海上低滲氣田綜合多因素壓裂選井選層方法

彭成勇，呂欣潤(rùn)，馬新仿，蔡久杰，王偉

（1.中海油研究總院鉆采研究院，北京100027；2.中國(guó)石油大學(xué)（北京）石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249）

0 引言

×海上低滲氣田儲(chǔ)量規(guī)模龐大，2008年以來，在探井、前期生產(chǎn)井及中后期老井中進(jìn)行了10余次壓裂作業(yè)，但效果參差不齊，且有多口井壓后出水嚴(yán)重。受海上高成本開發(fā)及環(huán)境條件的限制，不可能對(duì)每口井進(jìn)行裂縫監(jiān)測(cè)，要準(zhǔn)確評(píng)價(jià)壓后裂縫形態(tài)，目前尚缺少有效的方法和手段。為了找到出水和低產(chǎn)的原因，為壓裂作業(yè)提供可靠的依據(jù)，做好壓裂前選井選層工作，降低在開發(fā)過程中存在的施工和經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)，迫切需要相應(yīng)的關(guān)鍵技術(shù)。

自20世紀(jì)50年代水力壓裂技術(shù)廣泛應(yīng)用以來，壓裂選井選層一直為國(guó)內(nèi)外所關(guān)注。早期的研究者主要是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行判斷，帶有很大的盲目性。直到20世紀(jì)末，人們才相繼提出了運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)[1]、灰色理論[1]及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[2]等方法，對(duì)壓裂選井選層進(jìn)行定量預(yù)測(cè)。但是，由于樣本數(shù)量有限以及考慮參數(shù)不全面，導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果偏差較大，這種現(xiàn)象在壓裂井?dāng)?shù)少、壓后出水嚴(yán)重的×海上低滲氣田尤為嚴(yán)重。本文選擇支持向量機(jī)算法作為優(yōu)選壓裂井層的手段，克服了小樣本的弊端，并利用裂縫擬三維模型，全面考慮了壓裂溝通水層的風(fēng)險(xiǎn)，提出了綜合多因素的壓裂選井選層方法，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合良好。

1 支持向量機(jī)原理及算法

支持向量機(jī)算法是一種性能優(yōu)越的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，主要用于解決有限樣本學(xué)習(xí)問題，對(duì)數(shù)據(jù)的維數(shù)和多變性不敏感，具有較好的分類精度和泛化能力[3-4]，能夠很好地滿足海上壓裂選井選層要求。

1.1 經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化與結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化

機(jī)器學(xué)習(xí)的目的是，在已知變量ρ與輸入量θ之間存在一個(gè)未知的聯(lián)合概率F（θ，ρ），根據(jù)n個(gè)獨(dú)立同分布的觀測(cè)樣本（θ1，ρ1），（θ2，ρ2），…，（θn，ρn），在一組函數(shù)｛f（θ，ω ）｝中，求一個(gè)最優(yōu)的函數(shù)｛f（ θ ，ω0）｝，對(duì)其依賴關(guān)系進(jìn)行評(píng)估，使預(yù)測(cè)的期望風(fēng)險(xiǎn)R（ω）最小。

式中：ρ為已知變量；θ為輸入數(shù)據(jù)；｛f（θ，ω）｝為擬合函數(shù)；ω 為系數(shù)；F（θ，ρ）為 ρ與 θ的聯(lián)合概率。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊識(shí)別等都是基于經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化原理的算法，由于實(shí)際中只能利用已知樣本的信息，無法直接計(jì)算期望風(fēng)險(xiǎn)，因此，使用期望風(fēng)險(xiǎn)的算數(shù)平均經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)代替：

式中：Remp（ω）為平均經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)；n為樣本數(shù)。

然而，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論，只能證明樣本數(shù)趨于無窮時(shí)，Remp（ω）在概率意義上趨近于 R（ω），而無法保證當(dāng) Remp（ω）取最小的 ω 時(shí)也能使 R（ω）最小[5]。

統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論中，關(guān)于經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)和期望風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系稱為推廣性的界，該結(jié)論說明R（ω）與Remp（ω）之間存在關(guān)系[6]，即

式中：φ為單調(diào)遞減函數(shù)；η為函數(shù)集的VC維。

式（3）表明，在有限樣本的情況下，機(jī)器學(xué)習(xí)的VC維越高，復(fù)雜性越高，置信范圍越大，導(dǎo)致期望風(fēng)險(xiǎn)與經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)之間的差別越大。要想取得較好的學(xué)習(xí)效果，必須在達(dá)到經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)要求的基礎(chǔ)上最小化置信區(qū)間，也就是結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化（見圖1）。

1.2 支持向量機(jī)算法

支持向量機(jī)算法即為結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化的實(shí)現(xiàn)。先以2類線性可分的情況進(jìn)行說明，然后再推廣到高維非線性問題。

圖1 結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化

假設(shè)有 n 個(gè)樣本，（θ1，ρ1），（θ2，ρ2）， …，（θn，ρn），存在分類超平面：

將樣本劃分成 2 類（見圖 2）。令 ρ=f（θ）=ω·θ+b，則f（θ）=0 位于分類超平面上；若 f（θ）＞0 或 f（θ）＜0 則表示位于分類超平面的兩側(cè)。

圖2 分類超平面

支持向量機(jī)需要找到這樣2個(gè)最優(yōu)超平面，它們與分類超平面平行，在它們之間沒有任何樣本點(diǎn)，并且這2個(gè)超平面之間的距離也最大。

由于式（4）兩邊同乘以常數(shù)后超平面不變，可令sign（ω·θ+b）的最小值為 1，所以，這樣的 2 個(gè)超平面包含于ω·θ+b=1和ω·θ+b=-1這2個(gè)方程族中，它們與分類超平面的距離為。

另外考慮到可能有一些樣本不能被超平面正確分類，可以引入松弛因子來形成“軟邊界”。選擇1個(gè)超平面，盡可能地清晰區(qū)分樣本，同時(shí)使其與分界最清晰的樣本的距離最大化。引入松弛因子ξ后，目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

式中：Ω為一個(gè)常數(shù)，用于控制目標(biāo)函數(shù)中2項(xiàng)之間的權(quán)重；ξi為松弛因子。

為了求解方便，引入拉格朗日乘子L：

式中：α，r分別為拉格朗日乘數(shù)。

容易驗(yàn)證：當(dāng)某個(gè)約束條件不能滿足時(shí)，例如ρ·i（ω·θ+b）＜1-ξi，那么，顯然有 θ（ω）=∞；而當(dāng)所有約束條件都滿足時(shí)，則有。 因此，目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?minω，b，ξθ（ω），也即

將最大、最小交換，有：

顯然，d*≤p*，且由于目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)凸二次優(yōu)化問題并滿足KKT條件，所以，d*=p*。

求解 minω，b，ξL（ω，b，ξ，α，r），需要 L 對(duì) ω，b，ξ的偏導(dǎo)為0，因此有：

這是一個(gè)典型的二次優(yōu)化問題，可用內(nèi)點(diǎn)法來求解。對(duì)于非線性問題，可以應(yīng)用Kernel進(jìn)行推廣，得到非線性的目標(biāo)函數(shù)為[7-8]

解得的分類函數(shù)為

式中：P 為核函數(shù)；φ（θi），φ（θj）分別為 θ映射高維向量空間的特征向量。

1.3 支持向量機(jī)應(yīng)用效果

為了對(duì)比支持向量機(jī)的應(yīng)用效果，特編制了模糊識(shí)別程序和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)程序。所使用的數(shù)據(jù)為某低滲氣田79口壓裂井?dāng)?shù)據(jù) （該79口井均未出現(xiàn)溝通水層情況），選取其中60口為訓(xùn)練樣本，其余19口為預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。選取影響壓后效果的參數(shù)為孔隙度、滲透率、自然伽馬測(cè)井、有效厚度、含水飽和度和壓力系數(shù)。擬合及預(yù)測(cè)結(jié)果見圖3。

圖3 擬合及預(yù)測(cè)效果對(duì)比

由圖可知，模糊識(shí)別方法的擬合及預(yù)測(cè)結(jié)果均較差，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)的擬合效果較好，但支持向量機(jī)的方法預(yù)測(cè)結(jié)果明顯優(yōu)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。這是因?yàn)?，支持向量機(jī)基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化算法，泛化能力[9-13]優(yōu)于基于經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法。

2 溝通水層風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)

在水力壓裂過程中，當(dāng)裂縫延伸進(jìn)入鄰近含水層時(shí)，反而會(huì)使氣井大量產(chǎn)水，影響天然氣的開采，甚至導(dǎo)致壓裂施工失敗。對(duì)于投資成本高的海上作業(yè)而言，溝通水層是風(fēng)險(xiǎn)很高的事件，因此，在壓裂選井選層過程中，合理預(yù)測(cè)溝通水層的風(fēng)險(xiǎn)是十分重要的。

2.1 量化風(fēng)險(xiǎn)

壓裂過程中溝通水層，主要是因?yàn)樗α芽p垂向上過度延伸，導(dǎo)致縫高過大，壓穿了隔層，進(jìn)而溝通了儲(chǔ)層附近的水層。因此，預(yù)測(cè)壓裂施工會(huì)否溝通水層，主要是通過模擬水力壓裂縫高，再結(jié)合儲(chǔ)層厚度以及水層與儲(chǔ)層的距離進(jìn)行判斷。為簡(jiǎn)便起見，假設(shè)形成的支撐縫高是關(guān)于儲(chǔ)層中深對(duì)稱的，定義極限距離為

式中：Dlim為極限距離，m；H0為縫口處縫高，m；Hp為儲(chǔ)層厚度，m。

當(dāng)離儲(chǔ)層最近的水層距離大于極限距離時(shí)，表明壓裂施工不會(huì)溝通水層，當(dāng)其距離小于極限距離時(shí)，則表明壓裂施工會(huì)溝通水層；因此，極限距離越大，越有可能溝通水層，風(fēng)險(xiǎn)也就越高，反之，風(fēng)險(xiǎn)越小。

2.2 確定參數(shù)

從式（12）可知，極限距離與儲(chǔ)層厚度及支撐縫高有關(guān)。支撐縫高的影響因素繁多，主要包括儲(chǔ)層性質(zhì)（滲透率、厚度、埋藏深度和溫度等）、巖石力學(xué)性質(zhì)[14-18]（儲(chǔ)隔層應(yīng)力差、彈性模量和閉合應(yīng)力梯度等）、工程條件[19]（壓裂液黏度、支撐劑密度、施工排量、凈液量、攜砂液砂比和前置液比例等）。如果將這些因素一一進(jìn)行模擬比對(duì)，工作量巨大且不利于繪制具有實(shí)用價(jià)值的圖版。本文依據(jù)所研究的×海上低滲氣田具體情況，將上述因素進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)歸納，發(fā)現(xiàn)有些參數(shù)在不同氣井中的變化不大，因此將其取為定值（見表1）。

表1 不同氣井中變化不大的基本參數(shù)

儲(chǔ)層厚度、儲(chǔ)隔層應(yīng)力差、凈液量、儲(chǔ)層滲透率和排量等5項(xiàng)參數(shù)在不同氣井中相差較大，因此，對(duì)這5個(gè)參數(shù)分別取不同數(shù)值進(jìn)行模擬。

2.3 裂縫擬三維模型

水力壓裂的二維模型假定縫高恒定，所以不能用于縫高延伸的模擬；全三維模型則較為復(fù)雜，計(jì)算量大。因此，本文采用裂縫擬三維模型[20-21]進(jìn)。

2.3.1 裂縫寬度方程

式中：x 為所計(jì)算位置距縫口距離，m；wf（x）為 x 處裂縫最大寬度，m；pf為裂縫內(nèi)流體壓力，Pa；E為儲(chǔ)層彈性模量，Pa；S1，S2分別為隔層及地層最小主應(yīng)力，Pa；H（x）為裂縫長(zhǎng)度方向x處的裂縫高度，m；H1為半儲(chǔ)層厚度，m；ν為巖石泊松比。

2.3.2 裂縫內(nèi)壓力分布方程

式中：w為裂縫寬度，w0為裂縫口處的最大寬度，m；y為所計(jì)算位置距裂縫中心距離，m；ψ為冪律流體的稠度系數(shù)，Pa·sγ；γ為冪律流體的流態(tài)指數(shù)；V為裂縫流體流速，m/s。

2.3.3 裂縫高度方程

對(duì)于裂縫高度的計(jì)算，主要依據(jù)裂縫的斷裂準(zhǔn)則，即只有當(dāng)裂縫頂端的應(yīng)力強(qiáng)度因子KI值達(dá)到某臨界值KIC時(shí)，裂縫才延伸。斷裂因子的計(jì)算公式為

式中：KI為 I型應(yīng)力強(qiáng)度因子，。

得到裂縫高度剖面方程為

式中：q（x）為沿裂縫長(zhǎng)度方向 x 處的流量，m3/s；Hp為產(chǎn)層厚度，m；w0（x）為 x 處最大裂縫寬度，m；μ（x）為 x處液體黏度，mP·s；KIC為巖石斷裂韌性，。

2.3.4 連續(xù)性方程

式中：q(x，t)為 t時(shí) x 處的流量，m3/s；A（x，t）為 t時(shí) x 處的裂縫面積，m2；Ct為壓裂液濾失系數(shù)，；t為時(shí)間，s；τ（x）為壓裂液到達(dá) x 處的時(shí)間，s；x（t）為 t時(shí)裂縫長(zhǎng)度，m；

2.4 壓裂風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)圖版

根據(jù)×氣田的基本情況 （見表1），儲(chǔ)層厚度取10，20，30，40，50，60，70 m； 儲(chǔ) 隔 層 應(yīng) 力 差 取 3～11 MPa，間隔為 2 MPa；凈液量取 250，350 m3；儲(chǔ)層滲透率取 0.50×10-3，0.10×10-3，0.01×10-3μm2； 排量取 3.0～3.5 m3/min。用裂縫擬三維模型模擬計(jì)算極限距離，將計(jì)算結(jié)果繪制成示例圖版。該圖版按照儲(chǔ)層滲透率分為3套，每套按照排量分為2組，每組按照凈液量分為2個(gè)。圖4為排量3 m3/min，滲透率1×10-3μm2圖版。使用時(shí)按照實(shí)際情況查找相應(yīng)圖版，如極限距離小于該氣井儲(chǔ)層距水層的最小距離，則認(rèn)為溝通水層的風(fēng)險(xiǎn)低，否則認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)高。

圖4 示例圖版

3 綜合多因素壓裂選井選層方法

該方法將支持向量機(jī)算法和風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)圖版綜合應(yīng)用，推薦的壓裂井層更科學(xué)、更全面，得出的結(jié)論也更可靠。應(yīng)用步驟如下：

1）壓后產(chǎn)能優(yōu)選。根據(jù)儲(chǔ)層的有效厚度、孔隙度、含氣飽和度、滲透率、自然伽馬測(cè)井和壓力系數(shù)，應(yīng)用支持向量機(jī)算法預(yù)測(cè)待選井層壓后產(chǎn)能，從中優(yōu)選出產(chǎn)能較大的井層作為推薦井層。

2）風(fēng)險(xiǎn)分析優(yōu)選。統(tǒng)計(jì)步驟1）中所推薦井層與水層的距離，根據(jù)其滲透率、有效厚度和壓裂規(guī)模查閱風(fēng)險(xiǎn)圖版。若極限距離小于其距離水層的最近距離，則推薦壓裂；否則，不推薦。此結(jié)果即為最終推薦結(jié)果。

4 實(shí)例應(yīng)用與效果對(duì)比

為驗(yàn)證綜合多因素壓裂選井選層方法的效果，對(duì)所研究氣田的7口壓裂井進(jìn)行了再評(píng)價(jià)。具體儲(chǔ)層物性數(shù)據(jù)見表2。

表2 待選井儲(chǔ)層物性

4.1 產(chǎn)能預(yù)測(cè)優(yōu)選

應(yīng)用支持向量機(jī)算法進(jìn)行壓后日產(chǎn)氣量預(yù)測(cè)，結(jié)果見表3。

表3 產(chǎn)能預(yù)測(cè)結(jié)果

由表3可知，7口井預(yù)測(cè)的壓后產(chǎn)能均較高，若不考慮溝通水層風(fēng)險(xiǎn)，它們都會(huì)被推薦為進(jìn)行壓裂施工的目標(biāo)井。

4.2 風(fēng)險(xiǎn)分析優(yōu)選

結(jié)合測(cè)井解釋數(shù)據(jù)和完井地質(zhì)圖，統(tǒng)計(jì)各井層距水層的距離，應(yīng)用地應(yīng)力解釋系統(tǒng)計(jì)算應(yīng)力差，得到7口井?dāng)?shù)據(jù)并應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)圖版進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果見表4。

表4 風(fēng)險(xiǎn)程度分析結(jié)果

由表4可知，XH-1和XH-7兩口井風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)為“低”，其余均為“高”。因此，最終優(yōu)選的壓裂井是XH-1和XH-7。然而，這7口井均已實(shí)施壓裂，實(shí)際結(jié)果見圖5。

圖5 綜合多因素方法應(yīng)用效果

綜合多因素方法，推薦的XH-1和XH-7井是實(shí)際無阻流量最高的2口井，分別為6.00×104，15.12×104m3/d，其余5口井的無阻流量均在1.00×104m3/d以下，且出水量均在40 m3/d以上。這說明有可能溝通了水層，與綜合多因素方法中風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果相符。結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果后，支持向量機(jī)方法預(yù)測(cè)的無阻流量與實(shí)際較接近，絕對(duì)誤差為1.38×104m3/d。

5 結(jié)論

1）將支持向量機(jī)作為壓裂選井選層、綜合多因素方法進(jìn)行產(chǎn)能預(yù)測(cè)的一部分，并對(duì)比了支持向量機(jī)、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及模糊識(shí)別方法在數(shù)據(jù)擬合效果與預(yù)測(cè)效果上的優(yōu)劣。結(jié)果顯示，支持向量機(jī)明顯優(yōu)于其他2種方法。

2）定義了極限距離，用來表征壓裂溝通水層的風(fēng)險(xiǎn)；采用裂縫擬三維延伸數(shù)學(xué)模型，模擬了不同儲(chǔ)層厚度、滲透率、應(yīng)力差和壓裂規(guī)模下的極限距離；繪制了可以方便查閱的圖版，作為綜合多因素壓裂選井選層的風(fēng)險(xiǎn)分析手段。

3）通過實(shí)例應(yīng)用，驗(yàn)證了綜合多因素壓裂選井選層方法。在評(píng)價(jià)的7口井中，綜合多因素方法推薦的2口井壓后產(chǎn)氣量明顯高于其余5口井，產(chǎn)能預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際效果較接近，其余5口井效果不佳，且出水嚴(yán)重。這說明壓裂選井選層綜合多因素方法能夠較好地指導(dǎo)現(xiàn)場(chǎng)選井選層工作。

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