摘 要：在立體幾何教學中，學生空間想象能力的培養(yǎng)是重點，而空間幾何體直觀圖的畫圖能力是提高空間想象能力的關鍵. 本文通過平行投影的性質，研究一種特殊的平行投影法——斜二測畫法，正是空間圖形轉化為平面圖形的一種重要手段.

關鍵詞：平行投影；斜二測畫法；平面圖形；直觀圖

[?] 教材分析

《投影與視圖》最早出現(xiàn)于初中九年級下冊第二十九章第一小節(jié)，在初中階段，通過大量的實例和圖片，介紹了平行投影和中心投影形成過程.在高中階段，《投影與直觀圖》這一小節(jié)的內容，讓學生對平行投影有了更加理性的認識. 通過介紹一種特殊的平行投影法——斜二測畫法，使立體圖形更加直觀.“斜二測畫法”正是空間圖形轉化為平面圖形的一種重要手段. 用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖，關鍵是掌握水平放置的平面圖形的直觀圖畫法. 掌握了它有利于改善學生現(xiàn)有識圖、作圖水平，為下一節(jié)進一步研究空間幾何體的三視圖奠定了的基礎，有著承上啟下的作用.

[?] 學情分析

1. 知識方面

在初中階段，學生對平行投影與中心投影有了一定的感性認識，并且在第一章前幾小節(jié)中，學生對直線、平面間的位置關系的直觀認識，以及對柱、錐、臺、球的結構特征的學習，都為本節(jié)課奠定了良好的基礎.

2. 能力方面

高一學生，模仿力強，記憶力好，表現(xiàn)欲強，但同時對高中學習還不是很適應，需要加強主動學習的指導.

3. 情感方面

在學生已接觸的空間幾何體直觀圖的基礎上，讓學生親自畫出這些空間幾何體，非常符合學生好奇心，能激發(fā)他們的求知欲.

[?] 教學目標

根據(jù)數(shù)學課程標準、教材內容以及學情，確定本節(jié)的教學目標如下：

（一）知識與技能目標：

1. 學生能夠準確地表述平行投影的基本性質.

2. 學生能夠運用斜二測畫法的規(guī)則，畫出幾種特殊的水平放置的平面圖形的直觀圖.

3. 學生能夠根據(jù)所畫出的直觀圖將其還原為原平面圖形.

（二）過程與方法目標：

1. 通過學生閱讀材料歸納平行投影的性質，教師引導學生使其認識由感性上升到理性.

2. 通過學生閱讀教材，梳理斜二測畫法的規(guī)則，自己動手體驗平面圖形的直觀圖的畫圖過程，逐步形成空間向平面轉化的能力.

3. 通過教師引導學生將直觀圖還原為原平面圖形，訓練學生逆向思維能力.

（三）情感態(tài)度與價值觀：

閱讀教材、模仿作圖、形成經驗、解決問題，在平等的教學氛圍中，通過學生與教材之間、學生之間、師生之間的交流、合作與評價，讓學生參與數(shù)學活動，形成數(shù)學經驗，體驗學習數(shù)學的快樂.

[?] 教學重點、難點

教學重點：斜二測畫法.

教學難點：如何利用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖形的直觀圖.

教學關鍵：直觀圖中“點”的確定.

[?] 學法與教法

（一）學法

按照建構主義原則，以學情定教法與學法，根據(jù)學生思維的最近發(fā)展區(qū)，引導學生自己閱讀教材，體會平行投影的“變”與“不變”，從感性認識向理性認識升華，通過學生自己學數(shù)學，做數(shù)學，實現(xiàn)學生對知識的再創(chuàng)造和主動建構.

（二）教法

本節(jié)課的教學任務筆者將采用兩課時完成，第一課時主要研究水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法，第二課時在水平放置的平面圖形的基礎上，繼續(xù)學習空間幾何體直觀圖的畫法. 在此過程中始終貫徹“教師為主導、學生為主體、問題為主線”的教學思想，通過精心設計問題，在恰當時機進行點撥啟發(fā)體現(xiàn)教師的主導作用.

（三）教學手段：多媒體，投影儀

[?] 教學過程

教學過程包括以下幾個環(huán)節(jié)：

（一） 閱讀教材感性向理性升華

【設計意圖】 通過四個問題的設置引導學生，結合感性認識，與學生一起研究平行投影的概念和性質，讓學生的思維由感性向理性轉化，使知識體系更加完整. 既鍛煉了學生的閱讀的能力和整合信息的能力，又為下面學習斜二測畫法奠定理論基礎.

（1）教師提出問題，學生帶著問題閱讀教材，看演示，總結歸納性質.

問題1：觀察窗戶邊框（線段）其投影結果是什么？如果將“線段”改為“直線”，結果如何呢？

（顯然，當圖形中的直線或線段不平行于投射線時，投影的結果仍然是直線或者線段.）

問題2：窗戶的上邊和下邊投影的結果是否保持原有的平行關系，除此之外還會不會產生其他結果？

（平行直線的投影結果可能平行或重合.）

問題3：與投射面平行的線段和幾何體投影結果與原圖形成什么關系？

（與投射面平行的線段的投影與原線段平行且相等；與投射面平行的幾何圖形的投影與原圖形全等.）

問題4：同一條直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比是否有所改變？

（根據(jù)平行線分線段成比例定理得出兩條線段對應成比例.）

問題5：如果圖形中的直線或線段平行于投射線，結果如何呢？

【教師活動】 結合教材的內容與學生的學習能力，根據(jù)目前高一學生的狀況以及以往的經驗，發(fā)現(xiàn)平行投影內容比較簡單，如果老師的講解過多，會導致學生失去自主歸納總結的能力. 教師通過問題，加深學生對平行投影性質的理解.

【學生活動】 學生閱讀教材，試著用自己的語言來描述平行投影的性質，體會平行投影的“變”與“不變”.

（二）引入概念，通過舊知現(xiàn)新知

【設計意圖】 通過向學生展現(xiàn)一些空間幾何體的直觀圖，讓學生感受它們的直觀性，并提出空間圖形直觀圖的概念和斜二測畫法.

問題6：什么是空間圖形的直觀圖？其畫法具有什么樣的規(guī)則？

把立體圖形畫在紙上或黑板上，實際上是把本來不完全在同一個平面內的點的集合，用同一平面內的點表示，這時的圖形，已不是普通的平面圖形，而是立體圖形的直觀圖. 例如正方體、棱柱、棱錐的直觀圖.

（1）空間圖形的直觀圖

當投射線和投射面成適當?shù)慕嵌然蚋淖儓D形相對于投射面的位置時，一個空間圖形在投射面上的平行投影（平面圖形）可以形象地表示這個空間圖形. 像這樣用來表示空間圖形的平面圖形，叫做空間圖形的直觀圖.

（2）斜二測畫法：一種依據(jù)平行投影的性質畫直觀圖較為簡單的方法.

問題7：如何用斜二測畫法畫出水平放置的正方形的直觀圖，如何體現(xiàn)了平行投影的性質？

畫圖步驟：平行投影的性質：

見備注

①在已知圖形中建立直角坐標系xOy，畫直觀圖時，他們分別對應x′，y′軸，兩軸交于O′，使∠x′O′y′=45°（或135°）它們確定的平面表示水平平面.

②已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸的線段.

③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼?

④畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標軸，得到已知圖形的直觀圖.

【教師活動】 ①教師展示已知的直觀圖；②展示學生的作品，進行評價；③設計問題，啟發(fā)學生思考，并且強調要畫立體圖形的直觀圖，關鍵是讓學生掌握空間圖形的底面圖形的直觀圖，所以我們要先學會水平放置的平面圖形的直觀圖畫法.

【學生活動】 獨立閱讀教材，了解斜二測畫法的規(guī)則，自己利用規(guī)則畫出水平放置的正方形的直觀圖，思考如何在畫法中體現(xiàn)平行投影的性質.

[不變＼變＼平行于x軸、y軸的線段平行性不變＼∠xOy=90°

變

∠x′O′y′=45°＼平行于x軸的線段長度不變＼平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼模茳c、線、線段屬性不變，比例不變＼＼]

[①直線或線段的平行投影仍是直線或線段；

②平行直線的平行投影是平行或重合的直線；

③平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；

④與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形全等；

⑤在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段之比.]

（三）例題精講，領會畫法的精妙

【設計意圖】 由簡單到復雜，逐漸強化斜二測畫法的規(guī)則，使學生更加明確平行投影的性質在斜二測畫法中的應用.

問題8：如何畫出下列水平放置等腰直角三角形的直觀圖？

例1 （1）

問題9：如何畫出水平放置的等邊三角形的直觀圖？

【設計意圖】 多角度思考，一題多解，在比較中批判，在比較中升華，體現(xiàn)了數(shù)學美學中的對稱美.

[C][x][y問題10：在前面利用斜二測畫法畫直觀圖的過程中，平行投影的性質④為什么沒有體現(xiàn)呢？（人的視線與投射線的方向成了一定的角度）

【教師活動】 由于學生的個體差異，對他們在畫圖過程中遇到的困難和出現(xiàn)的問題，要適時、有效地幫助和引導，如給出這樣幾個指導性問題：

①根據(jù)圖形的特點，如何選取適當?shù)淖鴺讼担喕鲌D步驟？

②是否可以充分利用圖形的對稱性？

③如果讓更多的定點在坐標軸上，是否可以簡化作圖？

【學生活動】 利用三角板等工具作圖，從中體會平行投影的不變性，總結畫法步驟的規(guī)律性.學生總結畫圖經驗：橫不變，縱減半，平行性不變.

（四）鞏固練習，及時訓練多受益

【設計意圖】 布魯納的學習理論，強調認知結構與教材結構的結合，強調學生的主動性、獨立性. 認為學生在一定情境中，對學習材料的親身體驗，通過內部動機的作用，從而發(fā)現(xiàn)、認識、理解、掌握知識，才是學習者最重要的環(huán)節(jié). 為學生創(chuàng)設適當?shù)膶W習情境，給學生充分的時間作圖，能夠更好地掌握知識.

練習1：畫出水平放置的正六邊形的直觀圖.

【教師活動】 教師巡視，將好的作品進行展示.

【學生活動】 學生作圖，自己進行總結與反思.

（五）逆向思維，正用、逆用變化多

【設計意圖】 利用逆向思維問題的設置，突破學生原有的認知結構.

問題11：若某個平面圖形的直觀圖是如下圖的等腰直角三角形，如何還原它的原平面圖形？

（1）

（2）

【教師活動】 教師提出逆向問題，引導學生思考，及時展示學生的作品，給予評價.

【學生活動】 學生積極動手作圖，從中總結規(guī)律，形成經驗. 積極表達作圖中的困惑，利用學生間的交流和師生間的交流，解決困惑. 總結出逆用斜二測畫法的規(guī)律：橫不變，縱增倍，平行性不變.

（六）歸納總結，形成經驗變能力

【設計意圖】 一堂課不要追求大而全，應該追求少而精，盡可能地讓學生參與數(shù)學活動，培養(yǎng)學生的正向和逆向思維能力.

斜二測畫法的規(guī)則簡單記法：

橫不變，縱減半，平行性不變.

逆用斜二測畫法的規(guī)則簡單記法：

橫不變，縱增倍，平行性不變.

（七）課后思考

【設計意圖】 設計課后思考問題，將課堂的時間和空間延伸，激發(fā)學生的探究意識.

思考題：若某個平面圖形的直觀圖是等邊三角形，請還原它的原圖形.

（學生可能選擇不同建系方式，但畫圖的規(guī)則都是一致的，關鍵是找出定點在斜二測坐標系中的點的坐標）

【教師活動】 展示思考題，給予適當?shù)膶W習指導.

【學生活動】 課后重新回顧教材并及時進行課后反思，解決思考題.