尹 鵬，李滿天，王 俊，查富生2，，孫立寧

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱150001；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)超精密光電儀器工程研究所，黑龍江 哈爾濱150001；3.雙錢集團(tuán)（江蘇）輪胎有限公司博士后創(chuàng)新基地，江蘇 如皋226500）

0 引言

動物在跑跳運(yùn)動中，其肌肉、韌帶、肌腱與骨骼系統(tǒng)作為有機(jī)整體呈現(xiàn)為類似單個彈簧的運(yùn)動形式［1－3］，其中彈性結(jié)構(gòu)以被動運(yùn)動的形式對運(yùn)動中的能量進(jìn)行吸收和釋放，該模型已得到學(xué)術(shù)界的普遍接受和認(rèn)可［4－5］。Raibert將彈性被動伸縮環(huán)節(jié)應(yīng)用于機(jī)器人的腿部結(jié)構(gòu)中，實(shí)現(xiàn)了平坦路面下單足、雙足以及四足機(jī)器人在跳躍步態(tài)下的穩(wěn)定控制［6－7］。足式機(jī)器人在運(yùn)動中，地面剛度的變化會對其原有狀態(tài)產(chǎn)生干擾，使之運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生偏離。動物和人在運(yùn)動中會通過腿部剛度的調(diào)整，以應(yīng)對不同的地面剛度變化，保證其整體特性不受影響［8］，當(dāng)機(jī)體運(yùn)動不發(fā)生變化時，其足地接觸力會保持原有的狀態(tài)。由此，對于做彈跳運(yùn)動的機(jī)器人單腿結(jié)構(gòu)，可以通過控制其足地接觸力的方式，來消除在豎直方向地面剛度變化對彈跳運(yùn)動的影響，使其機(jī)體彈跳運(yùn)動保持連貫和一致的輸出特性。

1 單腿彈跳運(yùn)動模型

1.1 單腿彈跳基本模型

針對當(dāng)?shù)孛鎰偠劝l(fā)生變化時，維持足式機(jī)器人在豎直方向彈跳運(yùn)動一致性的問題進(jìn)行研究。因此，對機(jī)器人以及地面的模型進(jìn)行簡化，只將其視為單腿在彈性地面上進(jìn)行豎直方向的單自由度運(yùn)動，此時腿部構(gòu)型等效為具有彈性被動伸縮特性的直腿，將地面剛度的改變視為在原有理想系統(tǒng)基礎(chǔ)上加入的干擾因素；忽略運(yùn)動中阻尼以及足地接觸時碰撞造成的能量損失。單腿模型的彈跳運(yùn)動可分為騰空相和著地相2種不同的狀態(tài)，如圖1所示。

圖1 單腿彈跳彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)模型

模型中機(jī)器人單腿由質(zhì)量單元、無質(zhì)量屬性的直線伸縮彈簧單腿以及對足底力進(jìn)行主動控制的直線驅(qū)動電機(jī)單元組成。其中，直線電機(jī)單元與腿部彈簧串聯(lián)，置于彈簧和機(jī)體質(zhì)量之間，通過對腿部彈簧上端的連接位置施加控制位移d可以改變初始腿長，從而實(shí)現(xiàn)在著地相時調(diào)整彈簧的壓縮量對足地接觸力進(jìn)行調(diào)整；具有彈性的地面在模型中表示為無質(zhì)量屬性的平板，通過彈簧與基座連接。在圖1中，質(zhì)量單元m為機(jī)器人單腿模型的整體質(zhì)量；Ks為機(jī)器人單腿的等效直線剛度；Kg為地面彈簧的剛度。單腿模型重心相對于基座的高度為y；單腿的初始長度為l0＋d，l0為未進(jìn)行腿長調(diào)整時的單腿長度；與地面接觸后腿長壓縮為l。當(dāng)單腿模型處于騰空相時，地面沒有受到足－地接觸力作用，其與基座之間處于初始距離h0，當(dāng)單腿處于著地相時，地面與基座的距離壓縮為h。

當(dāng)表示地面的平板與基座為剛性連接時，模型中始終有h＝h0，因此該單腿彈跳系統(tǒng)為典型的彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)。將該狀態(tài)設(shè)為系統(tǒng)的理想狀態(tài)，當(dāng)?shù)孛鎰偠茸兓瘜ο到y(tǒng)施加干擾時，通過腿部驅(qū)動電機(jī)的主動控制，使得其模型重心的彈跳運(yùn)動特性與理想狀態(tài)保持一致。

1.2 單腿彈跳模型分析

為了便于針對不同地面剛度條件下的單腿彈跳模型運(yùn)動進(jìn)行計(jì)算仿真和控制，對模型中的狀態(tài)作出以下假設(shè)：假設(shè)在單腿彈跳到達(dá)最高點(diǎn)時，即當(dāng)單腿在騰空相且速度為零時，單腿模型中的腿長控制量d恢復(fù)為零，腿長l以及地面距離基座的距離h分別恢復(fù)為初始值l0和h0。

將模型賦予一定初始高度，則質(zhì)量彈簧系統(tǒng)在重力作用下將能夠維持一定的彈跳循環(huán)狀態(tài)，其運(yùn)動過程在騰空相和著地相2種狀態(tài)之間循環(huán)切換。在單腿運(yùn)動模型中忽略了能量的損失，在騰空相中m¨y＝mg，g為重力加速度。因此，當(dāng)彈跳中沒有能量輸入的情況下其騰空高度將保持不變，其騰空相的運(yùn)動不會受到地面剛度變化的影響。

將模型中的機(jī)體質(zhì)量作為點(diǎn)質(zhì)量，在著地相時機(jī)體受到重力以及彈簧傳遞的地面接觸力的作用，使其運(yùn)動會受到地面剛度變化的影響。著地相動力學(xué)方程為：

在單腿單自由度彈跳模型中，腿部彈簧和地面彈簧組成彈性串聯(lián)系統(tǒng)，在不計(jì)彈簧以及地面的質(zhì)量屬性的情況下，根據(jù)圖1中的位置關(guān)系，著地相時彈簧對機(jī)體的作用力為：

K＝KsKg／（Ks＋Kg），表示由腿部彈簧和地面組成的系統(tǒng)整體剛度。將式（2）代入式（1），可得到該單腿模型在著地相時的運(yùn)動微分方程，即

將單腿著地相中時刻t0的重心位置y0和速度作為初始，計(jì)算單腿彈跳時著地相的重心運(yùn)動A＝K／m，B＝A（l0＋d＋h0）－g，單腿著地相運(yùn)動為：

式（4）為單腿彈跳模型著地相時的一般方程，A和B中的整體剛度K以及腿長調(diào)整量d會根據(jù)環(huán)境中地面剛度Kg，以及仿真和控制的需要，進(jìn)行必要的調(diào)整。

2 基于足力跟蹤的彈跳控制

2.1 地面剛度對單腿彈跳的影響

在一般情況下，模型中地面與基座之間為彈性連接，如圖1所示。當(dāng)單腿模型中彈簧剛度保持恒定時，地面剛度的變化會使得整體剛度K發(fā)生改變，進(jìn)而影響單腿運(yùn)動的軌跡隨時間的關(guān)系。單腿初始下落時足端距離地面的高度為s0，此時重心距離基座的距離y為l0＋d＋s0＋h0，其中d＝0，沒有引入主動控制。在相同運(yùn)動初始條件下，機(jī)器人單腿在不同地面剛度條件的彈跳運(yùn)動以及對應(yīng)的足地接觸力如圖2所示。其中，實(shí)線表示理想狀態(tài)下單腿的機(jī)體重心以及足端的運(yùn)動參數(shù)，虛線分別表示不同地面接觸剛度下相應(yīng)的運(yùn)動。對比圖1中不同地面接觸剛度下的運(yùn)動軌跡，可知隨著模型中足地接觸剛度的減小，單腿著地后需要更長的距離來吸收下落的能量，著地相的時間也隨之增加。

圖2 不同地面剛度下的單腿彈跳運(yùn)動

忽略模型中能量的耗損，單腿將會持續(xù)進(jìn)行周期性的彈跳運(yùn)動。當(dāng)引入地面彈性形變后，整體剛度的降低使得相同位移下足底作用力降低，從而導(dǎo)致單腿模型的彈跳周期和幅度都有所增加。對于單腿模型，足地之間的接觸力是除重力之外受到的唯一外力，會對單腿的彈跳運(yùn)動產(chǎn)生直接影響。單腿模型在相同的初始高度自由下落產(chǎn)生持續(xù)的彈跳運(yùn)動，在著地相中可以通過主動控制的方式改變彈簧系統(tǒng)的壓縮行程，從而使其接觸力大小與理想狀態(tài)在對應(yīng)時刻保持一致，使單腿在著地相以及騰空相的運(yùn)動狀態(tài)保持恒定。

2.2 彈跳中的地面剛度辨識

地面剛度的變化會對單腿彈跳模型的彈跳軌跡、足地接觸力產(chǎn)生明顯影響。在彈跳仿真過程中，彈跳控制系統(tǒng)不能直接獲得地面剛度的變化，因此，需要控制系統(tǒng)能夠在運(yùn)動中辨識地面剛度的變化，進(jìn)而根據(jù)地面剛度的變化，調(diào)整控制參數(shù)，計(jì)算調(diào)整模型腿長控制輸出，實(shí)現(xiàn)較好的控制效果。在理想仿真條件下，地面與單腿均為無質(zhì)量單元，地面在彈性形變過程中無阻尼輸入。因此，在足端與地面接觸的過程中，可以通過足－地接觸力以及地面彈性形變差分，計(jì)算地面的剛度輸出Kg，e，并將其作為地面的實(shí)際剛度進(jìn)行控制模型的修正。式（5）中，地面高度h可以通過機(jī)體的高度以及當(dāng)前狀態(tài)下的單腿長度計(jì)算得到。

2.3 彈跳中的足地接觸力補(bǔ)償控制

理想狀態(tài)下單腿彈跳模型能夠保持穩(wěn)定連續(xù)的彈跳運(yùn)動，不需要主動控制，此時d＝0。系統(tǒng)地面剛度Kg趨近無窮大，從而可認(rèn)為系統(tǒng)的整體剛度K＝Kd＝Ks。當(dāng)足端與地面接觸時其狀態(tài)由騰空相轉(zhuǎn)為著地相，以此時單腿重心的運(yùn)動參數(shù)y0＝l0＋h0，＝－作為初始值，通過式（4）可計(jì)算出理想狀態(tài)下著地相的運(yùn)動軌跡yd，并將其作為期望的運(yùn)動方程。此時，式（4）中A＝Ks／m，B＝A（l0＋h0）－g。在此基礎(chǔ)上，可以得到理想彈跳運(yùn)動中足地作用力Fg，d的方程為：

當(dāng)?shù)孛娲嬖趶椥晕灰茣r，單腿在著地相中，其腿部彈簧與地面彈簧構(gòu)成的整體串聯(lián)剛度為K＝Ka＝KsKg，e／（Ks＋Kg，e），在與理想狀態(tài)相同初始條件下，需要引入對腿長的主動控制量d才能夠保持其運(yùn)動狀態(tài)不變。由式（4）得到此時單腿重心的運(yùn)動方程ya，并據(jù)此得到足端與地面的接觸力為：

當(dāng)前足地接觸力與期望值之間偏差的補(bǔ)償，通過主動控制直線驅(qū)動電機(jī)單元實(shí)現(xiàn)。當(dāng)未校正足力小于期望足力時，電機(jī)單元驅(qū)動腿部彈簧上端點(diǎn)向下運(yùn)動，以進(jìn)一步壓縮彈簧，當(dāng)足力超過期望值時，則通過電機(jī)單元對彈簧的壓縮量進(jìn)行釋放，系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)如圖3所示。對于騰空相，當(dāng)著地相時的控制能夠滿足足力跟蹤要求，則在相同初始條件下能夠保證其運(yùn)動的一致。

將直線驅(qū)動電機(jī)單元的位移d作為單腿彈跳模型的控制輸入，根據(jù)式（2）和式（3），可以得到單腿彈跳在著地相時，關(guān)于實(shí)際控制輸入與實(shí)際足底接觸力的微分方程為：

圖3 帶有足地接觸力補(bǔ)償?shù)膯瓮葟椞刂?/p>

為消除重力加速度g對系統(tǒng)的影響，重新選取腿長控制量為：

此時，式（8）轉(zhuǎn)化為：

系統(tǒng)實(shí)際控制量¨da與保持系統(tǒng)期望運(yùn)動所需的期望控制輸入之間的誤差，會導(dǎo)致足地接觸力Fg，a與期望接觸力Fg，d之間的誤差。為克服接觸力誤差對系統(tǒng)的影響，設(shè)計(jì)的腿長控制律為：

整個控制律包含3部分：含有期望足地接觸力二階導(dǎo)數(shù)的前饋補(bǔ)償，實(shí)際足地接觸力引起的加速度反饋補(bǔ)償和關(guān)于接觸力跟蹤誤差的PD控制單元。在該控制律作用下，將式（11）代入式（10）得到系統(tǒng)的閉環(huán)方程為：

eF＝Fg，d－Fg，a，通過合理配置 PD控制單元的調(diào)節(jié)系數(shù)kp和kd，可使系統(tǒng)獲得滿意的動態(tài)跟蹤效果。所采用的系數(shù)整定關(guān)系為：

將式（12）配置為臨界阻尼狀態(tài)，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)力跟蹤的無超調(diào)最快響應(yīng)效果。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 仿真模型的建立

為了驗(yàn)證在地面剛度變化條件下，基于足力跟蹤的單腿彈跳控制方法，建立如圖1所示的簡化單腿彈跳系統(tǒng)模型。圖1a表示單腿系統(tǒng)的初始狀態(tài)，此時足端距離地面高度為s0，腿長以及地面距離參考基座的距離均設(shè)定為未壓縮的初始狀態(tài)。機(jī)體由靜止開始自由下落直至足端與地面發(fā)生接觸，如圖1b所示，此時當(dāng)?shù)孛媾c基座為剛性聯(lián)接時，模型中的彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)將由機(jī)體質(zhì)量以及腿部彈簧組成，運(yùn)動循環(huán)中地面不存在位移。當(dāng)?shù)孛媾c基座之間存在彈性時，系統(tǒng)運(yùn)動如圖1c所示，此時地面形變將會改變機(jī)體原有的運(yùn)動軌跡。文中建立的系統(tǒng)模型的參數(shù)定義以及參數(shù)設(shè)定如表1所示。

表1 單腿模型參數(shù)定義和數(shù)值

根據(jù)不同的地面剛度狀態(tài)以及控制輸入，將系統(tǒng)仿真分為3種不同的情況進(jìn)行對比。以地面與基座為剛性聯(lián)接時的單腿彈跳作為系統(tǒng)理想狀態(tài)，此時控制輸入為零，系統(tǒng)處于純被動運(yùn)動狀態(tài)；當(dāng)引入地面彈性形變干擾后，根據(jù)是否進(jìn)行對腿長的主動控制，將單腿彈跳仿真分為受控與不受控2種系統(tǒng)。以理想狀態(tài)作為期望的系統(tǒng)輸出，將引入地面彈性干擾后未經(jīng)控制的系統(tǒng)作為原始未受控系統(tǒng)。經(jīng)過對原始未受控系統(tǒng)進(jìn)行足地接觸力跟蹤校正后的系統(tǒng)為控制后的系統(tǒng)，其機(jī)體重心運(yùn)動軌跡應(yīng)當(dāng)能夠接近于理想系統(tǒng)。

3.2 基于足地接觸力跟蹤的彈跳實(shí)驗(yàn)

單腿從相同初始高度自由下落后，腿部彈簧、地面彈簧和機(jī)體質(zhì)量組成的彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)，會在忽略能量損失的情況下維持穩(wěn)定的彈跳循環(huán)。當(dāng)?shù)孛鎰偠冉档蜁r，彈跳系統(tǒng)的整體剛度將低于理想系統(tǒng)中的剛度，降低了彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率，從而導(dǎo)致其運(yùn)動軌跡出現(xiàn)偏移。在未進(jìn)行控制的情況下，單腿由相同高度自由下落至不同剛度的地面，其相應(yīng)運(yùn)動軌跡如4a所示。圖4中，實(shí)線為剛性地面接觸下的系統(tǒng)輸出，虛線為彈跳過程中地面存在彈性形變。可以看出，地面剛度的降低增大了單腿的彈跳周期，地面彈性形變使得單腿彈跳中的重心運(yùn)動最低點(diǎn)低于理想狀態(tài)。由于模型中忽略了摩擦阻尼以及落地沖擊等因素造成的能量損失，其彈跳最高點(diǎn)與理想狀態(tài)仍保持一致。圖5a為在沒有引入主動的情況下，單腿處于不同地面剛度時的足地接觸力，其中的圖形定義與圖4a相同。圖5a中地面存在的彈性形變延長了單腿模型的彈跳周期，單腿模型的彈跳高度如圖4a所示沒有受到地面剛度變化的影響，其在騰空相的時間保持不變，使得單腿處于著地相的時間增多，并減小了其間最大足地接觸力。

當(dāng)引入對足地接觸力的主動控制后，利用腿部的直線驅(qū)動單元改變腿部彈簧端點(diǎn)的運(yùn)動，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對彈簧進(jìn)行主動壓縮或釋放，將彈簧的輸出力調(diào)整為理想狀態(tài)下對應(yīng)時刻的足底接觸力。當(dāng)單腿處于著地相下降階段時，足地接觸力低于理想狀態(tài)，應(yīng)主動增加腿部初始長度，將彈簧在原有基礎(chǔ)上進(jìn)一步壓縮；當(dāng)單腿處于著地相中的上升階段時，通過控制縮短腿長加快腿部彈簧釋放的速度。圖4b對比了相同運(yùn)動初始條件時，理想狀態(tài)以及經(jīng)過足地接觸力跟蹤校正后的受擾系統(tǒng)的輸出，對比機(jī)體重心的運(yùn)動軌跡以及足端的軌跡可以看出，主動調(diào)整單腿的初始長度后，其重心運(yùn)動的軌跡以及彈跳頻率能夠保持接近，單腿模型著地相中足端的運(yùn)動軌跡相比未引入控制的有擾系統(tǒng)有了進(jìn)一步的下沉運(yùn)動。采用主動控制后足地接觸力如圖5b所示，能夠較好地跟蹤理想狀態(tài)下期望的足地接觸力軌跡。從仿真結(jié)果來看，彈跳機(jī)器人在不同地面剛度條件下，能夠通過對足地接觸力的跟蹤，實(shí)現(xiàn)相同的重心運(yùn)動軌跡，滿足了不同地面條件下運(yùn)動穩(wěn)定性和平穩(wěn)性的要求。

圖4 足地接觸力補(bǔ)償前后的單腿彈跳運(yùn)動軌跡對比

圖5 足地接觸力補(bǔ)償前后的單腿彈跳地面接觸力對比

在控制過程中，腿部驅(qū)動單元的輸出速度以及位移如圖6所示。能夠看出，在地面剛度保持恒定的情況下，單腿模型在每個彈跳周期中所需的主動控制輸出能夠維持相同，說明該控制方法不會對單腿彈跳系統(tǒng)的彈跳穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。

圖6 腿部驅(qū)動單元的控制位移以及速度

4 結(jié)束語

對單腿在彈跳中受地面剛度變化影響時所需的控制方法進(jìn)行研究，在模型中對單腿結(jié)構(gòu)以及物理屬性進(jìn)行了簡化，與實(shí)際系統(tǒng)之間存在差異?；趯刂品椒尚行缘恼撟C，在后續(xù)工作中將建立帶有旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的有質(zhì)量屬性的單腿彈跳系統(tǒng)，并考慮能量損失以及腿部慣量對單腿彈跳系統(tǒng)的影響，旨在能夠使單腿彈跳機(jī)器人在變化的地面剛度條件下，保持平穩(wěn)的周期彈跳運(yùn)動。

［1］ 張秀麗，鄭浩峻，陳懇，等.機(jī)器人仿生學(xué)研究綜述［J］.機(jī)器人，2002，24（2）：188-192.

［2］ Heglund N C，Cavagna G A，Taylor C R.Energetics and mechanics of terrestrial locomotion.III.Energy changes of the centre of mass as a function of speed and body size in birds and mammals［J］.Journal of Experimental Biology，1982，97（1）：41-56.

［3］ Full R J，Tu M S.Mechanics of six-legged runners［J］.Journal of Experimental Biology，1990，148（1）：129-146.

［4］ Blickhan R.The spring-mass model for running and hopping［J］.Journal of Biomechanics，1989，22（11／12）：1217-1227.

［5］ Bobbert M F，Richard Casius L J.Spring-like leg behaviour，musculoskeletal mechanics and control in maximum and submaximum height human hopping［J］.Philosophical Transactions of the Royal Society B：Biological Sciences，2011，366（1570）：1516-1529.

［6］ Railbert M.Legged robot that balance［M ］.Cambridge，Mass.MIT Press，1986.

［7］ Raibert M，Blankespoor K，Nelson G.BigDog，the rough terrain quadruped robot［C］／／Proceedings of the 17th World Congress，The International Federation of Automatic Control（IFAC），2008：10822-10825.

［8］ Farley C T，Houdijk H H P，Strien C V，et al.Mechanism of leg stiffness adjustment for hopping on surfaces of different stiffness［J］.Journal of Applied Physiology，1998，85（3）：1044-1055.