摘 要：重視創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，考查學(xué)生探究能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)高考改革的重要方面，所以在平時(shí)教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，逐步學(xué)會(huì)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并加以解決，加強(qiáng)解決創(chuàng)新型問(wèn)題、探索型問(wèn)題及其應(yīng)用型問(wèn)題能力.

關(guān)鍵詞：試題；新課標(biāo)；應(yīng)用題；評(píng)價(jià)

2014年高考江蘇數(shù)學(xué)試卷的第18題是一個(gè)應(yīng)用性問(wèn)題，命題堅(jiān)持新課標(biāo)倡導(dǎo)的“源于生活，應(yīng)用數(shù)學(xué)，既是應(yīng)用，又是數(shù)學(xué)”的原則，設(shè)計(jì)新穎，深入淺出，圖文并茂，通俗易懂，具有很好的教學(xué)引導(dǎo)性和命題示范性.

[?] 考題再現(xiàn)與解答

如圖1所示，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)，規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直，保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處（OC為河岸），tan∠BCO=.

（1）求新橋BC的長(zhǎng)：

（2）當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

分析：（1）本題主要考查函數(shù)的建模及最值的應(yīng)用，涉及直線方程、交點(diǎn)坐標(biāo)、兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線距離，綜合性較強(qiáng). 解決問(wèn)題首先要建立適當(dāng)坐標(biāo)系，然后寫(xiě)出直線AB，BC方程，即可求出B的坐標(biāo)；（2）利用古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，列出不等式組，求出OM長(zhǎng)的取值范圍，即可求出圓形保護(hù)區(qū)的面積最大值.

解法一：

（1）如圖2所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸， 建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

[東][北][C][A][B][O][M][60m][170m]

圖2

由條件知A（0，60），C（170，0），

直線BC的斜率kBC=-tan∠BCO= -.

又因?yàn)锳B⊥BC， 所以直線AB的斜率kAB=.

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b），

則kBC==-，kAB==，

解得a=80，b=120，

所以BC==150. 因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m.

（2）設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m，OM=d m（0≤d≤60）.

由條件知， 直線BC的方程為y=-·（x-170），

即4x+3y-680=0. 由于圓M與直線BC相切，

故點(diǎn)M（0，d）到直線BC的距離是r，

即r==.

因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，

所以r-d≥80，

r-（60-d）≥80，

即

-d≥80，

-（60-d）≥80，

解得10≤d≤35.

故當(dāng)d=10時(shí)，r=最大， 即圓面積最大，

所以當(dāng)OM=10 m時(shí)， 圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.

[?] 考題品讀與評(píng)析

1. 應(yīng)用情境的公平性

由于古物是祖先留給我們的無(wú)價(jià)之寶，是金錢買不到的. 經(jīng)過(guò)多少年的風(fēng)風(fēng)雨雨，流傳至今的古物相對(duì)來(lái)說(shuō)已經(jīng)不多了，而且隨著時(shí)間的推移，能夠留傳于世的文物會(huì)越來(lái)越少，所以文物十分珍貴，我們也應(yīng)該愛(ài)護(hù)文物. 本題以“保護(hù)河上古橋”為應(yīng)用情境頗具時(shí)代氣息，為廣大考生所熟悉，從生產(chǎn)到生活，可以說(shuō)是家喻戶曉、老幼皆知的. 有著較好的現(xiàn)實(shí)性、普遍性、公平性和考生的可接受性.

2. 題設(shè)條件的數(shù)學(xué)美

考題以“保護(hù)河上古橋”為應(yīng)用情境，讓學(xué)生浮想聯(lián)翩：淫雨霏霏，小河灣處，古橋橫臥，流水環(huán)環(huán)，舟楫鱗集……

考題涉及圓、直線等解析幾何元素，與河上古橋相輔相成，相映成趣，組成一幅優(yōu)美的數(shù)學(xué)圖形，增加了數(shù)學(xué)應(yīng)用的美感和詩(shī)的意境美，這不僅可以培養(yǎng)考生審美能力，還可喚醒他們對(duì)數(shù)學(xué)的美好情感.

3. 解題思路的靈活性

從解題的角度審視，本題從不同的思維角度切入，可以得到不同的解題路徑，反映出不同的思維角度，引發(fā)各種不同的解法，展示考生各種能力，為考生創(chuàng)新思維的發(fā)揮提供了表現(xiàn)的舞臺(tái).

[?] 考題解法與探究

除了上述給出的解法以外，本題還可用以下方法進(jìn)行處理.

解法二：（平面幾何法）

（1）如圖3所示，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F.

因?yàn)閠an∠BCO=，

設(shè)BC=5x，CE=3x，BE=4x，

所以O(shè)E=AF=170-3x，EF=AO=60，BF=4x-60.

又因?yàn)锳B⊥BC，且∠BAF+∠ABF=90°，∠CBE+∠BCO=90°，

所以∠CBE+∠ABF=90°，

所以∠BAF+∠BCO=90°.

所以tan∠BAF===，

所以x=30，BC=5x=150 m，

所以新橋BC的長(zhǎng)為150 m.

[東][北][C][A][B][O][M][60m][170m][F][E]

圖3

（2）下同解法一

解法三：（三角函數(shù)定義法）

（1）如圖4所示， 延長(zhǎng)OA，CB交于點(diǎn)F.

[東][北][C][A][B][O][D][60m][170m][M][F]

圖4

因?yàn)閠an∠FCO=，所以sin∠FCO=， cos∠FCO=.

因?yàn)镺A=60，OC=170，所以O(shè)F=OCtan∠FCO=，CF==，

從而AF=OF-OA=.

因?yàn)镺A⊥OC，

所以cos∠AFB=sin∠FCO=.

又因?yàn)锳B⊥BC，

所以BF=AFcos∠AFB=，

從而B(niǎo)C=CF-BF=150，因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m.

（2）設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半徑，并設(shè)MD=r m，OM=d m（0≤d≤60）.

因?yàn)镺A⊥OC，

所以sin∠CFO=cos∠FCO.

故由（1）知sin∠CFO====，

所以r=.

因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，

所以r-d≥80，

r-（60-d）≥80，

即

-d≥80，

-（60-d）≥80，

解得10≤d≤35.

故當(dāng)d=10時(shí)，r=最大，即圓面積最大，

所以當(dāng)OM=10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.

新課程改革注重理論與實(shí)踐結(jié)合、書(shū)本與生活結(jié)合，體現(xiàn)活生生情景設(shè)計(jì)問(wèn)題，要求學(xué)生能夠解決實(shí)際問(wèn)題. 本題關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，較好地體現(xiàn)了現(xiàn)代社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)教育的需求，情境新穎、形態(tài)鮮活；本題采用“以能力立意”的命題思想，注重多種知識(shí)的交匯，集幾何、代數(shù)、三角、不等式于一體，著力考查知識(shí)和技能的應(yīng)用能力和遷移潛質(zhì)，使新課標(biāo)所倡導(dǎo)“多樣性、交叉性、縱向不深、橫向拓寬” 的命題要求得以充分的體現(xiàn)；本題突出高考的選拔功能，具有較好的準(zhǔn)確度、可信度、難易度和高考錄取的區(qū)分度，是一道難得的好試題.