王 鹍, 劉亞秋, 郝 兵, 史慶武

(1.佳木斯大學 信息電子技術學院, 黑龍江 佳木斯 154007;2.東北林業(yè)大學 信息與計算機工程學院, 哈爾濱 150040)

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五維系統(tǒng)的混沌動力學分析

王 鹍1,2, 劉亞秋2, 郝 兵1, 史慶武1

(1.佳木斯大學 信息電子技術學院, 黑龍江 佳木斯 154007;2.東北林業(yè)大學 信息與計算機工程學院, 哈爾濱 150040)

以一個五維混沌系統(tǒng)為研究對象,利用狀態(tài)變量反饋方法,引入一個線性控制器,形成一個五維受控系統(tǒng)。利用李雅普諾夫方法和勞斯穩(wěn)定判據進行理論分析,設計控制器,求出受控系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的控制律。采用數值仿真試驗的方法進一步研究該五維受控系統(tǒng)的動力學行為及其混沌運動特征。線性控制器在不同的參數區(qū)域內選取控制參數,該五維受控系統(tǒng)的響應曲線呈現出平衡點漸近穩(wěn)定、收斂到某些固定點、周期軌道運動、新混沌的分岔現象。提供了一個動力學性態(tài)豐富的五維混沌控制和反控制系統(tǒng)。對需求高維混沌信號的混沌保密通信等相關領域提供了理論和試驗支持。

五維混沌系統(tǒng); 動力學分析; 混沌控制

0 引 言

隨著網絡信息技術和通信技術的快速發(fā)展,通信的安全性和保密性危機日趨嚴重。由于混沌信號自身對初始條件十分敏感,具有非周期、連續(xù)寬頻帶、似噪聲的復雜隨機特性,經過混沌信號調制后的信號即使被敵方截獲,也很難被破譯,因此,混沌同步的理論和技術被重點應用在混沌保密通信等相關領域[1-2],這就急需研究發(fā)現復雜的混沌系統(tǒng)作為信號源。

混沌現象多種多樣,混沌系統(tǒng)亦多種多樣。當混沌現象有害時,設法抑制混沌,當混沌有益時,善加利用,這就是混沌控制和反控制。較成熟的混沌系統(tǒng)研究主要集中在一些低維的混沌系統(tǒng)上,如Logistic映射[3]、氣象學中的Lorenz系統(tǒng)[4],陳氏系統(tǒng)[5]、呂氏系統(tǒng)[6]、電路中的Chua系統(tǒng)等[7]。而高維混沌系統(tǒng),由于其動力學行為復雜,運動模型往往未知,高維系統(tǒng)混沌的研究剛剛起步[8-10]。

一般來講,混沌系統(tǒng)維數越高,系統(tǒng)響應越復雜,倘若選擇高維的混沌系統(tǒng)、超混沌系統(tǒng)作為混沌源信號,對原始信號進行掩蓋加密,信息傳遞的安全性將會更高。目前存在的問題是模型結構已知的高維混沌系統(tǒng)并不多,雖有幾種五維系統(tǒng)正在信號加密的探索中[11-13],但是其動力學行為并不豐富,遠不能滿足實際的需要。因此,發(fā)現更多的高維混沌系統(tǒng)及研究其動力學行為迫在眉睫。

本文以五維系統(tǒng)作為研究對象,引入狀態(tài)變量反饋,使用解析法和仿真實驗來分析五維受控系統(tǒng)的非線性動力學行為,發(fā)現系統(tǒng)出現了分岔現象[14-15],具有混沌及周期等多種運動狀態(tài)。

1 五維系統(tǒng)混沌模型及仿真

所選的一類五維非線性系統(tǒng)的微分方程為:

在文獻[16]中,取a=3.9,b=9.17,c=3.94,d=7.068,e=1時,該五維系統(tǒng)數學模型為:

計算求得系統(tǒng)(2)的2個平衡點,分別是[1,0,0,0,0]T和[-1,0,0,0,0]T。

(a)—狀態(tài)變量x1的響應; (b)—系統(tǒng)的三維相圖(x1,x2,x5)。

該五維系統(tǒng)的相軌跡是不規(guī)則的雜亂波,始終在一個有界的區(qū)域里,圖1b出現了奇怪吸引子現象,滿足混沌特征。因此,該五維系統(tǒng)是混沌系統(tǒng),從整體上說混沌是穩(wěn)定的,但平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。

2 平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定

2.1 控制器的設計

為了實現五維系統(tǒng)的相軌跡漸近收斂到平衡狀態(tài),將一個或幾個變量反饋引入系統(tǒng),根據反饋控制原理設計控制器,求取控制規(guī)律。

根據李雅普諾夫方法求得系統(tǒng)(3)平衡狀態(tài)的雅可比矩陣:

線性化后得到特征方程為:

利用勞斯穩(wěn)定判據,計算求得控制律:當相軌跡漸近收斂到平衡點[1,0,0,0,0]T時,反饋k1取值區(qū)域為k1>1;當相軌跡漸近收斂到平衡點[-1,0,0,0,0]T時,反饋的取值區(qū)域為k1>2。

2.2 數值仿真實驗

在k1>2的廣大區(qū)域內選取參數做仿真實驗,取k1=15,數值仿真如下。

1) 受控系統(tǒng)的相軌跡收斂到第1個平衡點,仿真如圖2所示。

(a)—x1的相圖; (b)—受控系統(tǒng)的三維相圖(x1,x2,x5)。

2) 受控系統(tǒng)的相軌跡收斂到第2個平衡點,仿真如圖3所示。

(a)—x1的相圖; (b)—三維相圖(x1,x2,x4)。

理論分析知道,當k1>2時,2個平衡狀態(tài)都能漸近穩(wěn)定,仿真實驗驗證了理論的正確性。

3 實驗分析受控系統(tǒng)其他運動狀態(tài)

3.1 受控系統(tǒng)周期運動

(a)—x1的響應圖; (b)—二維相圖(x2,x3)。

3.2 受控系統(tǒng)狀態(tài)軌跡收斂

(a)—x1的響應圖; (b)—x2的響應圖; (c)—二維相圖(x4,x5); (d)—三維相圖(x1,x3,x4)。

從圖5可知,反饋參數k1=0.62時,五維受控系統(tǒng)收斂到點[0.42,-0.36,0,0,0]T。

3.3 系統(tǒng)出現新的混沌

當k1=0時,受控系統(tǒng)是原系統(tǒng)(2),混沌圖形如圖1所示。當k1<0時,大量仿真實驗表明受控系統(tǒng)出現新的混沌。取k1=-2,仿真結果見圖6。

(a)—x2的相圖; (b)—系統(tǒng)的三維相圖(x1,x3,x5)。

由圖6、圖4和圖5可知,k1在不同的參數區(qū)域選值,受控系統(tǒng)出現由混沌到周期運動再到收斂的跳變,出現了分叉現象,動力學性態(tài)豐富。

4 結 語

本文將一個五維混沌系統(tǒng)引入一個狀態(tài)變量反饋,利用李雅普諾夫方法和勞斯穩(wěn)定判據求出受控系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的解析解。通過大量的仿真實驗研究,確定出不同的參數區(qū)域,當選取不同的控制參數時,該五維受控系統(tǒng)呈現出平衡點穩(wěn)定、收斂、周期運動等動力學行為,實現了五維系統(tǒng)的混沌控制和反控制,為混沌保密通信等相關領域需要的復雜混沌信號提供了理論和試驗支持。

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Analysis of chaotic dynamics of five-dimensional system

WANGKun1,2,LIUYaqiu2,HAOBing1,SHIQingwu1

(1.College of Information and Electronic Technology, Jiamusi University, Jiamusi 154007, China;2.College of Information and Computer Engineering, Northeast Forestry University, Harbin 150040, China)

A 5-dimensional chaos system is taken as the object of this paper.A linear controller is introduced by the state variables feedback method to form a 5-dimensional controlled system.The Lyapunov method and the Routh criterion are used for theoretical analysis and controller design, and then a control law of asymptotical stable controlled system is obtained.The dynamic behavior and its chaos motion characteristics of this 5-dimensional controlled system are further studied by the numerical simulation method.Given linear controller with the control parameters selected in different regions, the response curves of this 5-dimensional controlled system show the bifurcations such as asymptotic stability at the equilibrium point, convergence at some fixed points, periodic orbit motion, new chaos, etc.A rich characteristic dynamic 5-dimensional chaos control and anti-control system is proposed here, providing theoretcial and experimental support for the related fields of chaos secure communication, which require high-dimensional chaos signals.

five-dimensional chaotic system; dynamic analysis; chaos control

2014-10-26。

國家自然科學基金資助項目(31370565); 佳木斯大學面上科研項目(L2010-128); 黑龍江省自然科學基金資助項目(E201212); 黑龍江省教育廳科研面上項目(12521539)。

王 鹍(1975-),女,黑龍江佳木斯人,佳木斯大學講師,東北林業(yè)大學博士研究生; 通信作者: 劉亞秋(1971-),男,遼寧法庫人,東北林業(yè)大學教授,博士,博士研究生導師。

1673-5862(2015)01-0076-05

TP13

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2015.01.017