基于Chen系統(tǒng)的自動切換混沌系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與同步

胡春華，王春梅

（濱州學(xué)院a.電氣工程系；b.信息工程系，山東 濱州 256603）

基于Chen系統(tǒng)的自動切換混沌系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與同步

胡春華a＊，王春梅b

（濱州學(xué)院a.電氣工程系；b.信息工程系，山東 濱州 256603）

構(gòu)建了一種由3個子系統(tǒng)組成的基于Chen系統(tǒng)的自動切換混沌系統(tǒng).首先利用模擬電路實(shí)現(xiàn)該切換混沌系統(tǒng)，電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該切換系統(tǒng)比各子系統(tǒng)具有更大的混沌參數(shù)區(qū)間；然后通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)非線性控制器實(shí)現(xiàn)該切換混沌系統(tǒng)的同步，數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性.

混沌系統(tǒng)；Chen系統(tǒng)；自動切換；同步控制

近年來，混沌系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于通信保密、弱信號檢測及信息加密等領(lǐng)域，因此成為非線性動力學(xué)研究的熱點(diǎn)［1－2］.切換混沌系統(tǒng)因其自身復(fù)雜的動力學(xué)特性而能增強(qiáng)混沌系統(tǒng)同步保密的安全性能，故其設(shè)計(jì)與同步研究具有重要的實(shí)際應(yīng)用意義［3］.劉揚(yáng)正等［4］利用外加系統(tǒng)選擇器設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了切換混沌系統(tǒng)，但系統(tǒng)的安全性不夠.Wang等［5］通過改變混沌系統(tǒng)的自身變量實(shí)現(xiàn)了2個子混沌系統(tǒng)的切換，然而系統(tǒng)的隨機(jī)性能提高較有限.王忠林等［6］利用混沌反控制法改變混沌系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)，并通過變量切換構(gòu)建了由2個子系統(tǒng)組成的自動切換混沌系統(tǒng).本文擬基于Chen系統(tǒng)［7］，利用反控制理論改變該混沌系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)，構(gòu)造拓?fù)洳坏葍r(jià)但形式相似的2個新混沌系統(tǒng)，進(jìn)而以此3個混沌系統(tǒng)作為子系統(tǒng)，構(gòu)建一個動力學(xué)特性更為豐富的切換混沌系統(tǒng).目前，混沌系統(tǒng)的控制與同步研究已取得新的進(jìn)展［8－10］，但是關(guān)于切換混沌系統(tǒng)的同步研究卻甚少.周小勇等［11］通過調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)參數(shù)實(shí)現(xiàn)了切換混沌系統(tǒng)變量間的同步.本文基于Lyapunov穩(wěn)定性理論［12］，設(shè)計(jì)相應(yīng)的自適應(yīng)非線性控制器，以實(shí)現(xiàn)該切換混沌系統(tǒng)與Lorenz系統(tǒng)間的自適應(yīng)同步控制.

1 本文系統(tǒng)

1.1 系統(tǒng)的提出

考慮Chen系統(tǒng)

其中a，b，c為常參數(shù)，x，y，z為狀態(tài)變量.當(dāng)a＝40，b＝3，c＝28時(shí)，系統(tǒng)（1）處于混沌狀態(tài).

系統(tǒng)（1）的受控系統(tǒng)為

其中l(wèi)1，l2，l3為非線性反饋控制器.

為了尋求一個具有動力學(xué)行為更為豐富的混沌系統(tǒng)，現(xiàn)令l1＝0，l2＝0，l3＝x2－xy，得到系統(tǒng)

令l1＝0，l2＝0，l3＝y(tǒng)2－xy，得到系統(tǒng)

在與系統(tǒng)（1）同參數(shù)的條件下，系統(tǒng)（3）（4）均處于混沌狀態(tài).

當(dāng)x≥0，y＜0或x＜0，y≥0時(shí)，f（x）f（y）＝xy，系統(tǒng)（5）運(yùn)行子系統(tǒng)（1）；當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，f（x）f（y）＝x2，系統(tǒng)（5）運(yùn)行子系統(tǒng)（3）；當(dāng)x＜0，y＜0時(shí)，f（x）f（y）＝y(tǒng)2，系統(tǒng)（5）運(yùn)行子系統(tǒng)（4），故切換系統(tǒng)（5）可以在子系統(tǒng)（1）（3）（4）之間切換.設(shè)定參數(shù)a＝40，b＝3，c＝28，對切換系統(tǒng)（5）進(jìn)行仿真得到其混沌吸引子的相圖，如圖1所示.由圖1可知系統(tǒng)（5）處于混沌狀態(tài).

圖1 系統(tǒng)（5）混沌吸引子在相平面上的投影Fig.1 The projection of chaotic attractors in switching system on phase plane

1.2 系統(tǒng)的性質(zhì)

當(dāng)b∈［0，15］時(shí)，系統(tǒng)（1）（3）（4），（5）的Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖分別如圖2，3所示.由圖2，3可見，在相同參數(shù)下，切換系統(tǒng)（5）具有更豐富的動力學(xué)特性；系統(tǒng)（5）在b∈［1.34，15］范圍內(nèi)為連續(xù)混沌區(qū)，不存在周期窗口，且在更大的參數(shù)區(qū)間內(nèi)具有混沌特性.

圖2 各系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖Fig.2 Lyapunov exponent diagram of each system

圖3 各系統(tǒng)的分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram of each system

2 模擬電路的實(shí)現(xiàn)

本文通過設(shè)計(jì)如圖4所示的模擬電子電路來判斷切換混沌系統(tǒng)的混沌吸引子的存在.該電路由電壓比較器模塊（LF347N）、模擬乘法器模塊（AD633JN）、電阻和電容組成，其中LF347N和AD633JN分別實(shí)現(xiàn)運(yùn)算放大功能和乘法功能，R1＝R2＝R3＝R4＝R5＝R6＝R7＝R8＝R9＝R10＝R11＝R12＝10 kΩ，R13＝R14＝2.5 kΩ，R15＝R18＝1 kΩ，R16＝8.3 kΩ，R17＝3.5 kΩ，R19＝33.3 kΩ，C1＝C2＝C3＝10 nF，UVCC＝＋12 V，UVEE＝－12 V，VCC、VEE分別為接入電路的正、負(fù)電壓供電.

圖4 切換混沌系統(tǒng)的模擬電路示意圖Fig.4 Analog circuit implementation for the switching chaotic system

圖5給出了開關(guān)函數(shù)的實(shí)現(xiàn)電路，該電路由電壓比較器模塊（LF347N）和模擬選擇開關(guān)模塊（ADG409BR）組成，以實(shí)現(xiàn)采用變量控制系統(tǒng)（5）在3個混沌系統(tǒng)中的自動切換.其中R20＝100 kΩ，R21＝80 kΩ，若將LF347N的輸入變量改為y，即可得到函數(shù)f（y）的電路.

圖6為示波器表面顯示的切換混沌系統(tǒng)（5）的混沌吸引子圖片.由圖6可知，電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果一致，表明該模擬電路可實(shí)現(xiàn)3個混沌系統(tǒng)的自動切換.

圖5 開關(guān)函數(shù)電路Fig.5 Analog circuit for the switching function

3 自適應(yīng)同步控制的實(shí)現(xiàn)

設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)之間的誤差e＝y(tǒng)－x，e（t）＝［e1，e2，e3］T，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，若limt→∞‖e（t）‖＝0，則誤差系統(tǒng)在原點(diǎn)處漸近穩(wěn)定，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)趨于同步，從而實(shí)現(xiàn)對混沌系統(tǒng)的控制.

圖6 系統(tǒng)（5）混沌吸引子的實(shí)驗(yàn)觀測圖Fig.6 Chaotic attractors of the switching system（5）observed by oscilloscope

定義切換混沌系統(tǒng)為驅(qū)動系統(tǒng)

其中h，j，k為驅(qū)動－響應(yīng)系統(tǒng)同步過程中需要辨識的未知參數(shù).

選取Lorenz系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng)

其中m，n，p為常參數(shù)，當(dāng)m＝10，n＝28，p＝8／3時(shí)，Lorenz系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；u1，u2，u3為自適應(yīng)控制器.在u1，u2，u3的控制輸入作用下，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)逐漸趨于同步，同時(shí)可辨識出驅(qū)動系統(tǒng)（6）中的未知參數(shù)h，j，k.

根據(jù)文獻(xiàn)［12］118，設(shè)計(jì)如下自適應(yīng)控制器：

未知參數(shù)h，j，k的更新規(guī)則為

在控制器（8）的作用下，驅(qū)動系統(tǒng)（6）與響應(yīng)系統(tǒng)（7）的同步誤差如圖7所示.

圖7 同步誤差曲線Fig.7 The synchronization error curve of the system

4 結(jié)論

本文首先運(yùn)用反控制理論在Chen混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)建了2個新的混沌系統(tǒng)，然后利用開關(guān)函數(shù)以這3個混沌系統(tǒng)作為子系統(tǒng)，構(gòu)建了一個能夠?qū)崿F(xiàn)3個子混沌系統(tǒng)自動切換的模擬電路，同時(shí)通過設(shè)計(jì)相應(yīng)的自適應(yīng)控制器實(shí)現(xiàn)了該自動切換混沌系統(tǒng)的同步.結(jié)果表明：在相同的參數(shù)下，切換混沌系統(tǒng)具有更豐富的動力學(xué)特性和更大的混沌參數(shù)區(qū)間，應(yīng)用前景廣闊.

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Design and synchronization of a switching chaotic system based on Chen system

HU Chunhuaa＊，WANG Chunmeib

（a.Dept of Electr Engin；b.Dept of Inf Engin，Binzhou Univ，Binzhou 256603，China）

Based on Chen system，a switching system which consists of three subsystems is constructed and is realized via an analog circuit.This switching system has a more chaotic range than any subsystem.A nonlinear adaptive controller is designed to control synchronization of the switched system.Numerical simulations show the effectiveness of the adaptive controller.

chaotic system；Chen system；automatic switch；synchronization control

TN 914.42

A

1007－824X（2015）04－0057－06

2015－03－26.＊ 聯(lián)系人，E－mail：bzhuchunhua＠126.com.

山東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（ZR2014FQ019）；濱州市科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（2014ZC0208）.

胡春華，王春梅.基于Chen系統(tǒng)的自動切換混沌系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與同步 ［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，18（4）：57－62.

（責(zé)任編輯 林 子）