 四川 閬中 637402

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基于橢圓流模型計算壓裂后氣井產能新思路

張芨強1,2李曉平2羅 誠3袁 淋4杜知洋2

1.中海石油(中國)有限公司湛江分公司， 廣東 湛江 524057；2.西南石油大學油氣藏地質及開發(fā)工程國家重點實驗室， 四川 成都 610500；3.中國石油川慶鉆探工程公司地質勘探開發(fā)研究院， 四川 成都 610056;4.中國石化西南油氣分公司川東北采氣廠， 四川 閬中 637402

通常可將低滲透氣藏中垂直裂縫井的流動劃分為裂縫區(qū)域外的橢圓徑向流和裂縫內的線性流?；诜€(wěn)定滲流理論和橢圓流模型，引入橢圓坐標系下的拉梅系數(shù)和擬壓力，通過對影響氣井產能多種因素的考慮，建立了垂直裂縫井在有限導流下的產能預測新模型。新模型計算結果表明：啟動壓力梯度和應力敏感使氣井產能減小；滑脫效應使氣井產能增加；裂縫導流能力和裂縫長度的增加使氣井產能增加，但一定的裂縫長度對應一個最佳的裂縫導流能力；隨著地層污染帶半徑增大和滲透率降低，氣井產能呈下降趨勢且下降幅度也在增大。利用新模型公式計算出的無阻流量與實際產能測試結果誤差較小，說明推導的產能預測方程具有一定的可靠性。

低滲透氣藏；產能方程；橢圓流；拉梅系數(shù)；啟動壓力梯度；滑脫效應；應力敏感

0 前言

低滲透氣藏滲流實驗結果表明，氣體在啟動壓力梯度[1]、應力敏感[2]以及滑脫效應[3]等因素的影響下會出現(xiàn)非線性滲流特征[4-6]。對于低滲透氣藏中的氣井，為了獲取較高的產能，必須實施壓裂改造。近些年來，計算壓裂后形成垂直裂縫井產能的方法主要有利用保角變換法計算[7-8]，利用橢圓流模型和雙線性流模型計算[9-11]，將儲層中氣體的流動考慮為徑向流和線性流組合模型計算[12-13]，以及其他垂直裂縫井的產能計算方法[14-17]。其中，利用橢圓流模型的計算主要采用了等價發(fā)展矩形的思想，相當于把平面橢圓形的流動區(qū)域簡化為矩形，這樣會導致計算結果的偏差。本文從實際流動區(qū)域入手，在橢圓流模型的基礎上引入了橢圓坐標系下的拉梅系數(shù)和擬壓力，同時采用在橢圓坐標系下對橢圓積分的方法，重新研究了低滲透氣藏垂直裂縫井產能計算方法。

1 壓裂井滲流物理模型

圖1 氣井壓裂后滲流物理模型

氣井在壓裂后改變了地層中流體的滲流方式，形成了橢圓流動，見圖1。對壓裂后的氣井做出如下假設：

1)壓裂后形成沿井眼對稱分布的有限導流垂直裂縫。

2)裂縫剖面為與氣層等高的矩形。

3)地層中存在裂縫外的橢圓流動區(qū)域和裂縫內的線性流動區(qū)域。

4)流體為單相、均質流體，滲流過程中等溫且無任何特殊的物理化學現(xiàn)象發(fā)生。

5)地層中存在污染。

2 壓裂井產能預測模型

2.1 地層橢圓流

直井壓裂后形成的垂直裂縫井會改變氣體在地層中的滲流方式，誘發(fā)以裂縫端點為焦點的平面二維橢圓流[18]。由幾何學知識可知直角坐標和橢圓坐標的關系為：

x=afcos(η)y=bfsin(η)

(1)

af=Lfch(ξ)bf=Lfsh(ξ)

(2)

式中：x、y分別為直角坐標；η、ξ分別為橢圓坐標；af、bf分別為橢圓的長半軸、短半軸；Lf為裂縫半長，m；ch(ξ)、sh(ξ)分別為ξ的雙曲余弦、雙曲正弦函數(shù)。

根據(jù)氣體的穩(wěn)定滲流理論，在橢圓坐標系下考慮啟動壓力梯度、應力敏感以及滑脫效應的氣體運動方程[5-6，19]為：

(3)

引入橢圓坐標系下的拉梅系數(shù)(hξ、hη)和漢密爾頓算子p，帶入式(3)后對η在[0，2π]積分可化簡為：

在橢圓坐標系下，對產量公式兩邊同時積分，有：

(5)

式中：qsc為氣井壓裂后地面產量，m3/d；Bg為氣體體積系數(shù)，Bg=ZTpsc/(pTsc)；A為滲流面積，m2；h為氣層厚度，m。

聯(lián)立式(4)和(5)，化簡可得：

式中：Z為氣體偏差因子；psc為標況下氣體的壓力，0.101 325MPa；T為地層溫度，K;Tsc為標況下氣體溫度，293K。

其中：S=(Ki/Ks-1)(ξs-ξf)，此時ξf對應長軸為Lf的橢圓，由式(2)可知ξf=0，而ξe可通過等壓橢圓族方程進行求解[20-22]，可得ξe=ln(2re/Lf)。

式中：ξf為橢圓坐標系下裂縫處坐標；ξe為橢圓坐標系下氣藏外邊界坐標；ξs為橢圓坐標系下污染帶坐標；re為供給半徑，m；pf為裂縫兩端的壓力，MPa；S為污染帶的表皮因子；Ks為污染帶滲透率，10-3μm2。

2.2 裂縫區(qū)域線性流

氣體在裂縫中流動的物理模型見圖2。氣體從裂縫中流動到井底時，存在高速非達西效應，F(xiàn)orchheimerPH[23]通過實驗提出了以下二次方程描述高速非達西流動：

(9)

(10)

(11)

式中：Kf為裂縫滲透率，10-3μm2；v1為流體在裂縫中的流速，m/d;Wf為裂縫寬度，m；βg為氣體紊流系數(shù)，m-1；Mair為氣體相對分子質量；γg為氣體相對密度；R為摩爾氣體常數(shù)，0.008 471MPa·m3/(kmol·K)；ρg為氣體密度，kg/m3。

圖2 氣體在裂縫中流動的物理模型

將式(10)和(11)帶入式(9)，對x從rw到Lf積分，p從pwf到pf積分，且μg和Z的值按平均壓力處的值計算，并轉化為礦場實用單位制得

最后聯(lián)立式(8)、(12)即得低滲透氣藏有限導流垂直裂縫井的產能預測模型：

(13)

對于方程組(13)，首先輸入相關的計算參數(shù)pe、pwf等，接下來給出一組pf值，將pf值分別帶入到式(13)的兩個方程中，利用牛頓下山法和二次方程求根公式法分別求解出pf和qsc對應的兩條關系曲線，曲線交點上的值即為井底流壓pwf對應的產量qsc，改變pwf的值，便可求得無阻流量qAOF等參數(shù)。

3 實例分析

3.1 產能計算

3.2 產能影響因素分析

根據(jù)3.1節(jié)的壓裂氣井的基本參數(shù)，分析影響氣井無阻流量的敏感性因素。

3.2.1 非達西效應影響因素

啟動壓力梯度、應力敏感和滑脫效應對氣井無阻流量的影響見圖3～5。從圖中可知，啟動壓力梯度和應力敏感與氣井無阻流量都成負相關，而滑脫效應與氣井無阻流量成正相關。說明啟動壓力梯度和應力敏感會阻礙氣體的流動，在氣體的滲流過程中產生一種“附加阻力”；滑脫效應會促進氣體的流動，在氣體的滲流過程中產生一種“附加動力”。

圖3 啟動壓力梯度對氣井無阻流量的影響

圖4 應力敏感對氣井無阻流量的影響

圖5 滑脫效應對氣井無阻流量的影響

3.2.2 裂縫參數(shù)

裂縫參數(shù)對氣井無阻流量的影響見圖6。從圖6可知，裂縫長度和裂縫導流能力對氣井無阻流量的影響相似，它們的增加都會使無阻流量增大；但在一定裂縫長度下，氣井無阻流量隨著裂縫導流能力的增加會很快達到一個上限值。說明裂縫長度和裂縫導流能力的增加增大了氣體流向井筒的通道；一定的裂縫長度對應一個最佳的裂縫導流能力。

圖6 裂縫參數(shù)對氣井無阻流量的影響

3.2.3 污染帶參數(shù)

污染帶參數(shù)對氣井無阻流量的影響見圖7。從圖7可知，隨著地層污染帶半徑增大和污染帶滲透率降低，氣井無阻流量呈下降趨勢且下降幅度增大。說明污染帶半徑的增大和污染帶滲透率的降低對氣體的滲流會產生更大的阻力；污染帶半徑越大，污染帶滲透率對無阻流量的影響就越大；污染帶滲透率越大，污染帶半徑對無阻流量的影響就越小。

圖7 污染帶參數(shù)對氣井無阻流量的影響

4 結論

1)建立了垂直裂縫井在有限導流下的產能預測模型，經實例計算驗證其可靠性較高，為求取壓裂氣井產能提供了一種新思路。

2)啟動壓力梯度和應力敏感對氣體滲流產生一種“附加阻力”，使氣井產能降低；而滑脫效應產生一種“附加動力”，使氣井產能增加。

3)裂縫導流能力和裂縫長度的增加擴大了氣體的流動通道，使氣井產能增加；一定的裂縫長度對應一個最佳的裂縫導流能力。污染帶滲透率的減小和污染帶半徑的增大會阻礙氣體的流動，使氣井產能降低；污染帶半徑越大，污染帶滲透率對氣井產能的影響越大；污染帶滲透率越小，污染帶半徑對氣井產能的影響越大。

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2015-02-15

國家杰出青年科學基金項目“油氣滲流力學”(51125019)

張芨強(1990-)，男，四川南充人，碩士研究生，從事油藏工程及油田開發(fā)研究。

10.3969/j.issn.1006-5539.2015.06.011