恒定磁場中鏡像法疊加結(jié)果的矛盾分析

朱 峰，成 晟

(西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川成都 610031)

“電磁場”是電氣工程專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課。鏡像法的解具有解析形式，可以給人以直觀的分析結(jié)果，所以無論是在靜電場還是在恒定磁場，該方法都具有重要的地位［1－3］。如圖1(a)所示，長直導(dǎo)線帶電流為I，空間分界面兩側(cè)的的磁導(dǎo)率不同，分別為μ1、μ2，分界面上必然存在磁化電流，但由于磁化電流面密度不能直接給出，一般教科書通過等效的方式將磁化電流的貢獻(xiàn)看作鏡像電流的貢獻(xiàn)。如求解上半空間中的磁場，可考慮該場都充滿導(dǎo)磁媒質(zhì)μ1，場是由線電流I和鏡像電流I'共同產(chǎn)生的，如圖1(b)所示。同樣，對于下半空間的磁場，則可考慮其充滿導(dǎo)磁媒質(zhì)μ2，其中的場由鏡像電流I″所產(chǎn)生，如圖1(c)所示。

圖1 不同導(dǎo)磁材料中磁場計算的等效原理圖

通用教材中，在圖1條件下I'和I″由唯一性定理和邊界條件容易得出［1－2］:

但是，根據(jù)對稱原理和鏡像法疊加原理，所得的下半空間等效電流I″應(yīng)該為原傳導(dǎo)電流I和磁化電流I'的疊加，如下所示:

很明顯，式(1)與式(2)的I″不等，于是產(chǎn)生了一個矛盾。

1 問題的分析

本文從該問題的物理本質(zhì)入手，剖析媒質(zhì)中線電流產(chǎn)生磁場的實(shí)際物理過程。

當(dāng)無限長線電流I處于磁導(dǎo)率為μ的空間時，在線電流I的周圍一定會產(chǎn)生一些磁化電流;現(xiàn)假設(shè)該空間任一點(diǎn)磁化強(qiáng)度為，磁場強(qiáng)度為，任取一塊面積S，其周界為l，I穿過S一次，則穿過S面的總磁化電流為Im

所以無限長線的實(shí)際電流為原I與I周圍所有磁化電流Im之和:

由上式我們可以得出一個一般性結(jié)論:在磁導(dǎo)率為μ的導(dǎo)磁媒質(zhì)中，考慮了磁化電流的附加作用后，可以在真空中的傳導(dǎo)電流上乘以系數(shù)μ/μ0來得到在磁導(dǎo)率為μ的導(dǎo)磁媒質(zhì)中的等效電流。

回到本文的問題中。此時，上半空間的磁場如圖2(a)所示;對于上半空間的點(diǎn)，可考慮整個場都充滿導(dǎo)磁媒質(zhì)μ1，由式(4)的結(jié)論可得

對于下半空間中的點(diǎn)，由于對稱性，利用鏡像法和疊加原理以及式(4)的一般性結(jié)論，磁場應(yīng)由上半空間的IM和疊加產(chǎn)生，如圖2(b)所示。

在前面的分析推導(dǎo)中，我們得到的都是等效為真空下μ0的結(jié)果。而在本問題中，分析下半空間的磁場時，空間的媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ2，因此需要將真空中的I″

圖2 線電流在不同導(dǎo)磁材料中磁場的物理本質(zhì)原理圖

M轉(zhuǎn)化為媒質(zhì)磁導(dǎo)率為μ2時的電流，利用式(4)的一般性結(jié)論可得

可見式(7)與式(1)的結(jié)果是一致的，為了嚴(yán)謹(jǐn)與充分，我們再驗(yàn)證一下，同理可得

同樣的，式(8)與教科書上的結(jié)果也是一樣的。至此，本文從媒質(zhì)中線電流產(chǎn)生磁場的物理本質(zhì)角度上完成了鏡像法疊加結(jié)果和教科書結(jié)果的統(tǒng)一。其實(shí)，之前鏡像法之所以和教科書上的結(jié)果不一樣，是因?yàn)槲覀儧]有將線電流回歸到最基本的真空中，而本文從這一物理底層進(jìn)行分析，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟忉屃诉@一矛盾的成因。

3 結(jié)語

鏡像法是“電磁場”教學(xué)的一個重點(diǎn)和難點(diǎn)。特別的，鏡像法既能應(yīng)用在靜電場中，也能應(yīng)用在恒定磁場中。本文通過對恒定磁場中線電流磁場問題的鏡像法疊加結(jié)果和教科書結(jié)果的矛盾分析，從物理本質(zhì)上較為深入地證明了兩種解法最終結(jié)果的一致性。這一分析可以幫助學(xué)生深入了解電磁場的本質(zhì)物理意義，以及提高學(xué)生利用類比思想解決問題的能力［4］。

［1］馮慈璋，馬西奎.工程電磁場導(dǎo)論［M］.北京:高等教育出版社，2000

［2］雷銀照.電磁場［M］.北京:高等教育出版社，2008

［3］郭碩鴻.電動力學(xué)(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2008

［4］朱峰，魏天彩.靜電場中導(dǎo)體鏡像與介質(zhì)鏡像的統(tǒng)一［J］.南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報，34(1)，2012