構(gòu)造法在初等代數(shù)中的有效運(yùn)用

【摘 要】隨著當(dāng)今數(shù)學(xué)素質(zhì)教育向著更為全面的方向發(fā)展，在要求學(xué)生掌握所學(xué)知識(shí)的同時(shí)，還要學(xué)會(huì)相應(yīng)的學(xué)習(xí)方法，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中存在的思想方法進(jìn)行領(lǐng)會(huì)，這樣有利于他們?cè)诂F(xiàn)實(shí)中采用數(shù)學(xué)方法來解決問題。不同于其他的邏輯方法，構(gòu)造法屬于非常規(guī)性的思維方法，通過分步尋求條件得出結(jié)論，具有極強(qiáng)的創(chuàng)造性、不規(guī)則性和思維試探性。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法 初等代數(shù) 邏輯思維

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2015）06-0131-01

通常情況下，構(gòu)造法主要分為兩大類：直接構(gòu)造法和間接構(gòu)造法。構(gòu)造法作為一種發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的方法，在數(shù)學(xué)的解題過程中起著很大的作用：（1）對(duì)于本身具有構(gòu)造性要求的問題，學(xué)生可以采用構(gòu)造法直接進(jìn)行求解；（2）在面對(duì)一些學(xué)生難以直接尋求相應(yīng)合適方法的問題時(shí)，可以通過構(gòu)造的方式建立一個(gè)新問題，使之與所求問題成立等價(jià)的關(guān)系，通過對(duì)這個(gè)輔助問題的求解，進(jìn)而得出解決原問題的方法，這就是構(gòu)造法相對(duì)于其他一般邏輯方法的優(yōu)勢(shì)所在。構(gòu)造法的具體應(yīng)用如下：

一 數(shù)字與公式的構(gòu)造

例1，正數(shù)x，y滿足x3+y3=2，求證：x+y≤2。

通過構(gòu)造法進(jìn)行分析：例題中所給的條件公式中x和y本身都是三次方，所需求證的x和y本身是一次方，這就要求學(xué)生在證明過程中進(jìn)行降冪。同時(shí)，又因?yàn)樗C明的公式是一個(gè)不等式，只有當(dāng)x=y=1時(shí)，兩者才相互成立，因此，就需要學(xué)生進(jìn)行均值不等式的構(gòu)造。通過均值不等式的內(nèi)容：x+y+z≥3xyz，學(xué)生可以得出：公式（1）：x3+13+13≥3x；公式（2）：y3+13+13≥3y。通過公式（1）+公式（2）可以得出相關(guān)結(jié)論：x+y≤2。

二 函數(shù)的構(gòu)造

例2，證明以下的三角恒等式：sin3A=3sinA-4sin3A，cos3A=4cos3A-3cosA。

證明：通過對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行構(gòu)造：B=cosA+xsinA

一方面，通過牛頓二項(xiàng)式的定理可以得出：

B3=（cosA+xsinA）3

=（cos3A-3cosAsin2A）+x（3cos2AsinA-sin3A）

=（4cos3A-3cosA）+x（3sinA-4sin3A）

另一方面，通過De Moixre公式可以得出：

（cosA+xsinA）3=cos3A+xsin3A

進(jìn)而得出：cos3A+xsin3A=（4cos3A-3cosA）+x（3sinA-4sin3A），通過公式兩邊的比較，可得：

cos3A=4cos3A-3cosA

sin3A=3sinA-4sin3A

三 模型的構(gòu)造

在遇到排列組合問題時(shí)，學(xué)生可以通過構(gòu)造模型，進(jìn)而使解決問題變得更容易。在教學(xué)過程中，教師也需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行這方面思想的強(qiáng)化，以便于學(xué)生更快地找到解題的辦法。

例3，現(xiàn)在一共有10個(gè)各個(gè)方面完全相同的小球，需要將這10個(gè)小球分發(fā)到7個(gè)班級(jí)，要求每個(gè)班級(jí)至少能得到1個(gè)小球，求：小球的分配方法一共有多少種？

解：通過分析可以得出以下三種分配方法：（1）有4個(gè)班級(jí)每班可以分到1個(gè)小球，其余3個(gè)班級(jí)每班可以分到2

個(gè)小球，這種分配方法的總數(shù)：n1= ；（2）有5個(gè)班級(jí)每

班可以分到1個(gè)小球，1個(gè)班級(jí)可以分到2個(gè)小球，另1個(gè)

班級(jí)可以分到3個(gè)小球，這種分配方法的總數(shù)：n2= ；

（3）有6個(gè)班級(jí)每班可以分到1個(gè)小球，剩余1個(gè)班級(jí)可

以分到4個(gè)小球，這種分配方法的總數(shù)：n3= 。通過（1）+

（2）+（3）可以得出分配方法的總數(shù)：n=n1+n2+n3= +

+ =84。

通過上面的解題過程可以發(fā)現(xiàn)，其過程過于煩瑣和復(fù)雜，比較耽誤時(shí)間，面對(duì)數(shù)目較多的題目時(shí)，學(xué)生不可能一步一步逐一進(jìn)行計(jì)算，對(duì)此構(gòu)造法對(duì)其相關(guān)問題引入了一個(gè)新的模型構(gòu)造的方法——“插板法”。

結(jié)合上述的題目，可以將10個(gè)小球隨機(jī)排列成一行，這時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)這10個(gè)小球中存在9個(gè)空檔，假設(shè)存在一個(gè)擋板，用這個(gè)擋板將這10個(gè)小球分割成7部分，將每個(gè)班級(jí)按照其自身不同的序號(hào)對(duì)應(yīng)到各自的位置，這種虛擬的分配小球的方法就叫作“插板法”，在解決排列組合問題時(shí)，學(xué)生可以采用這種方法使解題過程變得更加簡單。將其運(yùn)用到例3中就相當(dāng)于在10個(gè)小球之間的9個(gè)空檔處插入了6

個(gè)擋板，換算成數(shù)學(xué)的算法就是 =84，這相對(duì)于傳統(tǒng)笨拙

的算法更為簡單。

四 結(jié)束語

教師將構(gòu)造法應(yīng)用到初中數(shù)學(xué)初等代數(shù)的教學(xué)中，更有利于提升學(xué)生自身的邏輯思維能力，是學(xué)生學(xué)會(huì)從多角度考慮問題并尋求解決問題的方法和手段。此外，通過對(duì)問題的認(rèn)真思考，還能加深學(xué)生對(duì)于相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。這里需要強(qiáng)調(diào)的是，文章中所舉出的幾個(gè)例題并不是只有構(gòu)造法一種解題方法，構(gòu)造法的應(yīng)用范圍也不僅僅局限于上述幾種，教師在教學(xué)過程中除了注重學(xué)習(xí)方法的教授外，還應(yīng)更多地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新邏輯思維能力，讓其自身能體會(huì)到知識(shí)和知識(shí)間存在的一定聯(lián)系，在學(xué)習(xí)中獲取一定的成就感。

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〔責(zé)任編輯：林勁〕