王冰，周志權(quán)，聶旭萌

(1.北華航天工業(yè)學(xué)院機(jī)械工程系，河北廊坊 065000;2.煙臺(tái)龍?jiān)措娏夹g(shù)股份有限公司，山東煙臺(tái) 264006)

0 前言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)如經(jīng)過合理的設(shè)計(jì)，一般具有剛度大、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，因此，近20年來，其在機(jī)器人、模擬器、數(shù)控機(jī)床及柔性機(jī)構(gòu)等領(lǐng)域得到越來越廣泛的應(yīng)用。但是，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的缺點(diǎn)之一，就是其工作空間小，且工作空間內(nèi)部存在很多奇異，奇異的存在，使得本已很小的工作空間變得更小。而采用驅(qū)動(dòng)冗余可以克服工作空間內(nèi)的奇異，且可進(jìn)一步提高并聯(lián)機(jī)器人的承載能力和剛度，因此，驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)器人吸引了很多學(xué)者的關(guān)注，例如，文獻(xiàn)［1－2］等對(duì)平面二自由度驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)性能與尺寸關(guān)系進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)［3］探討了其綜合性能優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。但是，對(duì)三自由度平面驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)器人的研究卻開展得很少。

并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)尺寸的合理設(shè)計(jì)一直是一個(gè)難點(diǎn)和熱點(diǎn)問題，主要是由于機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)尺寸是多維且無窮的變量，而如何有效地建立機(jī)構(gòu)性能與機(jī)構(gòu)尺寸之間的關(guān)系，則是其合理設(shè)計(jì)的前提。高峰和劉辛軍［4］提出了空間模型理論，并將并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的性能指標(biāo)以數(shù)值的形式體現(xiàn)在空間模型內(nèi)，即性能圖譜。為并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)尺寸的合理設(shè)計(jì)提供了一種非常有效的方法。

機(jī)構(gòu)的剛度是機(jī)器人十分重要的一個(gè)性能，其體現(xiàn)了機(jī)器人機(jī)構(gòu)在外力作用下，抗變形能力的大小。這里將應(yīng)用空間模型理論對(duì)平面三自由度驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)器人的剛度性能和機(jī)構(gòu)尺寸關(guān)系進(jìn)行探討，并繪制其剛度性能圖譜，這些工作將為該機(jī)器人機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供有益的參考。

1 空間模型

三自由度平面驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。其為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，機(jī)器人的固定平臺(tái)為正方形A1A2A3A4，機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)為正方形C1C2C3C4，設(shè)連桿AiBi長(zhǎng)為L(zhǎng)1，連桿BiCi長(zhǎng)為L(zhǎng)2，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)尺寸CiP為L(zhǎng)3，Ai到正方形A1A2A3A4中點(diǎn)的尺寸為L(zhǎng)4，這里i=1—4。

為了合理地設(shè)計(jì)該機(jī)器人機(jī)構(gòu)，將機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)尺寸量綱一化，令

圖1 平面三自由度驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)

其中l(wèi)i為對(duì)應(yīng)于實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)尺寸Li的相對(duì)尺寸，為無量綱參數(shù)。由式(1)和式(2)可得

為了保證機(jī)器人能夠正確的安裝，其相對(duì)尺寸應(yīng)滿足如下條件:

由式(3)和式(4)可得該機(jī)器人的空間模型為如圖2(a)所示的六面體ABCDEFG，所有具有相對(duì)尺寸的三自由度平面驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)都在這個(gè)六面體內(nèi)。由式(3)可得

為了方便空間模型的應(yīng)用，如令l4在［0，2］之間變化，則可得到空間模型的一系列截面圖，這些截面圖稱為其空間模型的平面圖，它以l1、l2和l3為坐標(biāo)，其中只有兩個(gè)是獨(dú)立參數(shù)。如令l4=1.5，空間模型的平面圖如圖2(b)所示?？臻g模型平面圖內(nèi)每一點(diǎn)(如圖中點(diǎn)a)都唯一對(duì)應(yīng)一組具有相對(duì)尺寸的機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)尺寸參數(shù)，因此這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系使在空間模型內(nèi)探討機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)尺寸參數(shù)和機(jī)構(gòu)性能之間的關(guān)系成為可能。如將機(jī)器人機(jī)構(gòu)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)以數(shù)值的形式呈現(xiàn)在空間模型平面圖內(nèi)將可得到機(jī)構(gòu)的性能圖譜。

圖2 平面三自由度驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的空間模型

2 剛度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

2.1 速度雅可比矩陣

如圖1所示，建立機(jī)器人的固定坐標(biāo)系XOY，坐標(biāo)原點(diǎn)O與A1重合，機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置P(x，y)和姿態(tài)φ為機(jī)器人的輸出，與固定平臺(tái)相連的4個(gè)連桿的角位移θi為機(jī)器人的輸入，該機(jī)器人的速度方程為［5］:

式中:

(xBi，yBi)為點(diǎn)Ai在參考坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。也可將機(jī)器人的速度方程寫成下面的矩陣形式

其中，矩陣G為機(jī)器人的逆速度雅可比矩陣，其為一4×3階矩陣，其廣義逆矩陣J即為該機(jī)器人的速度雅可比矩陣。

2.2 柔度矩陣和剛度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

為全面且系統(tǒng)地評(píng)價(jià)機(jī)器人機(jī)構(gòu)在整個(gè)可達(dá)工作空間內(nèi)的剛度性能，采用全域剛度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)來度量三自由度平面驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的剛度性能。這里，定義柔度矩陣和全域剛度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)為［6］:

這里R為機(jī)器人機(jī)構(gòu)的柔度矩陣，其中RP為對(duì)應(yīng)位置變形的一2×3階子矩陣，為位置變形柔度矩陣;RO為對(duì)應(yīng)姿態(tài)變形的一1×3階子矩陣，為姿態(tài)變形柔度矩陣。ζDPmax為全域位置最大變形、ζDPmin為全域位置最小變形、ζDOmax為全域姿態(tài)最大變形。αPmax和αPmin為位置變形柔度矩陣的最大和最小奇異值，αOmax為姿態(tài)變形柔度矩陣的最大奇異值，由于該機(jī)器人機(jī)構(gòu)姿態(tài)變形柔度矩陣為一行向量，所以其只有最大奇異值，也就是只有最大姿態(tài)變形。S是該機(jī)器人的理論可達(dá)工作空間。顯然ζDPmax，ζDPmin和ζDOmax的值越小，機(jī)器人機(jī)構(gòu)的柔度越小，則機(jī)器人機(jī)構(gòu)的剛度越大，機(jī)器人機(jī)構(gòu)的剛度性能越好。

3 剛度性能圖譜

由式(10)—(12)，在空間模型內(nèi)分別計(jì)算這3個(gè)剛度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)值，并繪制性能圖譜如圖3—5所示，其中圖3為位置變形極大值性能圖譜，圖4為位置變形極小值性能圖譜，圖5為姿態(tài)變形極大值性能圖譜。

圖3 位置變形極大值性能圖譜

圖4 位置變形極小值性能圖譜

圖5 姿態(tài)變形極大值性能圖譜

4 結(jié)論

得到了三自由度平面驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的剛度性能圖譜，從圖3—5可見:

當(dāng)l2一定時(shí)，位置變形極小值和姿態(tài)變形極大值指標(biāo)與l1成正比，即l1越小，變形越小，則剛度性能越好。

位置極大值指標(biāo)與l3成正比，即l3越小，變形越小，則剛度性能越好。

對(duì)一種三自由度平面驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)器人剛度性能與機(jī)構(gòu)尺寸關(guān)系進(jìn)行了研究，并繪制了該機(jī)器人機(jī)構(gòu)的剛度性能圖譜，這些圖譜對(duì)于該機(jī)器人機(jī)構(gòu)的分析與設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值。

［1］張立杰，劉辛軍．平面2自由度驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)［J］．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2002，38(12):49－53．

［2］張立杰，劉穎，黃真，等．平面2自由度驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)器人的性能分析［J］．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2006，42(7):181－185．

［3］劉欣，仇原鷹，盛英，等．平面冗余并聯(lián)機(jī)器人的綜合性能優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］．西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，43(5):626－632．

［4］GAOFeng，LIUXinjun，GRUVERL William A．Perfor-Mance E-valuation of Two-degree-of-freedom Planar Parallelrobots［J］．Mech．a(chǎn)nd Mach．Theory，1998，33(6):661－668．

［5］WANG Bing，WEI Zhihui．Analysis on Velocity Performance of Planar 3-DOF Parallel Manipulator with Actuation Redundancy［J］．In:The 3rdInterna-tional Conference on Manufatturing Science and Engineering，Xiamen，2012:2327－2332．

［6］劉辛軍．并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)尺寸與性能關(guān)系分析及其設(shè)計(jì)理論研究［D］．秦皇島:燕山大學(xué)，1999．