劉青，倪驍驊，郭祥東

(1.江蘇大學機械工程學院，江蘇鎮(zhèn)江 212013;2.鹽城工學院機械優(yōu)集學院，江蘇鹽城 224051;3.安徽理工大學機械學院，安徽淮南 232001)

0 前言

近年來，對非線性觀測器的研究進展較大，如:高增益觀測器，輸出延時觀測器［1－2］，但是傳統(tǒng)的狀態(tài)觀測器需要對被觀測對象進行精確的建模［3］而且抗干擾能力較差［4］。文中采用基于改進的BP神經(jīng)網(wǎng)絡的狀態(tài)觀測器逼近系統(tǒng)中未知的非線性部分，大大降低了對模型的依賴程度以

及狀態(tài)觀測器的復雜程度，并在神經(jīng)網(wǎng)絡的權值自適應律中加入了誤差修正項以增強系統(tǒng)的抗干擾性能。

另外，雖然機械手一般都裝有高精度傳感器測量關節(jié)位置，但是測得的角速度信號一般容易受到外界的干擾，使得機械手在高速運動或者大負載運行時出現(xiàn)超調(diào)抖動和爬行現(xiàn)象［5－6］，故將該觀測器與反演控制相結合，將估計速度代替實際速度，可以避免實際中對速度信號的測量。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下MIMO非線性系統(tǒng):

式中:u∈Rn是系統(tǒng)的控制輸入;y∈Rl為系統(tǒng)的輸出;g(x，u)為系統(tǒng)中未知的非線性函數(shù);x為被觀察的狀態(tài)變量;A為Hurwitz矩陣。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡狀態(tài)觀測器的設計

基本的狀態(tài)觀測器設計為:

式中:x^為狀態(tài)x的估計值;G為狀態(tài)觀測器的增益;g^(x，u)為g(x，u)的估計值，由于三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡可以以任意精度逼近任意的非線性函數(shù)，采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡對其進行逼近，則

式中:W與V分別為神經(jīng)網(wǎng)絡輸入層與隱層的權值向量;ε為BP網(wǎng)絡的逼近誤差，x－=[x u]，σ(·)為隱層神經(jīng)元的傳遞函數(shù)，通常是一個Sigmoidal函數(shù):

其中:Vi為權值矩陣V的第i行，)為的第i個元素。

假設理想權值W，V均有界且有:‖W‖F(xiàn)≤WM，‖V‖F(xiàn)≤VM，Sigmoidal函數(shù)也是有界的，即‖σ(Vx－)‖≤σM，那么g(x，u)可以通過下式來逼近的逼近可以表示為［7］:

定義狀態(tài)估計誤差為:x～=x－x^

由式(1)、(2)、(3)可得誤差狀態(tài)方程如下:

其中:

3 穩(wěn)定性分析

3.1 自適應律的設計

一旦神經(jīng)網(wǎng)絡的結構確定之后，則應該定義適當?shù)膶W習規(guī)則來訓練神經(jīng)網(wǎng)絡。BP神經(jīng)網(wǎng)絡結構簡單，并被廣泛地應用于分類、鑒定、觀測和控制問題中。文中基于改進的BP算法提出了一種新的學習規(guī)則，并通過Lyapunov直接法保證其穩(wěn)定性。權值自適應律基于改進的BP算法，為保證其魯棒性，可以添加與觀測誤差有關的修正項。因此，考慮文獻［8］，基于傳統(tǒng)BP算法的權值自適應律可表達如下:

式中:ρ1，ρ2＞0為修正因子;J=(1/2)(yTy)為目標函數(shù);η1，η2＞0為BP算法的學習律。

那么，

其中m，m為隱層神經(jīng)元個數(shù)。式(9)應用動態(tài)反向傳播的方法以及非線性動態(tài)系統(tǒng)來求解梯度以及。但是這會使觀測器變得非常復雜而且使得實時實現(xiàn)該方法變得非常困難。因此文中使用梯度的靜態(tài)近似值，即令=0，將BP算法進行改進如下:

由式(7)、(8)、(10)可知:式(5)權值自適應律可改寫如下:

于是有定理:對于式(1)所示的系統(tǒng)以及式(4)所示的神經(jīng)網(wǎng)絡觀測器，如果神經(jīng)網(wǎng)絡權值的自適應律設計為式(11)，那么系統(tǒng)的，即狀態(tài)估計誤差，權值估計誤差以及輸出誤差均有界。

證明:由式(11)知:

3.2 穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)為:

以及權值W，V和Sigmoidal函數(shù)的有界性，可得如下不等式:

利用不等式:

以及式(13)可得:

其中，λmin為矩陣Q的最小特征值，K1=‖l2‖/2。

假設ρ1≥，ρ2≥(1/‖C‖)

因此，由式(13)和(15)可知:

3.3 收斂性分析

由式(16)知，在半徑為b的空間球體即

下面分析權值誤差的有界性:式(12)可改寫如下:

通過合理的選擇矩陣Ac以及學習律η1，η2以及修正系數(shù)ρ1，ρ2可以減小估計誤差的上限b，以使系統(tǒng)達到更高的精度。

4 反演控制器的設計

針對雙關節(jié)機械手，其狀態(tài)方程可以表示為

為了應用Backstepping方法，將狀態(tài)觀測器表示如下:

G=［g1g2］，gi∈R2，針對式(1)所示的被控對象，采用神經(jīng)網(wǎng)絡狀態(tài)觀測器可以實現(xiàn)對角位移x1與角速度x2的逼近，因此可以采用估計值來代替實際值x1，x2，在控制中無需速度信號的測量。

對反演控制器進行設計:

第一步:引入新的誤差狀態(tài)向量:

其中x1d為機械手的期望運動軌跡;x2d為虛擬控制量。

故:

針對式(20)中的第一個子系統(tǒng)，Lyapunov函數(shù)定義為:

求導得:

若e2=0，則第一個子系統(tǒng)穩(wěn)定。

第二步，設計控制律，使e2→0，由式(21)得

設計控制律為:

由于該控制系統(tǒng)是由神經(jīng)網(wǎng)絡觀測器和反演控制器構成，因此Lyapunov函數(shù)表達如下:

L=L0+L1+L2

由前面分析可知:L=L0+L1+L2≤0，即控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

5 仿真實例

圖1 simulink主程序圖

Simulink框圖如圖1所示，圖2—3中虛線為采用神經(jīng)網(wǎng)絡狀態(tài)觀測器時機械手的位移，實線為采用已知機械手精確模型且不含有神經(jīng)網(wǎng)絡的狀態(tài)觀測器時機械手的位移。

圖2 關節(jié)1的觀測值與跟蹤結果

圖3 關節(jié)2的觀測值與跟蹤結果

通過比較由圖4可知，使用狀態(tài)觀測器后，系統(tǒng)的跟蹤性能略微下降，但是誤差能很快地收斂到0，仍具有很好的位置跟蹤性能。由圖5可知在使用狀態(tài)觀測器的情況下雖然開始時有略明顯波動，但同樣具有很快的響應速度。因此所設計的觀測器具有較好的收斂性能，該控制方法具有較強的跟蹤性能。

圖4 關節(jié)1的對比結果

圖5 關節(jié)2的對比結果

6 結論

提出了針對MIMO非線性系統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡狀態(tài)觀測器，基于改進的BP算法以及誤差修正項來設計神經(jīng)網(wǎng)絡權值的自適應律，并以此來保證狀態(tài)估計誤差的有界性。文中通過Lyapunov直接法分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，仿真結果表明了該算法的有效性。

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