吳曉丹　徐章韜

1引言

自從“數(shù)學(xué)美”的概念被提出后，眾多學(xué)者對其展開了論述，多數(shù)將其分類為對稱美、和諧美、簡單美、奇異美.但是，數(shù)學(xué)之美，絕不僅限于此，數(shù)學(xué)之美更展現(xiàn)在古今數(shù)學(xué)家鍥而不舍、幾十年如一日鉆研探索的數(shù)學(xué)精神上；展現(xiàn)在他們堅(jiān)持真理、追求極致、精益求精的科學(xué)態(tài)度上；展現(xiàn)在看似雜亂無章的符號、數(shù)字背后的緊密關(guān)聯(lián)上；展現(xiàn)在美輪美奐、多姿多彩的計(jì)算機(jī)模擬數(shù)學(xué)圖形變換上；展現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想的深邃、數(shù)學(xué)方法的巧妙以及數(shù)學(xué)無處不在的廣泛應(yīng)用上.數(shù)學(xué)從不缺少美，缺少的是欣賞的眼光.張奠宙先生在文[1]中指出，數(shù)學(xué)欣賞往往要從欣賞幾何圖形外表的美觀開始，然后逐漸到欣賞數(shù)學(xué)內(nèi)涵的精妙.基于此，張先生把對勾股定理的欣賞分為四個維度：外表直觀之秀，內(nèi)涵深刻之慧，文化底蘊(yùn)之濃，理性思考之精.筆者深以為然，本文將以勾股定理的發(fā)現(xiàn)、證明、拓展以及價值為著眼點(diǎn)，彰顯數(shù)學(xué)之美，并呼吁廣大教師不斷提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)，多角度、全方位地挖掘和探尋數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的美，寓美于教，以美啟真.

2美在何處

2.1美在形式

大體上看，勾股定理可以從兩個方面進(jìn)行解讀：

1.從代數(shù)角度敘述：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2.

2.從幾何角度敘述：以直角三角形斜邊為邊的正方形的面積等于以直角三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和（如）[2].

幾何角度示意勾股定理如上所述，該定理內(nèi)容精準(zhǔn)、清晰、言簡意賅，在用最平實(shí)的語言闡明道理的同時，留給讀者充足的想象空間，引發(fā)其積極思考.其中公式a2+b2=c2形式整齊、和諧、簡單、美觀，給人以美的感受.另外，此定理的條件恰到好處，多一個太多，少一個太少，嚴(yán)密簡練.愛因斯坦說過：“美，本質(zhì)上終究是簡單性.”這種簡單性、準(zhǔn)確性、嚴(yán)密性是美的特征，也是數(shù)學(xué)美的基本內(nèi)容.

2.2美在內(nèi)涵

有著“千古第一定理”之稱的“勾股定理”可以說是初等數(shù)學(xué)中最重要、最美麗的定理.之所以美麗，不僅在于定理本身是聯(lián)系數(shù)學(xué)中最基本、最原始的兩個對象——數(shù)與形的第一定理，是代數(shù)方法與幾何方法相互滲透的完美體現(xiàn)；不僅在于它是解決許多問題的重要工具和有效媒介，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用；更在于其本身蘊(yùn)涵的豐富歷史見證了古代人民的堅(jiān)持與智慧，更見證了數(shù)學(xué)這門科學(xué)不斷發(fā)展、不斷超越的光輝歷程，是學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化熏陶，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的大好機(jī)會.通過對勾股定理的探索以及對其蘊(yùn)含的內(nèi)在美的解讀，使學(xué)生不僅能掌握定理本身，也能感受到其中無窮的數(shù)學(xué)魅力，產(chǎn)生對數(shù)學(xué)美的向往，有了對“美”的渴望，進(jìn)而產(chǎn)生對“真”的追求.

2.3美在起源

在我國，“勾股定理”又稱“商高定理”，因?yàn)樵缭诠?100年左右的周公、商高時代，就知道了“勾三、股四、弦五”這個規(guī)律；西方文獻(xiàn)一直把“勾股定理”稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”.“在任何直角三角形中，斜邊上的正方形的面積等于兩條直角邊上的正方形面積之和”，據(jù)說這是繼中國發(fā)現(xiàn)“勾股定理”540年后，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究地磚問題時得到的結(jié)論，并給出了某種證明，后來被歐幾里得編入《幾何原本》中.關(guān)于到底以誰的名字來命名此定理的諸多主張自然是出自于強(qiáng)烈的民族自豪感，含有莫數(shù)典忘祖之意，后來決定不用人名，索性稱之為“勾股定理”，這樣既反映了古代的光輝成就，又直觀地點(diǎn)明了這一定理的具體內(nèi)容.[3]這也正說明科學(xué)無國界，“勾股定理”閃耀的是整個人類在探尋數(shù)學(xué)寶藏之路上的智慧之光，在探索數(shù)學(xué)定理的艱辛歷程中，東西方數(shù)學(xué)家們鍥而不舍、孜孜以求、百折不饒的精神百世流芳.

2.4美在多樣

自從“勾股定理”被發(fā)現(xiàn)以后，古今中外眾多學(xué)者集思廣益，給出了各種不同形式的證明，不斷拓展、日益深化.我國有記載的最早的勾股定理的證明是趙爽在他所著的《勾股圓方圖注》中給出的.“這幾乎是一篇無字論文，構(gòu)思之巧妙，推理之嚴(yán)格、之簡潔，令千載后人為之叫絕（王樹和語）”用四個全等的直角三角形（邊長分別為a、b、c），拼成一個中空的正方形（如），趙爽勾股弦圖把直角三角形涂上紅色，并把每個直角三角形的面積稱為朱實(shí)，中間的正方形（邊長為a-b）涂上黃色，面積稱為黃實(shí)，大正方形的邊長為c，面積稱為弦實(shí)，將此圖稱為弦圖.利用弦圖我們很容易得到一個重要的證明思路，弦實(shí)=朱實(shí)+黃實(shí)，也就是：大正方形的面積=四個直角三角形的面積+中間小正方形的面積，由等積式導(dǎo)出代數(shù)恒等式即：c2=4×12ab+（a-b）2，c2=2ab+（a-b）2，從而c2=a2+b2，繼而證得[4].

2002年在北京舉行的國際數(shù)學(xué)家大會以趙爽弦圖作為會標(biāo)，實(shí)現(xiàn)了古代與現(xiàn)代的對接.這標(biāo)志著國際數(shù)學(xué)家對“弦圖”的尊重，足以彰顯“弦圖”之美、勾股定理之重要.

五巧板剪割圖北師大出版社《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書》在勾股定理章介紹了“五巧板證法”，作直角△ABC，以斜邊AB為邊，向內(nèi)作正方形ABDE，延長BC交DE于點(diǎn)I，作DF⊥BI，取CG=CB，再作HG⊥AC，正方形ABDE被分割成五塊：①—⑤（如）.沿著這些線段將正方形剪割開來，就得到一副五巧板.做兩副五巧板，可以拼接出如所示的圖形，該圖通過圖形的“出入相補(bǔ)、面積拼接”，可以直觀的證明出勾股定理[4].

五巧板拼接圖加菲爾德梯形圖美國第二十任總統(tǒng)加菲爾德對初等數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣和高超的才能，1876年在《新英格蘭教育雜志》上發(fā)表了他對勾股定理的一個漂亮證明.如所示，將兩個全等直角三角形一橫一豎拼接成直角梯形，利用梯形面積公式，得到S梯形ABCD=12（a+b）2=a2+2ab+b22，S梯形ABCD=S三角形ADE+S三角形BCE+S三角形CDE=ab+ab+c22，

比較以上兩式相等，從而得到a2+b2=c2.[4]

上述過程足以彰顯：同樣一個問題，以不同的視角切入，會探尋到不同的思路和方法，而不同的證明方法又各有特點(diǎn)，平分秋色.趙爽弦圖證法的巧妙在于他獨(dú)特的邏輯起點(diǎn)、構(gòu)圖方式，以及這種方法背后蘊(yùn)含的對圖形靈活的割、補(bǔ)、截、拼為我所用的思想方法；而利用五巧板來證明，可以說“寓教于樂”，符合學(xué)生心理特點(diǎn)，能夠激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，與此同時，通過讓學(xué)生親自參與解決問題的過程，培養(yǎng)他們認(rèn)真觀察、主動思考、合作交流的能力，更符合以學(xué)生為主體的教育理念；加菲爾德的證明過程也可以說是殊途同歸，他通過巧妙的構(gòu)造，將代數(shù)式的證明完美的轉(zhuǎn)化為面積恒等的證明，運(yùn)用梯形的面積等于組成它的三角形面積的和來構(gòu)造等式，直觀易懂，同時也展示了代數(shù)與幾何之間緊密又奇特的關(guān)系.

通過勾股定理的證明，使我們清楚地知道在數(shù)學(xué)問題中沒有固定的解題思路、解題過程甚至沒有固定的答案，所以解題模式應(yīng)不拘一格，要靈活多變.采用另辟蹊徑的視角、劍走偏鋒的著眼點(diǎn)，深入的挖掘數(shù)學(xué)獨(dú)特美，領(lǐng)悟其深邃的內(nèi)涵，經(jīng)過不斷的努力嘗試，往往會得到意想不到的收獲.從這種角度看數(shù)學(xué)的美體現(xiàn)在它的獨(dú)創(chuàng)性、嚴(yán)密性和數(shù)形高度統(tǒng)一性，體現(xiàn)在別出心裁的數(shù)學(xué)邏輯思維、悠久厚重的文化底蘊(yùn)，以及巧妙多樣的證明過程，還有從古至今眾多數(shù)學(xué)家不斷探索，多方求證的數(shù)學(xué)精神上.

2.5美在拓展

正所謂“大音希聲、大象無形、大美無言”，勾股定理這種寧靜純粹的美的姿態(tài)之所以能夠廣為流傳，為古今中外眾多學(xué)者所津津樂道，絕不僅僅是由于其形式之簡潔秀美、內(nèi)涵之廣泛深刻、證明之匠心獨(dú)運(yùn)，還借助它在日常生活中無處不在的實(shí)用價值和在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中給人們帶來的重重驚喜.“當(dāng)勾股定理中的a、b均為1時，c為多少？”正是由勾股定理所引發(fā)的這一個再簡單不過的聯(lián)想，打破了長久以來人們深信不疑的“萬物皆可數(shù)”的假說，向世人揭開了“無理數(shù)”的神秘面紗；“余弦定理”我們再熟悉不過，其代數(shù)表達(dá)式為：c2=a2+b2-2abcosC，如果C=90°，便容易得到：c2=a2+b2，可見，勾股定理可以理解為是在幾何學(xué)中具有舉足輕重作用的“余弦定理”的特例，換言之，在歐氏平面上將直角三角形轉(zhuǎn)變?yōu)橐话闳切危垂啥ɡ肀惚煌茝V為余弦定理；目前已有學(xué)者將勾股定理成功向三維甚至n維歐式空間進(jìn)行推廣，使得勾股定理不再局限于平面幾何，成功的向我們展示了二維空間和三維空間的內(nèi)在和諧美，加深了人們關(guān)于空間性質(zhì)的認(rèn)識，也為將低維空間結(jié)論向高維空間不斷拓展做出了有益的表率；除此之外，勾股定理對方程思想的萌芽以及平面解析幾何、立體幾何、三角函數(shù)的拓展都起到了推動促進(jìn)作用，在此就不一一贅述.

2.6美在價值

勾股樹圖勾股定理是一個會生金蛋的雞，也是一個生機(jī)盎然永葆青春的古樹，玉樹臨風(fēng)——“勾股樹”，改變動畫的值，勾股樹就會隨“風(fēng)”搖曳[5].從此圖（）可看出，運(yùn)用信息技術(shù)手段可以將數(shù)學(xué)知識動態(tài)的表達(dá)出來，使得濃郁的文化底蘊(yùn)和先進(jìn)的現(xiàn)代文明跨時空交織[6]，真正做到將數(shù)學(xué)的美進(jìn)一步升華.從前文所述內(nèi)容我們可以體悟到勾股定理之所以光芒萬丈、美不勝收，不僅僅是由于它令人驚嘆的定理內(nèi)容，更和它教會了我們在探尋美、感受美的過程中領(lǐng)悟“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法密不可分.勾股定理的內(nèi)容以及證明過程的不斷探索，讓我們清楚的認(rèn)識到：在解決數(shù)學(xué)問題時，不僅要觀其“表——空間形式”，還要探其“里——代數(shù)表達(dá)”，做到由“表”及“里”，透過現(xiàn)象看本質(zhì)；換言之，遇到數(shù)學(xué)問題時，在充分理解其代數(shù)表達(dá)的同時不忘深入挖掘其幾何意義，探尋二者微妙的內(nèi)在聯(lián)系，真正做到“取形之優(yōu)——以形助數(shù)”、“揚(yáng)數(shù)之長——以數(shù)輔形”，在“數(shù)”、“形”這對矛盾中找尋一種辯證美、平衡美，使其相得益彰、相映生輝，進(jìn)而使數(shù)學(xué)問題得到全面徹底的解決.

3以美啟真

數(shù)學(xué)本身蘊(yùn)含著鮮活的文化背景，浸潤了人類不斷探索、不斷發(fā)現(xiàn)的精神本質(zhì)和力量，與人類社會（自然的、歷史的、人文的）有著千絲萬縷的聯(lián)系[7].所以只要用心感悟，我們就會發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)無處不在、數(shù)學(xué)無處不用、數(shù)學(xué)無處不美.

數(shù)學(xué)視角，使我們透過現(xiàn)象看本質(zhì)，探尋看似孤立事物背后的關(guān)聯(lián)，讓我們體察思想與方法的激烈碰撞與高度統(tǒng)一；數(shù)學(xué)思想，使我們感悟到數(shù)學(xué)是由數(shù)字和圖形所組成的完美樂章，就像交響曲一樣和諧高亢，讓人睿智、讓人深邃；數(shù)學(xué)文化，為我們展現(xiàn)數(shù)學(xué)在歷史長河中的源遠(yuǎn)流長、涓涓流淌，以史為鑒，指引我們開創(chuàng)更加美好的景象；數(shù)學(xué)應(yīng)用，讓冰冷呆板的數(shù)學(xué)變得熾熱靈活，讓我們在工作生活中盡顯數(shù)學(xué)人溢彩流光.

數(shù)學(xué)作為至高無上的藝術(shù)，散發(fā)出瑰麗無比的光芒，這就要求我們教師在今后的教學(xué)中，要學(xué)會用欣賞的眼光去審視數(shù)學(xué)知識，深入挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美，并運(yùn)用巧妙的手段寓美于教，喚起學(xué)生的審美欲望，使學(xué)生在汲取知識的同時，體會到數(shù)學(xué)獨(dú)特的美學(xué)價值，培養(yǎng)其理性思維，以美啟真，以美促智.

參考文獻(xiàn)

[1]張奠宙.數(shù)學(xué)欣賞：一片等待開發(fā)的沃土[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（1-2）.

[2]楊小麗.勾股定理的PCK內(nèi)涵解析[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（3）.

[3]魯又文.數(shù)學(xué)古今談[M].天津：科學(xué)技術(shù)出版社，1984.

[4]蔡宗熹.千古第一定理：勾股定理[M].北京：高等教育出版社，2009.

[5]徐章韜.信息技術(shù)下的勾股定理[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2011（3）.

[6]徐章韜.信息技術(shù)支持下的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識研究[M].北京：科學(xué)教育出版社，2013.

[7]徐章韜，王春華.多姿多彩的圓[J].湖南教育，2010，（8）.

作者簡介吳曉丹，女，1990年出生，黑龍江省雙鴨山人，華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)教育方向研究生.