李捷，陳新，陳新度

(1. 廣東工業(yè)大學(xué)廣東省微納加工技術(shù)與裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州510006;2. 廣東金融學(xué)院，廣東廣州510521)

具有微結(jié)構(gòu)自由曲面表面的光學(xué)元件在機(jī)械工程和光電產(chǎn)業(yè)中得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。這些元件的微結(jié)構(gòu)表面，具有微小表面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如微陣列、微金字塔結(jié)構(gòu)等，面形精度達(dá)亞微米級(jí)，表面粗糙度達(dá)納米級(jí)，如圖1 所示。由于精度要求高，傳統(tǒng)加工方法的加工精度難以滿足需求。超精密加工是制造這類自由曲面光學(xué)元件的有效方法，可實(shí)現(xiàn)高效率、高精度、柔性化加工［1］。

金剛石超精密車削是制造具有微結(jié)構(gòu)表面自由曲面光學(xué)元件的有效加工方法，其中一種最好的實(shí)現(xiàn)方法是快刀伺服系統(tǒng)(Fast Tool Servo，F(xiàn)TS)［2］?？斓端欧夹g(shù)起源于20 世紀(jì)80年代美國(guó)勞倫斯－利佛摩爾國(guó)家實(shí)驗(yàn)室(LLNL)，起初用于誤差補(bǔ)償。

圖1 自由曲面光學(xué)元件

麻省理工學(xué)院、Precitech 公司、Moore 公司、清華大學(xué)、國(guó)防科技大學(xué)等單位研發(fā)了多種驅(qū)動(dòng)原理和機(jī)械結(jié)構(gòu)不同的快刀伺服系統(tǒng)，其響應(yīng)頻率最高可達(dá)至10 kHz 級(jí)，工作行程達(dá)到毫米級(jí)，精度達(dá)到納米級(jí)，用途擴(kuò)展到超精密加工領(lǐng)域，用于加工非圓機(jī)械零件、非球面光學(xué)元件、微陣列表面光學(xué)元件等［3］。該系統(tǒng)可驅(qū)動(dòng)刀具完成與加工工件回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)的、沿工件軸向或徑向的高速和高精度運(yùn)動(dòng)?？斓端欧年P(guān)鍵技術(shù)是高精度的運(yùn)動(dòng)控制。從控制角度看，快刀伺服是閉環(huán)位置隨動(dòng)系統(tǒng)，要求其能精密地驅(qū)動(dòng)刀具跟蹤軌跡做精密運(yùn)動(dòng)，抑制各種對(duì)刀具運(yùn)動(dòng)的干擾因素。國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行廣泛研究，提出了重復(fù)控制、自適應(yīng)控制、PID 控制等方法。

自抗擾控制 (Active Disturbance Rejection Control，ADRC)［4］具有PID 控制的優(yōu)點(diǎn)，且不取決于被控對(duì)象精確的數(shù)學(xué)模型，在未知不確定擾動(dòng)作用下，對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)并給予補(bǔ)償，具有較強(qiáng)的魯棒性。研究人員把自抗擾控制應(yīng)用于智能桁架結(jié)構(gòu)、導(dǎo)彈制導(dǎo)、電機(jī)控制、電力網(wǎng)絡(luò)都取得了理想的控制效果［5－7］。

作者利用自抗擾控制思想，面向?qū)ψ杂汕婀鈱W(xué)元件進(jìn)行超精密加工的快刀伺服系統(tǒng)，設(shè)計(jì)能抑制未知干擾、精確跟蹤運(yùn)動(dòng)軌跡的自抗擾控制器。最后，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證控制器的性能。

1 快刀伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

根據(jù)對(duì)光學(xué)元件的應(yīng)用技術(shù)指標(biāo)要求，結(jié)合工藝條件，確定以壓電陶瓷作為驅(qū)動(dòng)部件，具有頻率響應(yīng)快、定位精度高、無(wú)電磁干擾等優(yōu)點(diǎn)。其主要缺點(diǎn)是行程小、具有遲滯等非線性特性。在選擇行程符合技術(shù)指標(biāo)要求的壓電陶瓷、并開(kāi)發(fā)了消除非線性特性影響的電源控制軟件的條件下，以上缺點(diǎn)可以克服?？斓端欧到y(tǒng)工作狀態(tài)如圖2 所示。

圖2 快刀伺服系統(tǒng)的超精密加工工作示意圖

如圖3，快刀伺服刀架裝置部件包括壓電陶瓷1、柔性鉸鏈2 和預(yù)緊裝調(diào)部分3［8］。

對(duì)快刀伺服刀架進(jìn)行建模分析可把刀架分解為壓電陶瓷和柔性鉸鏈的串聯(lián)結(jié)構(gòu)。

圖3 快刀伺服刀架示意圖

柔性鉸鏈可等效成彈簧－質(zhì)量－阻尼系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)方程可表示為:

對(duì)式(1)進(jìn)行拉氏變換，得到柔性鉸鏈的傳遞函數(shù)如下:

其中:K 是與驅(qū)動(dòng)力有關(guān)的系數(shù);ωn是系統(tǒng)固有頻率;ξ 是阻尼比?？勺鳛槎A振蕩環(huán)節(jié)。

壓電陶瓷可以等效成一個(gè)理想電容Cp與電阻Rp的串聯(lián)結(jié)構(gòu)，可作為一個(gè)慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)是:

其中:Kp是電壓、位移轉(zhuǎn)換系數(shù);τ 是時(shí)間常數(shù)。

所以，快刀伺服刀架的傳遞函數(shù)是:

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 自抗擾控制

自抗擾控制器的設(shè)計(jì)理念是繼承PID 優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)避免其弱點(diǎn)。其結(jié)構(gòu)包括跟蹤微分器(TD)、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器 (ESO)和非線性狀態(tài)誤差反饋控制律(NLSEF)［4］，見(jiàn)圖4。

圖4 自抗擾控制器結(jié)構(gòu)框圖

跟蹤微分器可以對(duì)輸入信號(hào)v 給出兩個(gè)輸出v1和v2，可以快速無(wú)超調(diào)跟蹤輸入信號(hào)，從而避免經(jīng)典調(diào)節(jié)理論中因設(shè)定值突變引起的控制量大幅變化。它的表達(dá)形式如下:

其中:fhan是離散時(shí)間系統(tǒng)最優(yōu)函數(shù);r 是跟蹤速率;h 是積分步長(zhǎng)。fhan函數(shù)的定義如下:

由于快刀伺服刀架是三階系統(tǒng)，理論上對(duì)于控制對(duì)象可構(gòu)造三階擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，輸入信號(hào)除了位移、速度信號(hào)，還應(yīng)加入加速度信號(hào)［9］。但二階擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器也能取得較好的觀測(cè)效果［10］，而且結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，對(duì)于高階產(chǎn)生的擾動(dòng)也可以歸入綜合擾動(dòng)量。由此，構(gòu)造下面的二階三維擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，這個(gè)方法是按系統(tǒng)“時(shí)間尺度”的系統(tǒng)分類方法。

其中非線性函數(shù)fal定義如下:

非線性狀態(tài)誤差反饋控制律可表達(dá)成以下形式:

其中:e1和e2是狀態(tài)誤差;u0相當(dāng)于非線性狀態(tài)誤差反饋PD 控制律;β1和β2分別是相應(yīng)的比例因子和微分因子。擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量的實(shí)時(shí)估計(jì)，因而可對(duì)控制量u 進(jìn)行補(bǔ)償，所以控制律表達(dá)成:

自抗擾控制中的補(bǔ)償項(xiàng)z3/ b0可以對(duì)系統(tǒng)綜合擾動(dòng)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)和補(bǔ)償，這是自抗擾控制的關(guān)鍵一環(huán)，可以替換積分反饋，且消除積分反饋的負(fù)面影響。

2.2 控制器參數(shù)整定規(guī)則

(1)r 是決定過(guò)渡過(guò)程跟蹤速率的參數(shù)，越大速率越快;

(2)參數(shù)β01、β02、β03的值選取過(guò)小或過(guò)大，容易引起振蕩或使跟蹤效果變差。其中比較重要的β03決定擾動(dòng)估計(jì)的快慢，取值越大估計(jì)越快，但過(guò)大易引起估計(jì)值振蕩，過(guò)小則會(huì)引起相位滯后;

(3)β1、β2的整定與PD 控制器的參數(shù)整定方法相似;

(4)對(duì)于函數(shù)fal(e，α ，δ )，δ 確定函數(shù)中線性區(qū)間的大小。比例作用時(shí)，小誤差時(shí)應(yīng)采用大增益，大誤差時(shí)應(yīng)采用小增益，對(duì)應(yīng)地取0 ＜α1＜1;微分作用時(shí)，誤差小時(shí)應(yīng)采用小增益，誤差大時(shí)應(yīng)采用大增益，對(duì)應(yīng)地取α2＞1［5］;

(5)b0與被控對(duì)象結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，是式(10)和式(13)中的關(guān)鍵系數(shù)，決定了擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器和擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)男阅?，可以根?jù)被控對(duì)象模型的具體參數(shù)整定。

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

3.1 參數(shù)整定和數(shù)字仿真實(shí)驗(yàn)

ADRC 需整定11 個(gè)參數(shù)。參數(shù)數(shù)量雖然較多，但并不要求非常精確，只需要在一定區(qū)間內(nèi)即可，不會(huì)對(duì)控制效果產(chǎn)生不良后果。根據(jù)第2.2 節(jié)的參數(shù)整定規(guī)則和實(shí)際情況，確定了以下參數(shù):r =10，h =0.01，β01=110，β02=165，β03=2 580，β1=183，β2=1 755，α1=0.75，α2=1.25，δ=0.01，b0=1.125。

由于金剛石超精密車削對(duì)微結(jié)構(gòu)自由曲面光學(xué)元件加工過(guò)程中最有可能出現(xiàn)的干擾是主軸諧波和刀具切削力信號(hào)，仿真中的參考信號(hào)y =0.2sin (πt/2)是車削過(guò)程中刀具沿工件軸向的運(yùn)動(dòng)軌跡，并在實(shí)驗(yàn)中加入相應(yīng)的擾動(dòng)信號(hào)。

實(shí)驗(yàn)1，在t=5 ～11 s 加幅值是0.02 ，頻率0.5 Hz 的方波信號(hào)，模擬切削力產(chǎn)生的擾動(dòng)信號(hào)。ADRC和PID 分別對(duì)參考信號(hào)的跟蹤軌跡如圖5 所示，跟蹤誤差如圖6 和圖7 所示。

圖5 加入了方波擾動(dòng)的正弦信號(hào)的跟蹤軌跡

圖6 實(shí)驗(yàn)1 中ADRC 的跟蹤誤差

圖7 實(shí)驗(yàn)1 中PID 的跟蹤誤差

圖8 加入了方波擾動(dòng)和主軸諧波擾動(dòng)的正弦響應(yīng)的跟蹤軌跡

實(shí)驗(yàn)2，在實(shí)驗(yàn)1 條件的基礎(chǔ)上，從開(kāi)始加入擾動(dòng)信號(hào)d(t)=0.02sin(500t)，模擬主軸諧波產(chǎn)生的擾動(dòng)信號(hào)。ADRC 和PID 分別對(duì)參考信號(hào)的跟蹤軌跡如圖8 所示，跟蹤誤差如圖9 和圖10 所示。

圖9 實(shí)驗(yàn)2 中ADRC 的誤差

圖10 實(shí)驗(yàn)2 中PID 的跟蹤誤差

3.2 結(jié)果分析

(1)由圖5 和圖8 可看出:對(duì)于相同的參考信號(hào)，ADRC 有比較好的跟蹤性能，有精確跟蹤刀具運(yùn)動(dòng)軌跡能力。

(2)由圖6 和圖7 分析:在加入方波擾動(dòng)信號(hào)后，PID 控制誤差幅度增大;ADRC 誤差范圍未明顯增大。說(shuō)明自抗擾控制有良好的抗干擾特性，對(duì)切削力產(chǎn)生的干擾抑?jǐn)_能力較好。

(3)由圖9 和圖10 可見(jiàn):在加入小幅值正弦擾動(dòng)信號(hào)后，ADRC 的誤差曲線與加入擾動(dòng)前沒(méi)有明顯變化;而對(duì)于PID 控制，小幅值正弦擾動(dòng)信號(hào)帶來(lái)比較劇烈的誤差波動(dòng)。因此，對(duì)于主軸諧波產(chǎn)生的擾動(dòng)，自抗擾控制的抑?jǐn)_能力較強(qiáng)。

4 結(jié)論

針對(duì)用于自由曲面光學(xué)元件超精密加工的快刀伺服系統(tǒng)，采用自抗擾控制的控制方案，對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)精確跟蹤軌跡，抑制各種對(duì)刀具運(yùn)動(dòng)的干擾因素。仿真結(jié)果表明:這種控制方案有較好的跟蹤性能及抗干擾性。未來(lái)的工作包括進(jìn)一步提升自抗擾控制器的抗干擾性能，以及探索用于參數(shù)整定的先進(jìn)智能算法。

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