倪 圓，何 琳，帥長庚，李 彥

（1海軍工程大學(xué) 振動與噪聲研究所，武漢 430033；2船舶振動噪聲重點實驗室，武漢430033）

磁懸浮主被動混合隔振器靜穩(wěn)定性分析

倪 圓1，2，何 琳1，2，帥長庚1，2，李 彥1，2

（1海軍工程大學(xué) 振動與噪聲研究所，武漢 430033；2船舶振動噪聲重點實驗室，武漢430033）

磁懸浮主被動混合隔振器是一種正負(fù)剛度并聯(lián)的彈性結(jié)構(gòu)。針對該結(jié)構(gòu)存在的穩(wěn)定性問題，建立了某型磁懸浮主被動混合隔振器的剛度模型。基于虛功原理，推導(dǎo)出判定彈性系統(tǒng)靜穩(wěn)定性的剛度準(zhǔn)則。運(yùn)用該準(zhǔn)則，結(jié)合混合隔振器的剛度模型分析了該主被動混合隔振器的靜穩(wěn)定性。理論和實驗結(jié)果表明，該混合隔振器在工作位移內(nèi)，系統(tǒng)剛度為正，混合隔振器是靜穩(wěn)定的。

磁懸浮作動器；氣囊；混合隔振器；靜穩(wěn)定性

0 引 言

主被動混合隔振由被動隔振器承載設(shè)備重量并隔離寬頻振動，同時利用作動器進(jìn)行主動控制從而衰減線譜振動，可同時獲得良好的寬頻隔振效果和線譜控制效果[1]。氣囊隔振器具有固有頻率低、承載能力大、駐波頻率高、無蠕變等特點，是一種性能優(yōu)異的隔振器。磁懸浮作動器具有無接觸、輸出力大、等效剛度低的優(yōu)點，非常適用于主動控制。本文將磁懸浮作動器并聯(lián)集成到氣囊隔振器內(nèi)部組成主被動混合隔振器，由氣囊承載設(shè)備重量并高效隔離寬頻振動，同時控制磁懸浮作動器消除殘余的低頻線譜振動，該技術(shù)具有可靠性高和功耗小等優(yōu)點，可以兼顧低頻線譜振動控制和寬頻振動隔離[2]。

在不進(jìn)行主動控制時，混合隔振器中氣囊在載荷作用下發(fā)生變形，其承載能力隨蓋板位移增加而增大，隔振器剛度為正；磁懸浮作動器的偏置吸引力隨蓋板位移的增加而增大，與氣囊并聯(lián)后造成系統(tǒng)承載減小，磁懸浮作動器的等效位移剛度為負(fù)。磁懸浮主被動混合隔振器可以看做正負(fù)剛度并聯(lián)的彈性結(jié)構(gòu)。正負(fù)剛度并聯(lián)的隔振器能降低系統(tǒng)固有頻率，具有較好的低頻隔振效果，國內(nèi)外學(xué)者對此進(jìn)行了大量研究[3-6]，但過低的固有頻率或剛度也會使隔振裝置的穩(wěn)定性下降[7]。當(dāng)隔振器處于負(fù)剛度狀態(tài)時，此時隔振器載荷隨位移增大而減小，若以不變的載荷作用于其上，則會發(fā)生跳躍現(xiàn)象，造成系統(tǒng)靜態(tài)失穩(wěn)[8]。任何隔振器必須是靜態(tài)穩(wěn)定的，因此采用磁懸浮主被動混合隔振器進(jìn)行隔振時有必要分析其靜穩(wěn)定性。

本文基于磁路歐姆定律及實驗修正的方法建立了某型磁懸浮作動器的等效負(fù)剛度模型，結(jié)合氣囊隔振器的剛度模型，建立了混合隔振器的系統(tǒng)剛度模型。隨后基于虛功原理，推導(dǎo)了彈性系統(tǒng)靜穩(wěn)定性的剛度準(zhǔn)則，并根據(jù)該準(zhǔn)則分析了該混合隔振系統(tǒng)的靜穩(wěn)定性，最后通過實驗驗證了該穩(wěn)定性。

1 磁懸浮主被動混合隔振器模型

1.1 主被動混合隔振器結(jié)構(gòu)

本文采用的磁懸浮主被動混合隔振器，是將磁懸浮作動器集成到氣囊隔振器內(nèi)部實現(xiàn)并聯(lián)安裝，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中氣囊上蓋板與作動器銜鐵連接，氣囊下蓋板與基座相連。載荷和外界擾動作用于氣囊上蓋板，氣囊隔振器承載設(shè)備重量并高效隔離寬頻振動向基座傳遞，同時磁懸浮作動器通過輸出磁懸浮力抵消設(shè)備傳遞到基座上的低頻線譜振動。系統(tǒng)中氣囊剛度為正，磁懸浮作動器永磁偏置產(chǎn)生的等效位移剛度為負(fù)。該混合隔振器為典型的正負(fù)剛度并聯(lián)結(jié)構(gòu)。

1.2 氣囊剛度模型

氣囊隔振器的支撐、彈性作用主要取決于氣囊內(nèi)的壓縮氣體，氣囊壁對隔振器承載力和剛度影響較小。忽略囊壁對隔振器承載力的影響，氣囊隔振器的剛度為[9]：

圖1 主被動混合隔振系統(tǒng)簡圖Fig.1 Sketch of active-passive hybrid isolation system

其中：P為囊內(nèi)氣體壓力，Se是氣囊的有效面積，n為氣體多變指數(shù)，靜態(tài)加載時取1。Pa為大氣壓力，V為氣囊體積，z為氣囊上蓋板位移，取向下位移為正。在氣囊額定載荷時位移z為零。對于回轉(zhuǎn)型氣囊，氣囊隔振器的有效面積可表達(dá)為：

囊內(nèi)氣體體積的表達(dá)式為：

氣囊壓力的表達(dá)式為：于P，Se和V都是氣囊蓋板位移z的函數(shù)，因此對于固定質(zhì)量的氣體，氣囊隔振器的剛度隨位移呈復(fù)雜的非線性變化關(guān)系。以某型氣囊隔振器為例，根據(jù)氣囊剛度模型，代入氣囊參數(shù)，可得到氣囊隔振器剛度隨位移變化如圖2所示。

圖2 氣囊隔振器剛度隨位移變化Fig.2 Stiffness of air-spring vs.displace

圖3 修正后氣囊隔振器剛度隨位移變化Fig.3 Modified stiffness of air-spring vs.displace

由圖2可以看出，由氣囊隔振器剛度理論計算得到的結(jié)果與實驗值偏差較小，說明文中采用的氣囊剛度模型具有較高的精度?？紤]到氣囊隔振器中安裝有磁懸浮作動器，氣囊隔振器的剛度模型需進(jìn)行修正。某型磁懸浮作動器的體積為Va，混合隔振器囊體體積變?yōu)閂1=V-Va。經(jīng)過體積修正后，氣囊隔振器剛度隨位移變化如圖3所示。

1.2 磁懸浮作動器負(fù)剛度模型

磁懸浮作動器可以采用多種結(jié)構(gòu)形式：上下電磁鐵結(jié)構(gòu)、引入直流偏置電流或使用永磁體偏置等方式。本文采用單邊永磁偏置的E型磁懸浮結(jié)構(gòu)[2]。如圖4所示，其主要由鐵芯、銜鐵、永磁體、導(dǎo)磁橡膠以及線圈組成。永磁體在作動器磁回路中形成偏置磁場，從而對銜鐵產(chǎn)生偏置吸引力。當(dāng)給線圈通入交變的控制電流，就可獲得交變的輸出力。導(dǎo)磁橡膠粘貼在永磁體上表面，能提升氣隙中的磁導(dǎo)率，從而提高作動器的輸出力。另外，導(dǎo)磁橡膠具有彈性，能在銜鐵與其接觸時增加整個系統(tǒng)剛度。

填充導(dǎo)磁橡膠后，氣隙磁導(dǎo)率增加，其效果相當(dāng)于縮短作動器的氣隙。可認(rèn)為填充導(dǎo)磁橡膠后氣隙高度變?yōu)樵瓉淼膋倍（k＜1）。忽略漏磁、磁阻并假設(shè)氣隙磁場均勻，由磁路歐姆定律可得到作動器輸出力：

圖4 磁懸浮作動器結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Diagram of maglev actuator

式中：g是銜鐵、永磁體間的氣隙高度，h為永磁體厚度，S1和S2分別是內(nèi)外鐵芯與銜鐵的正對面積，μ0和μr分別是真空磁導(dǎo)率和永磁體的相對磁導(dǎo)率，F(xiàn)m為永磁體產(chǎn)生的磁勢，N和i分別為線圈匝數(shù)和電流。不進(jìn)行主動控制時，由永磁體產(chǎn)生的靜態(tài)偏置吸引力為：

其中：

針對（6）式中忽略漏磁、磁阻以及所做的磁場均勻假設(shè)帶來的誤差，本文結(jié)合某型磁懸浮作動器實驗數(shù)據(jù)，采用曲線擬合的方法對（6）式進(jìn)行參數(shù)辨識，得到圖5和表1的結(jié)果。

氣囊在額定載荷下，作動器初始?xì)庀稙? mm，作動器的氣隙與氣囊上蓋板位移之間的關(guān)系為g= 5-z。由（6）式可得到作動器的偏置力與氣囊蓋板位移之間的關(guān)系式為：

表1 作動器辨識參數(shù)Tab.1 Identified parameters of the actuator

1.4 混合隔振器剛度模型

磁懸浮主被動混合隔振器可以看做是單自由度彈性系統(tǒng)。當(dāng)作動器銜鐵不與導(dǎo)磁橡膠接觸時，混合隔振器剛度由氣囊正剛度Ks和磁懸浮作動器等效負(fù)剛度Ka兩部分并聯(lián)；當(dāng)作動器銜鐵與導(dǎo)磁橡膠接觸時，混合隔振器剛度由氣囊正剛度Ks、磁懸浮作動器等效負(fù)剛度Ka以及導(dǎo)磁橡膠的剛度Kr三部分并聯(lián)。按氣囊蓋板位移行程z進(jìn)行劃分，混合隔振器總剛度可表達(dá)為：

圖5 作動器的偏置力隨氣隙變化Fig.5 Bias force of actuator vs.air-gap

圖6 作動器等效負(fù)剛度隨位移變化Fig.6 Negative stiffness of actuator vs.displace

由（7）式可以看出，隨著位移增加，作動器的偏置吸引力逐漸增大，作動器表現(xiàn)為對位移的負(fù)剛度。將上式對位移z求導(dǎo)，可得到作動器等效位移負(fù)剛度為：

2 混合隔振器靜穩(wěn)定性分析

2.1 單自由度彈性系統(tǒng)靜穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則

若一受載發(fā)生彈性形變并達(dá)到平衡狀態(tài)的結(jié)構(gòu)在微小擾動作用下稍微偏離其平衡位置后，能回到或有趨勢回到原平衡位置，則稱此平衡態(tài)是靜穩(wěn)定的。對處于平衡狀態(tài)的彈性系統(tǒng)，根據(jù)虛功原理[10]：

其中：δWF為主動力對應(yīng)的虛功，N為廣義坐標(biāo)數(shù)，Qk為與廣義坐標(biāo)qk對應(yīng)的廣義力：

式中：x，y，z為質(zhì)點的自然坐標(biāo)，F(xiàn)x，F(xiàn)y，F(xiàn)z為自然坐標(biāo)下對應(yīng)的主動力。由于作用在彈性系統(tǒng)質(zhì)點上的主動力都是有勢力，各力的投影都可以寫成用勢能V的表達(dá)的形式：

于是有：

由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)特性，δqk可任意取值，所以必須滿足：

由（14）式可知，在勢力場中，彈性系統(tǒng)平衡的條件是勢能對于每個廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零，即勢能具有極值。滿足平衡條件的彈性系統(tǒng)可能處于不同的平衡狀態(tài)：穩(wěn)定平衡、隨遇平衡和不穩(wěn)定平衡。在穩(wěn)定平衡位置處，由于系統(tǒng)受到擾動后能回到原平衡位置，因此系統(tǒng)勢能具有極小值，而不穩(wěn)定平衡處，系統(tǒng)勢能具有極大值[10]。對于單自由度彈性系統(tǒng)，q為系統(tǒng)位移。系統(tǒng)勢能函數(shù)為：

系統(tǒng)剛度為有勢力對位移的負(fù)導(dǎo)數(shù)，即：

由（16）式可以看出，單自由度彈性系統(tǒng)的剛度等于系統(tǒng)勢能函數(shù)對位移的二階導(dǎo)數(shù)。因此，單自由度彈性系統(tǒng)的靜穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則為：

2.2 穩(wěn)定性分析

某型磁懸浮主被動混合隔振器在6.1 kN的額定載荷下保持平衡，此時磁懸浮作動器的初始?xì)庀稙? mm。由于磁懸浮作動器氣隙中填充了3 mm導(dǎo)磁橡膠，混合隔振器正常工作時銜鐵不與導(dǎo)磁橡膠接觸，因此主被動混合隔振器的工作氣隙大于3 mm，對應(yīng)的工作位移小于2 mm。

當(dāng)混合隔振器蓋板位移區(qū)間為負(fù)時，由圖3和圖6可以看出，此區(qū)間內(nèi)作動器等效負(fù)剛度絕對值均比氣囊正剛度小，系統(tǒng)剛度始終為正，根據(jù)穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則可判定該區(qū)間內(nèi)混合隔振器是靜穩(wěn)定的。

當(dāng)混合隔振器蓋板位移區(qū)間為0-2 mm時，根據(jù)前面系統(tǒng)剛度模型，可計算出主被動混合隔振器系統(tǒng)總剛度隨位移變化關(guān)系如圖7所示。

由圖7可以看出，在2 mm的工作位移內(nèi)，由于磁懸浮作動器的等效負(fù)剛度的影響，混合隔振器總剛度隨著位移增大而減小，但總剛度始終為正。根據(jù)穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則可知，混合隔振器在工作位移內(nèi)是靜態(tài)穩(wěn)定的。

當(dāng)蓋板超出2 mm的工作位移時，銜鐵開始與導(dǎo)磁橡膠接觸，混合隔振器剛度由氣囊、作動器和橡膠三部分組成。實驗測得導(dǎo)磁橡膠的等效位移剛度在3 000 N/mm以上，由于導(dǎo)磁橡膠剛度量級遠(yuǎn)超過氣囊隔振器和磁懸浮作動器的剛度，因此該混合隔振器的總剛度會發(fā)生階躍性增大，其系統(tǒng)剛度始終為正。根據(jù)穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則，即使混合隔振器超出工作位移，其也是靜穩(wěn)定的。

由以上分析可知，該磁懸浮混合隔振器在小于2 mm的工作氣隙內(nèi)是靜穩(wěn)定的。即使混合隔振器蓋板超出工作位移，系統(tǒng)總剛度同樣為正，系統(tǒng)還是靜穩(wěn)定的。

圖7 主被動混合隔振器剛度隨位移變化Fig.7 Stiffness of hybrid isolator vs.displace

3 實驗驗證

為了驗證穩(wěn)定性分析的準(zhǔn)確性，本文將主被動混合隔振器，如圖8所示，放在MTS landmark 370.50試驗系統(tǒng)上進(jìn)行靜態(tài)加載實驗，與之進(jìn)行對比實驗的還有同種型號但未安裝作動器的氣囊隔振器。試驗前將混合隔振器以額定高度固定在試驗機(jī)上，緩慢給混合隔振器充氣，直到其垂向載荷達(dá)到6.1 kN時停止充氣。試驗采用位移方式控制，加載速率為0.1 mm/s，以此來模擬靜態(tài)加載。取一個周期循環(huán)的靜態(tài)載荷位移數(shù)據(jù)，得到如圖9所示曲線。

圖8 磁懸浮氣囊主被動混合隔振器Fig.8 Passive-active vibration isolator combining maglev actuator and air spring

由圖9可以看出，在小于2 mm的工作位移內(nèi)，混合隔振器的載荷隨氣囊蓋板位移增加而增大，相對氣囊隔振器而言，其載荷位移曲線逐漸趨于水平，其斜率即混合隔振器剛度隨位移逐漸減小，但總剛度始終大于零，根據(jù)穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則，混合隔振器在工作位移內(nèi)是靜穩(wěn)定的，這與前面的理論分析一致。當(dāng)位移超過2 mm時，混合隔振器的載荷位移曲線發(fā)生突變，說明作動器銜鐵開始與導(dǎo)磁橡膠接觸。接觸后載荷位移曲線斜率即隔振器總剛度變得很大，根據(jù)穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則，在此位移區(qū)間內(nèi)該混合隔振器也是靜穩(wěn)定的。

綜合以上實驗結(jié)果可知，該混合隔振器在工作位移內(nèi)總剛度為正，隔振器是靜穩(wěn)定的。當(dāng)超出工作位移時，由于導(dǎo)磁橡膠的作用，混合隔振器也是靜穩(wěn)定的。實驗結(jié)果驗證了理論分析的正確性。

圖9 氣囊隔振器剛度隨位移變化Fig.9 Stiffness of air-spring vs.displace

4 結(jié) 論

采用磁懸浮主被動混合隔振器進(jìn)行設(shè)備隔振時，需對其進(jìn)行靜穩(wěn)定性分析。本文從建立磁懸浮混合隔振器剛度模型出發(fā)，推導(dǎo)了判定單自由度彈性系統(tǒng)靜穩(wěn)定性的剛度準(zhǔn)則，從理論上分析了某型磁懸浮主被動混合隔振器的靜穩(wěn)定性。隨后對該混合隔振器進(jìn)行MTS靜態(tài)加載實驗，通過實驗驗證了理論分析正確性。理論和實驗結(jié)果表明，混合隔振器在工作位移內(nèi)是靜穩(wěn)定的，即使超出工作位移，由于有導(dǎo)磁橡膠的保護(hù)，混合隔振器也不會失穩(wěn)。但在實際使用時，為了使主動控制正常工作以及保護(hù)易脆的永磁體不受到過大的載荷，需對混合隔振器進(jìn)行限位設(shè)計，確保蓋板位移不超出2 mm。

致謝：本文工作得到了國防科技重點實驗室基金（編號：SYSZC2012002）的資助。

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Static stability analysis of a passive-active hybrid vibration isolator

NI Yuan1,2,HE Lin1,2,SHUAI Chang-geng1,2,Li Yan1,2
(1 Institute of Noise&Vibration,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China；2 National Key Laboratory on Ship Vibration&Noise,Wuhan 430033,China)

Passive-active vibration isolator using maglev actuator is a elastic structure combining positive and negative stiffness.Stiffness model of the hybrid vibration isolator is established to solve the stability problem of the structure.According to virtual work principle,the stiffness principle determining the static stability of a elastic system is derived.This stiffness principle combining the stiffness model is used to analyze the static stability of the hybrid vibration isolator.Theory and experimental results show that the stiffness of the hybrid vibration isolator is positive for working displace,and the isolator is stable.

maglev actuator;air-spring;hybrid vibration isolator;static stability

TB535

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.10.013

1007-7294（2015）10-1275-07

2015-05-28

國防科技重點實驗室基金資助（SYSZC2012002）

倪 圓（1986-），男，博士研究生，E-mail:niyuan-1986@163.com；何 琳（1957-），男，教授。